Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Complexos. Tarefa nº 3 do plano de trabalho nº 1

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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 1º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Complexos Tarefa nº 3 do plano de trabalho nº 1 1. Considere os vectores unitários u e v da figura e os ângulos NOTA: α e β que os vectores fazem com Ox. a. Em função de α e β indique as coordenadas de u e v. b. Calcule o produto escalar u v por dois processos diferentes e conclua daí uma fórmula para calcular cos( β α ) u v = u v cos( u,v ɵ ) se u = ( u,u ) e v = ( v,v ) 1 1 e então u v = u1 v1 + u v c. Sabendo que β + α = β ( α ) deduza uma fórmula para calcular cos( α + β ) cos d. Relembrando que sen( α + β ) = ( α + β) sen( α + β ), deduza uma fórmula para calcular e. Deduza a partir da fórmula que encontrou em d. a que lhe permite calcular sen( α β) em função das razões trigonométricas de α e de β. f. Partindo das expressões obtidas em c. e d. deduza uma expressão para calcular tg( α + β ) em função de tgα e de tgβ. g. Partindo a fórmula anterior encontre uma expressão para calcular tg( α β ) em função de tgα e de tgβ. h. Finalmente, fazendo β = α nas fórmulas obtidas em c., d. e f. encontre expressões para calcular sen( α ), cos( α ) e tg( α ). i. Analise as fórmulas fornecidas no formulário de exame e não esqueça como a partir delas pode obter todas as que acabou de deduzir.. Utilize as fórmulas anteriores para resolver os exercícios: 95 da página 56, 104 da página 57 e 103 da página 56. Professora: Rosa Canelas 1 Ano Letivo 011/01

2 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 1º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Complexos Tarefa nº 3 do plano de trabalho nº 1 Proposta de resolução 1. Considere os vectores unitários u e v da figura e os ângulos α e β que os vectores fazem com Ox. a. Em função de α e β as coordenadas de u e v são u( cos α,senα) e v ( cos β,senβ) b. Calculemos o produto escalar u v por dois processos diferentes para daí concluirmos uma fórmula para calcular cos( β α ) : Comecemos por utilizar a primeira fórmula dada na nota: u v = u v cos u, v u v ɵ = 1 1 cos β α u v = cos β α Utilizemos agora a segunda fórmula dada na nota: se u = ( cos α,senα) v = β β ( cos,sen ) então u v = cosα cos β + senα senβ Igualando as duas expressões obtidas fica cos β α = cosα cos β + senα senβ e c. Sabendo que β + α = β ( α ) vamos deduzir uma fórmula para calcular cos( α + β ) : ( ) cos α + β = cos β + α = cos β α = cosβ cos α + senβ sen α = cos cos sen sen β α β α porque cos( α ) = cosα e sen cos( α + β ) = cosβ cos α senβ senα α = senα sen α β cos α β, vamos deduzir uma fórmula para d. Relembrando que ( + ) = ( + ) calcular sen( α + β ) : sen( α + β ) = cos ( α + β ) cos cos cos sen sen = α β = α β + α β = senα cosβ + cosα senβ Porque cos α = senα e sen α = cosα sen( α + β ) = senα cosβ + cos α senβ e. Vamos deduzir a partir da fórmula que encontrada em d. a que permite calcular Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 011/01

3 sen( α β) em função das razões trigonométricas de α e de β. ( ) porque cos( β ) = cosβ e sen( β ) = senβ sen α β = sen α + β = senα cos β + cosα sen β = senα cosβ cos α senβ sen( α β ) = senα cosβ cosα senβ f. Partindo das expressões obtidas em c. e d. vamos deduzir uma expressão para calcular tg( α + β ) em função de tgα e de tgβ. sen α + β senα cosβ + cos αsenβ tg( α + β ) = = cos α + β cosα cosβ senαsenβ fracção por cos αcosβ e fica: senα cosβ cosαsenβ + cos α cosβ cosα cosβ tgα + tgβ tg( α + β ) = = cosα cosβ senαsenβ 1 tgα tgβ cosα cosβ cosα cosβ tgα + tgβ tg( α + β ) = 1 tg α tg β e vãos dividir ambos os termos da g. Partindo a fórmula anterior encontremos uma expressão para calcular tg( α β ) em função de tgα e de tgβ. tgα + tg β tgα tgβ tg( α β ) = tg( α + ( β )) = = 1 tgα tg β 1+ tgα tgβ tgα tgβ tg( α β ) = 1 + tg α tg β h. Finalmente, fazendo β = α nas fórmulas obtidas em c., d. e f. encontremos expressões para calcular sen( α ), cos( α ) e tg( α ). sen( α + β ) = senα cosβ + cos α senβ β = α sen( α + α ) = senα cosα + cosα senα sen( α ) = senα cos α cos( α + β ) = cosβ cos α senβ senα β = α cos( α + α ) = cosα cos α senα senα cos( α ) = cos α sen α Professora: Rosa Canelas 3 Ano Letivo 011/01

4 tg( α + β ) = tgα + tgβ β = α tg( α + α ) = tgα + tgα 1 tgα tgβ 1 tgα tgα tgα tg( α ) = 1 tg α i. Analisando as fórmulas fornecidas no formulário de exame verificamos que só as fórmulas das razões de α + β lá estão. Por isso temos de conseguir chegar às da diferença e às da duplicação a partir delas que foi o que acabámos de fazer. Assim chegamos às da diferença fazendo α β = α + ( β ) e às de duplicação fazendo α = α + α. Utilizemos as fórmulas anteriores para resolver os exercícios: 95 da página 56, 104 da página 57 e 103 da página Sem recorrer à calculadora vamos calcular o valor exacto de: a. sen74º cos16º + cos 74º sen16º = sen( 74º + 16º ) = sen 90º = 1 b. tg + tg tg = tg tg = = = = = = tg tg Resolvamos as equações seguintes: a. ( ) sen 4x sen x = 0 sen x cos x sen x = 0 sen x cos x 1 = 0 k sen( x) = 0 cos( x) = 1 x = k x = k,k x =,k Chegámos a esta solução porque as soluções do segundo ramo já estão contadas no primeiro ramo e por isso pudemos simplificar a expressão que dá as soluções da equação. x x x x x x b. 1 sen = cos x 1 sen = cos 1 sen = cos sen x x x x x x x x 1 cos + sen sen = 0 sen + sen sen = 0 sen sen = 0 x x x x x x 1 sen sen 1 = 0 sen = 0 sen 1 = 0 = k sen = x x 5 x = k = + k = + k x = k x = + 4k x = + 4k,k c. senx cos + cos x sen = 1 sen x + = 1 x + = + k,k x = + k,k 10 Professora: Rosa Canelas 4 Ano Letivo 011/01

5 d. sen cos x 3senx = 1 cos x tg senx = 1 cos x 3 senx = 1 3 cos 3 cos cos x sen senx = cos cos + x = cos + x = + k + x = + k x = k x = + k,k Demonstremos que: a. cos( x) primeiro: 1 tg x =. Vamos começar pelo segundo membro e tentar chegar ao 1 + tg x sen x cos x sen x 1 1 tg x cos x cos x cos x sen x cos( x) = = = = = cos x 1+ tg x sen x cos x + sen x cos x + sen x cos cos Pudemos simplificar dividindo por cos x por a expressão estar definida no domínio da tangente, ou seja para todos os valores reais que não anulam cos x. b. 4 4 cos x sen x 1 =. Vamos começar pelo primeiro membro e tentar chegar ao sen x segundo: tg( x) sen( x) cos( x) cos 4 x sen 4 x cos x sen x cos x + sen x cos x = = = = sen x sen x sen x tg x O domínio desta igualdade é x IR : sen x 0 cos x 0 = x IR : x k x + k,k Z = x IR : x k x + k,k Z = x IR : x k,k 4 4 { } Professora: Rosa Canelas 5 Ano Letivo 011/01