Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis. 10º Ano de Matemática A. Geometria no Plano e no Espaço I. Grupo I

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1 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 0º Ano de Matemática A Geometria no Plano e no Espaço I 4º Teste de avaliação versão A Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 0 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.. O domínio plano da figura pode ser definido por uma das condições seguintes. Identifique-a. 4 (A) ( ) ( ) x + 4 x x (B) ( ) ( ) x x x C (C) ( ) ( ) x + 9 x x (D) ( ) ( ) x x x O 5 x. Na figura esta representado um referencial o.n. xo. A recta AB é definida pela equação x + = 0. A equação reduzida da recta r paralela a AB e que passa pelo ponto C( 4,0) é uma das seguintes. Identifique-a B (A) = x + 8 (B) = x 8 (C) = x (D) = x 4 O A x. Observe o gráfico de uma função quadrática da forma = ax + k,a 0, representado na figura ao lado. Escolha das seguintes a expressão que a pode definir. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 009/00

2 (A) = 4x + (B) = x + (C) = x + 4 (D) = x + 4. A figura representa a função f definida por f ( x) x =. Qual dos gráficos seguintes pode representar a função g definida por g( x) = ( x + )? (A) (B) (C) (D) 5. Relativamente às afirmações seguintes: I. Se uma função é crescente nos intervalos A e B, então é crescente em A B ; II. O maior dos máximos relativos é sempre o máximo absoluto da função; III. Se uma função tem zeros, então é não injectiva; Então podemos afirmar: (A) Somente I é verdadeira (B) Somente III é verdadeira (C) São todas falsas (D) II e III são verdadeiras Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto.. Considere a função g representada graficamente na figura seguinte. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 009/00

3 .. Indique:... domínio e contradomínio de g;... a imagem de zero;... o original que tem imagem... Indique o conjunto solução das condições:... g( x) = 0... g( x) > 0.. Faça uma tabela de monotonia e extremos para a função g..4. Seja g( x) = k,k R, determine k de modo que a equação tenha exactamente duas soluções.. Num laboratório, foi estudada uma colónia de bactérias. Às oito horas, foi feita a primeira contagem e as seguintes de hora a hora. Verificou-se que o número N de bactérias, em milhares, decorridas h horas, é dado por N( h) = h + 4h Quantas bactérias havia às 8 horas?.. Qual foi o resultado da segunda contagem?.. Calcule N( ) N( ) e interprete o resultado no contexto do problema..4. Em que período do dia o número de bactérias foi superior a 9000?.5. Descreva a evolução da colónia desde as 8 até às horas. NOTA: sempre que recorrer à calculadora não se esqueça de transcrever os gráficos e ou as tabelas.. Num referencial o.n. ( O,e,f ), considere ( ) A,, B(,0), ( ).. Verifique se os vectores u e AC são colineares... Calcule AB e u... Determine as coordenadas do ponto médio de [ AC ] C,5 e o vector u = e + f..4. O quadrilátero [ ABCD ] é um paralelogramo. Determine as coordenadas do ponto D. 4. Construiu-se, a partir de um cubo, o poliedro representado na figura, unindo os pontos médios das arestas do cubo, como sugere a figura, obtendo-se assim um cuboctaedro. Admita-se que a unidade do referencial é o centímetro e que o ponto R, vértice do cubo tem coordenadas (,, ). Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 009/00

4 4.. Indique as coordenadas dos vértices do cuboctaedro representados na figura. 4.. Determine a distância entre os pontos A e G. 4.. Mostre que a razão entre os volumes do cubo e do A z D B R C G cuboctaedro é,. x E F O I H J FIM COTAÇÕES QUESTÃO COTAÇÃO QUESTÃO COTAÇÃO Professora: Rosa Canelas 4 Ano Lectivo 009/00

5 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 0º Ano de Matemática A Geometria no Plano e no Espaço I 4º Teste de avaliação Proposta de resolução Grupo I. (A) O domínio plano da figura pode ser definido pela condição ( ) ( ) x + 4 x x 4 C. (C) Na figura esta representado um referencial o.n. xo. A recta AB é definida pela equação x + = 0 cuja O 5 x equação reduzida é: x + = 0 = x + = x + A equação reduzida da recta r paralela a AB e que passa pelo ponto C( 4,0) é uma equação do tipo = x + b B que é verificada pelas coordenadas do ponto C: 0 = ( 4) + b b =. Pelo que a equação reduzida da recta r é = x O A x. (B) Observemos o gráfico de uma função quadrática da forma = ax + k,a 0, representado na figura ao lado. Vamos escolher das seguintes a expressão que a pode definir. O valor de k é e para calcularmos o valor de a vamos utilizar as coordenadas do ponto assinalado no gráfico 4 = a + 4a = 4 4a = a =. Então a função é definida pela equação = x + Professora: Rosa Canelas 5 Ano Lectivo 009/00

6 4. (B) A figura representa a função f definida por f ( x) x =. O gráfico que pode representar a função g definida por g( x) = ( x + ) é 5. (B) Relativamente às afirmações seguintes: I. Se uma função é crescente nos intervalos A e B, então é crescente em A B ; falsa II. O maior dos máximos relativos é sempre o máximo absoluto da função; falsa III. Se uma função tem zeros, então é não injectiva; verdadeira Então podemos afirmar: Somente III é verdadeira Grupo II. Considere a função g representada graficamente na figura... Indiquemos:... O domínio de g é Re contradomínio de g é [,] [, + [ ;... a imagem de zero é ou seja g( 0) = ;... o original que tem imagem é - ou seja g( x) = x =... Indiquemos o conjunto solução das condições:... g( x) = 0 x =, o conjunto solução é S = { }... g( x) > 0 x ], + [, o conjunto solução é ], + [.. Façamos uma tabela de monotonia e extremos para a função g. x ( ) g x m - m ր M ց ր.4. Seja g( x) = k,k R, determinemos k de modo que a equação tenha exactamente duas soluções. A equação só tem duas soluções quando k ], [. Professora: Rosa Canelas 6 Ano Lectivo 009/00

7 . Num laboratório, foi estudada uma colónia de bactérias. Às oito horas, foi feita a primeira contagem e as seguintes de hora a hora. Verificou-se que o número N de bactérias, em milhares, decorridas h horas, é dado por N( h) = h + 4h Às 8 horas havia N( 0) = = 9 milhares de bactérias... A segunda contagem equivale a h segunda leitura foi milhares de bactérias. = então ( ) N = =. O resultado na.. Calculemos N( ) N( ) = = e podemos dizer que entre as 9 e as 0 horas houve um aumento de 000 bactérias..4. Entre as 8 horas e as horas o número de bactérias foi superior a 9000, porque N( h) > 9 h ] 0,4[.5. Vamos descrever a evolução da colónia desde as 8 até às horas. Às 8 horas havia 9000 bactérias e esse número foi crescendo até às 0 horas altura em que atingem o valor máximo 000 bactérias. Este valor vai diminuindo até que às horas já só há 4000 bactérias.. Num referencial o.n. ( O,e,f ), consideremos ( ) A,, B(,0), ( ).. Verifiquemos se os vectores u e AC são colineares: o AC = C A = (,5 ) (,) = (, 4) u =, o ( ) o 4 = ( ) 4 = 4 logo os vectores são colineares AB = + 0 = 6.. Calculemos ( ) ( ) e ( ) C,5 e o vector u = e + f. u = + = 5... Determinemos as coordenadas do ponto médio de [ AC ]: M [ ] =, = (,) AC O quadrilátero [ ABCD ] é um paralelogramo. 6 4 C D D: (6, 6) Determinemos as coordenadas do ponto D. D = C + BA =,5 + 5, = 6,6 ( ) ( ) ( ) A Se não tivéssemos respeitado a ordem pela qual B 5 Professora: Rosa Canelas 7 Ano Lectivo 009/00

8 devem ser lidos os vértices, isto é, se o pedido fosse um paralelogramo com vértices nos pontos dados, podíamos encontrar as coordenadas do quarto vértice de mais duas outras maneiras: D = C + AB = (,5 ) + ( 5, ) = ( 4, 4) D = B + CA = (,0) + (, 4) = (0, 4) 4. Construiu-se, a partir de um cubo, o poliedro representado na figura, unindo os pontos médios das arestas do cubo, como sugere a figura, obtendo-se assim um cuboctaedro. Admita-se que a unidade do referencial é o centímetro e que o ponto R, vértice do cubo tem coordenadas (,, ). 4.. Indiquemos as coordenadas dos vértices do cuboctaedro representados na figura: A (,0, ), B( 0,, ), C(,, ), D(,, ), E(,0, ), F(,0,0 ), G( 0,, ), H(,, ), I(,,0 ), J(,,0 ) 4.. Determinemos a distância entre os pontos A e G: ( ) ( ) ( ) AG = = Mostremos que a razão entre os volumes do cubo e do cuboctaedro é,. x E A F z D O I B R H C J G o O volume do cubo é cubo V = = 8 o O volume da pirâmide [RDHC] é Vpirâmide = = 6 0 o O volume do cuboctaedro é Vcuboctaedro = Vcubo 8 Vpirâmide = 8 8 = 6 o Vcubo 8 = =, V 0 cuboctaedro FIM Professora: Rosa Canelas 8 Ano Lectivo 009/00

9 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 0º Ano de Matemática A Geometria no Plano e no Espaço I 4º Teste de avaliação Critérios de correcção Grupo I 4 5 A C B B B Grupo II Identificar o domínio... Identificar o contradomínio ª linha. ª linha. Indicação dos extremos Calcular N( 0) = = 9 milhares de bactérias Calcular N( ) = = e dar resposta 0.. N( ) N( ) = = e interpretar Apresentar gráfico N( h) > 9 h ] 0,4[ Professora: Rosa Canelas 9 Ano Lectivo 009/00

10 Cálculo de N(5).. Calcular o valor máximo Descrever o comportamento da função Cálculo de AC.. Utilização da definição ou da condição de colinearidade. 4 Dar a resposta Indicar as coordenadas de pelo menos um ponto Indicar o processo de cálculo das coordenadas... 5 Indicar as coordenadas do ponto correcto Cálculo do volume do cubo.. Cálculo do volume de uma pirâmide 4 Cálculo do volume do cuboctaedro.. 5 Cálculo da razão entre os volumes.. Total 00 Professora: Rosa Canelas 0 Ano Lectivo 009/00