Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais

Transcrição

1 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada 4º Teste de avaliação Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1 π α = 1. De um ângulo do segundo quadrante de amplitude α, sabemos que sen( ) Qual das igualdades seguintes é verdadeira? (A) (C) 1 senα + cosα = (B) 1+ senα + cos α = (D) 1+ senα + cosα = 1 senα + cos α =. Que valor deve tomar β para que ( 1,, ) e ( 6,4, ) o.n. Oxyz, de dois vectores perpendiculares? β sejam as coordenadas, num referencial (A) (B) (C) (D). Num referencial o.n. Oxyz, a recta r passa no ponto A de coordenadas ( 1,, 1) e tem a direcção do vector r de coordenadas ( 1,0, ). Em qual das opções seguintes pode encontrar equações cartesianas da recta r? (A) y x 1= = z + (C) y x = 1 = z (B) z + 1 x 1= y = (D) x = 1 z = y 4. Na figura estão representadas parte de dois gráficos de duas funções polinomiais, g e h, ambas de domínior. Professora: Rosa Canelas 1 Ano Lectivo 010/011

2 Qual das expressões seguintes pode definir uma função f, de domínio R, tal que f g = h? (A) x + 1 (B) x 1 (C) x 1 (D) x O domínio da função derivada da função g definida em R por g( x) = + x é (A) R (B) R \ (C) R \ (D) R \ Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. A figura representa um painel decorativo com a forma de um losango de lado a que vai ser colocado na fachada de um edifício Mostre que a área do painel é dada, em função de θ, C B a θ A pela expressão: ( ) π θ 0, π A θ = a sen θ.cos θ, 0 < θ < ;a > 0 D π 1.. Calcule o valor de A. Interprete geometricamente o resultado obtido. 4 Faça a = Determine o valor de ( ) 1.4. Calcule, em função de θ, AB.AC. π A θ, sabendo que 5sen + θ + = 0. Considere, num referencial o.n. Oxyz, o plano α definido pela equação x + y + z = 10. Para um certo número real m, a condição z x = y = define uma recta r paralela ao plano α. m.1. Calcule o valor de m que faz com que a recta r seja paralela ao plano α. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 010/011

3 .. Escreva equações cartesianas duma recta perpendicular ao plano α e que passa no ponto A (,,1)... Escreva uma equação do plano β que é paralelo a α e que passa na origem..4. Determine o ponto de intersecção de α com o eixo Oy.. Seja f definida em R por f ( x) = x x Use a função derivada de f para estudar a função f quanto à monotonia e existência de extremos... Escreva uma equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa -1. Apresente os cálculos. 4. Na figura está parte do gráfico de uma função polinomial g e a recta tangente a g no ponto C de coordenadas ( 1, ). Considere também as funções f e i, reais de variável real, definidas por: f ( x) 4.1. Indique g ( 1) = x 4 x e i( x) 6 x = x Calcule a taxa média de variação da função g no intervalo [ 1,1 ]. 4.. Calcule ( f g)( 0) e ( i g)( 1) 4.4. Caracterize f i e apresente a sua expressão analítica simplificada Caracterize a função inversa de i. FIM FORMULÁRIO Derivadas k = 0 ( ax b) + = a ( ax bx c) + + = ax + b ( ax bx cx d) = ax + bx + c b b a + = x c ( x c) Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 010/011

4 Cotações Questão Cotação TOTAL Professora: Rosa Canelas 4 Ano Lectivo 010/011

5 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada 4º Teste de avaliação Proposta de resolução Grupo I 1 π α = 1. (D) De um ângulo do segundo quadrante de amplitude α, sabemos que sen( ) A igualdade verdadeira é sen( ) 1 senα + cos α =, porque: 1 1 π α = senα = cos α = 1 α º Q cos α = α º Q cos α = senα + cosα = =. (C) O valor que β deve tomar para que ( 1,, ) e ( 6,4, ) referencial o.n. Oxyz, de dois vectores perpendiculares é porque ( 1,, ) ( 6, 4, β ) = β = 0 β = 6 β = β sejam as coordenadas, num. (B) Num referencial o.n. Oxyz, a recta r passa no ponto A de coordenadas ( 1,, 1) e tem a direcção do vector r de coordenadas ( 1,0, ). As equações cartesianas da recta são: z + 1 x 1= y = 4. (D) Na figura estão representadas parte dois gráficos de duas funções polinomiais, g e h, ambas de domínior. A função f, de domínio R, tal que f g = h é definida por f ( x) = x + 1 por ter de ser uma função com zero em -1 e crescente (passando de negativa a positiva) x a -1 b + f g h Professora: Rosa Canelas 5 Ano Lectivo 010/011

6 5. (D) O domínio da função derivada da função g definida em R por g( x) = + x é porque R \ é o zero da função y = + x e portanto o ponto onde se separam os dois ramos da função e onde g não tem derivada. Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. A figura representa um painel decorativo com a forma de um losango de lado a que vai ser colocado na fachada de um edifício Mostremos que a área do painel é dada, em função de θ, pela expressão: C B a θ A π A ( θ ) = a sen θ.cos θ, 0 < θ < ;a > 0 AC = a cos θ e BD = a senθ π θ 0, D acos θ a senθ A θ = = a senθcosθ ( ) 1.. Calculemos o valor de π A = a = a. O resultado obtido é a área de um 4 quadrado de lado a, que é a figura em que o losango se torna quando os ângulos todos rectos. Façamos a = Determinemos o valor de ( ) π A θ, sabendo que 5sen + θ + = 0 π π 5sen + θ + = 0 sen + θ = cosθ = cosθ = sen θ + = 1 sen θ = senθ = dado que θ 1º Quadrante ( ) 4 A θ = 5 = Calculemos, em função de θ, π θ =, por serem 4 AB.AC AB AC cos 5 10 cos cos 50 cos = θ = θ θ = θ. Professora: Rosa Canelas 6 Ano Lectivo 010/011

7 . Consideremos, num referencial o.n. Oxyz, o plano α definido pela equação x + y + z = 10. Para um certo número real m, a condição α. z x = y = define uma recta r paralela ao plano m.1. Calculemos o valor de m que faz com que a recta r seja paralela ao plano α. r é paralela ao plano α se o seu vector director for perpendicular ao vector normal ao plano. ( 1,1,m ).( 1,, ) = m = 0 m = m = 1.. Equações cartesianas duma recta perpendicular ao plano α e que passa no ponto são x y + z = = 1 porque a recta tem a direcção do vector normal ao 1 A (,,1) plano... Uma equação do plano β que é paralelo a α e que passe na origem é da forma x + y + z = D e para calcularmos o valor de D vamos substituir as variáveis pelas coordenadas da origem e = D D = 0.4. Determinemos o ponto de intersecção de α com o eixo Oy. O ponto de α que pertence a Oy é da forma ( 0,y,0 ). Então x + y + z = 10 x = 0 z = 0 y = 10 y = 5. O ponto de intersecção de α com o eixo Oy tem coordenadas ( 0,5,0 ). Seja f definida em R por f ( x) = x x Use a função derivada de f para estudar a função f quanto à monotonia e existência de extremos. f ( x) = 6x x f x = 0 6x x = 0 x x 1 = 0 x = 0 x = ( ) ( ) x 0 1 f f ր M 1 f tem um máximo 1 quando x = 0 e um mínimo 6 7 quando 1 x = f é crescente em ],0] e em ց m 1, + e é decrescente em 1 0,.. Escrevamos uma equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa -1. ր + Professora: Rosa Canelas 7 Ano Lectivo 010/011

8 ( ) ( ) ( ) m = f 1 = = 8 ( ) ( ) ( ) f 1 = = 1+ 1= y = 8x + b x = 1 y = = 8 + b b = 6 A equação da recta y = 8x Na figura está parte do gráfico de uma função polinomial g e a recta tangente a g no ponto C de coordenadas ( 1, ). Consideremos também as funções f e i, reais de variável real, definidas por: f ( x) ( ) i x 6 x = x g ( 1) = 5 porque 5 é o declive de t. = x 4 x e 4.. Calculemos a taxa média de variação da função g no intervalo [ 1,1 ] [ 1,1 ] ( ) ( ) g 1 g 1 1+ tmv g = = = i g 1 = i g 1 = i 1 = = Calculemos ( f g)( 0) = f ( g( 0) ) = f ( ) = = 0 e ( )( ) ( ( ) ) ( ) 4.4. Caracterizemos f i e apresente a sua expressão analítica simplificada. ( )( ) ( )( + ) ( )( ) ( )( ) x 4 6 x x x x f i x = = = x + 4 x x + x x + D D D { x R : x 0 x 0 } R \ {,} f i f i = = + = 4.5. Caracterize a função inversa de i. 6 x y = e trocando as variáveis fica: x + 6 y 6 x x = xy + x = 6 y xy + y = 6 x y ( x + ) = 6 x y = y + x + i ( x) 6 x 1 = x + D 1 = R \ { } i Professora: Rosa Canelas 8 Ano Lectivo 010/011

9 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada Grupo I Neste Grupo, cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos D C B D D Grupo II AC = a cos θ 4 BD = a senθ 4 acos θ a senθ A θ = = a senθcosθ ( ) Calcular π A = a = a 4 Interpretar o resultado Substituir a por 5 1 π Simplificar 5sen + θ + = 0 Calcular senθ Calcular A ( θ ) Aplicar a definição de produto escalar 5 Calcular o valor do produto escalar Professora: Rosa Canelas 9 Ano Lectivo 010/

10 Calcular a derivada Calcular os zeros da derivada Estudar o sinal da derivada (tabela) Indicar os intervalos de monotonia e os extremos.. 10 Calcular m f ( 1) = Calcular f ( 1) Calcular a ordenada na origem 4 Escrever a equação da recta Calcular ( f g)( 0) 5 Calcular ( i g)( 1) Calcular ( f i)( x) Simplificar ( f i)( x) 4 Calcular D f i Calcular i ( x) Calcular D 1 i 5 5 Total 00 Professora: Rosa Canelas 10 Ano Lectivo 010/011