ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A. Ficha de revisão nº 14

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Ficha de revisão nº 14 1 Na figura estão representados, em referencial o n xoy, o círculo trigonométrico e um triângulo [OAB] Os pontos A e B pertencem à circunferência O segmento [AB] é perpendicular ao semieixo positivo Ox O ponto C é o ponto de intersecção da circunferência com o semieixo positivo Ox π Seja α a amplitude do ângulo COA α 0, Qual das expressões seguintes dá a área do triângulo [OAB], em função de α? (A) senα cos α (B) tgα cosα (C) tgα senα (D) tgα senα Na figura estão representadas, em referencial on xoy, partes dos gráficos de duas funções, f e g, contínuas em R Tal como a figura sugere, nenhum dos gráficos intersecta o eixo Ox; os gráficos de g e de f intersectam o eixo Oy nos pontos de ordenadas 0,5 e, respectivamente Apenas uma das equações seguintes é impossível Qual delas? (A) f ( x) g( x) = 0 (B) f ( x) g( x) = 0 (C) f x g x = 1 (D) f x 1 g x = 3 Durante os ensaios de um motor, a velocidade de rotação do seu eixo variou, ao longo dos 3 primeiros oito minutos da experiência, de acordo com a função v ( t) = t 15t 63t, onde t designa o tempo (medido em minutos), contado a partir do início da experiência, e v ( t ) designa a velocidade de rotação do eixo do motor (medida em centenas de rotações por minuto) 31 Sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos, determine qual foi a velocidade máxima atingida, nos primeiros oito minutos da experiência Apresente o resultado em centenas de rotações por minuto 3 Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine durante quanto tempo é que, nos primeiros oito minutos da experiência, a velocidade de rotação do eixo do motor Professora: Rosa Canelas

2 foi superior a 6000 rotações por minuto Escreva o resultado final em minutos e segundos (com o número de segundos arredondado às unidades) Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtidos, bem como as coordenadas dos pontos relevantes para a resolução do problema (apresente as abcissas com duas casas decimais) 4 Na figura 1 está representada parte do gráfico de uma função h, de domínior 0 Em cada uma das figuras abaixo está representada parte do gráfico de uma função de domínio R 0 Uma das funções representadas é h', primeira derivada de h, e a outra é h'', segunda derivada de h Numa pequena composição, explique em qual das figuras está representado o gráfico da primeira derivada e em qual está representado o gráfico da segunda derivada Na sua composição, deve referir-se à variação de sinal das funções h' e h'', relacionando-a com características da função h (monotonia e sentido das concavidades do seu gráfico) Professora: Rosa Canelas

3 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Ficha de revisão nº 14 proposta de resolução 1 (A) Na figura estão representados, em referencial o n xoy, o círculo trigonométrico e um triângulo [OAB] Os pontos A e B pertencem à circunferência O segmento [AB] é perpendicular ao semieixo positivo Ox O ponto C é o ponto de intersecção da circunferência com o semieixo positivo Ox π Seja α a amplitude do ângulo COA α 0, A área do triângulo [OAB], em função de α é resposta certa é (A) senα cosα A = A = senα cos α pelo que a (A)Na figura estão representadas, em referencial on xoy, partes dos gráficos de duas funções, f e g, contínuas em R Tal como a figura sugere, nenhum dos gráficos intersecta o eixo Ox; os gráficos de g e de f intersectam o eixo Oy nos pontos de ordenadas 0,5 e, respectivamente Apenas uma das equações seguintes é impossível: f ( x) g( x) = 0 porque a soma de dois números positivos é sempre positivo e nunca pode ser zero As equações f ( x) g( x) = 0 e f x g x = 1 têm como solução a abcissa do ponto de intersecção das duas curvas e a equação f ( x) g( x) = 1 tem pelo menos a solução zero, porque (A) f 0 g 0 = 0,5 = 1 a resposta certa é 3 Durante os ensaios de um motor, a velocidade de rotação do seu eixo variou, ao longo dos 3 primeiros oito minutos da experiência, de acordo com a função v ( t) = t 15t 63t, onde t designa o tempo (medido em minutos), contado a partir do início da experiência, e v ( t ) designa a velocidade de rotação do eixo do motor (medida em centenas de rotações por minuto) 31 Comecemos por: Professora: Rosa Canelas

4 calcular a derivada de v ( t ) : calcular os zeros da derivada: v ' t = 3t 30t 63 ; 10 ± t 30t 63 = 0 t 10t 1= 0 t = t = 7 t = 3 ; uma tabela de snal da derivada e monotonia da função no intervalo [0,8]: x v '( t ) 0-0 v ( t ) ր M ց m ր 3 Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determinemos durante quanto tempo é que, nos primeiros oito minutos da experiência, a velocidade de rotação do eixo do motor foi superior a 6000 rotações por minuto O resultado final deve ser dado em minutos e segundos (com o número de segundos arredondado às unidades) A velocidade de rotação do eixo do motor foi suoerior a 6000 rotações/minuto durante 4 minutos e 5 segundos Os pontos relevantes para a resolução do problema são os pontos de intersecção A ( 1,34; 60 ) e B( 5,4 ; 60 ) 4 Na figura 1 está representada parte do gráfico de uma função h, de domínior 0 Em cada uma das figuras abaixo está representada parte do gráfico de uma função de domínio R 0 Uma das funções representadas é h', primeira derivada de h, e a outra é h'', segunda derivada de h Professora: Rosa Canelas

5 A figura 3 representa a função derivada h' pois da monotonia da função podemos deduzir o sinal da derivada como consta da tabela seguinte: x 0 a c h( x ) ց m ր M ց h' ( x ) A figura representa a segunda derivada h'' pois do sentido da concavidade podemos deduzir o sinal da segunda derivada como consta da tabela seguinte: x 0 b h( x ) pi h'' ( x ) 0 - Professora: Rosa Canelas