Capítulo I Geometria no Plano e no Espaço

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1 Resumo Té CaPítulo ICddf º ANO MATEMÁTICA RESUMO TEÓRICO Capítulo I Geometria no Plano e no Espaço (A) REVISÕES TEOREMA DE PITÁGORAS a e b são atetos é a hipotenusa Num triângulo retângulo verifia-se sempre a igualdade seguinte : a + b (B) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA [AB] - segmento de reta AB - omprimento do segmento de reta AB - reta que passa por A e por B Relativamente ao ângulo α podemos definir: [AB] omo ateto oposto a α [] omo ateto adjaente a α RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DO ÂNGULO α omprimento do ateto oposto sen α hipotenusa AB omprimento do ateto adjaente osα hipotenusa omprimento do ateto oposto tg α omprimento do ateto adjaente AB senα tg α os α Resumo Teório Capítulo I

2 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE ÂNGULOS COMPLEMENTARES Através do triângulo anterior, temos que: sen α AB os α sen β os β AB Como o triângulo [A] é retângulo em A, α + β 90º ou β 90 º α Logo, sen α os( 90º α ) osα sen (90º α ) Exemplo: sen 5º os 55º os 5º sen 55º (C) FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Pelo Teorema de Pitágoras a + b () Dividindo ambos os membros por obtemos: a b a b + + () Em relação ao ângulo α, a b senα os α Substituindo () em (), vem () OBS: sen α ( senα) senα α + α ( sen α) + (osα) sen os Fórmula Fundamental da Trigonometria Resumo Teório Capítulo I

3 Se dividirmos ambos os membros da Fórmula Fundamental da Trigonometria por os α, obtém-se: sen α os α senα sen + os α + + os α os α os α osα α os α tg + os α α Com estas duas fórmulas onseguimos alular as outras duas razões trigonométrias de um angulo, onheendo uma delas. CASOS NOTÁVEIS: ( a + b) a + ab + b (D) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS 0º,45º E 60º ÂNGULO 0º Através de um triângulo equilátero [D], obtemos dois triângulos retângulos [A] e [ABD]. ( a b) a ab + b a b ( a + b)( a b) Considerando o triângulo retângulo [A] podemos afirmar que, sen 0º sen 0º Logo sen 0º Pela fórmula fundamental da trigonometria podemos obter o os 0º. Assim: Logo, os 0º Resumo Teório Capítulo I

4 Como senα tg α. Então os α tg0 º. tg0 º ÂNGULO 45º Consideremos o triângulo isóseles representado na figura. b tg 45 º omo b então tg45º, pois tg45º tg45º sen45º b a os45º a Como b Então sen45º os 45º Pela fórmula fundamental da trigonometria sen 45º + os 45º sen 45º + sen 45º sen sen45º sen45º 45º sen 45º. e os 45º ÂNGULO 60º Como 60º e 0º são ângulos omplementares, pois 60º+0º 90º, então sen 60 º os0º os 60º sen 0º 60º tg 60 º sen os60º Resumo Teório Capítulo I 4

5 TABELA RESUMO 0º 45º 60º sen os tg (E) FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DE UM ÂNG. QUALQUER GENERALIZAÇÃO DA NOÇÃO DE ÂNGULO Para que seja definido um ângulo, basta que existam: - um lado origem (fixo) - um lado extremidade (que roda para formar o ângulo) SENTIDO POSITIVO (ontrário ao dos ponteiros do relógio) SENTIDO NEGATIVO (sentido dos ponteiros do relógio) Se o lado extremidade ontinuar a rodar: Resumo Teório Capítulo I 5

6 Logo, A ada par ordenado de semi-retas, orresponde uma família de amplitudes do tipo: α + k60º, sendo k um número inteiro. O RADIANO O sistema irular tem omo unidade de medida o radiano. Um radiano (rad) é a amplitude de um ângulo ao entro a que orresponde um aro de omprimento igual ao raio da irunferênia a que pertene. Então, em 60º, abem raio, ou seja radianos. r, então numa irunferênia abem vezes o seu Logo 60º orresponde a radianos ( x,4 6,8 rad. ) 80º orresponde a radianos (,4 rad.) 90º orresponde a radianos (,57 rad.) Obs: Para onverter graus em radianos ou radianos em graus, basta utilizar a regra de três simples. Exemplo: (4º para radianos) 60º rad. 4º x rad.,4 4 x 0,75rad. 60 VALORES DE ÂNGULOS A SABER: 0º º º º º º º Resumo Teório Capítulo I 6

7 CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO Consideremos um irulo de entro na origem de um referenial e de raio. A este irulo hamamos irulo trigonométrio. Todos os ângulos podem ser marados no írulo trigonométrio e têm: LADO ORIGEM oinidente om o semieixo positivo Ox. LADO EXTREMIDADE em qualquer quadrante, sendo este lado que determina o quadrante em que se enontra o ângulo. Exemplo: α 60º --- º Quadrante 0 º < α < 90º α 75º --- º Quadrante 90 º < α < 80º α 00º --- º Quadrante 80 º < α < 70º α 00º --- 4º Quadrante 70 º < α < 60º α 70º --- 4º Quadrante Considerando ainda o triângulo [OAP], temos; AP sen α senα y OP O Seno tem o valor da ordenada do ponto assoiado ao ângulo. OA os α osα x OP O Coseno tem o valor da abissa do ponto assoiado ao ângulo. AB tg α OA y x Resumo Teório Capítulo I 7

8 ASSIM PASSAREMOS A CHAMAR: ESTUDO DA FUNÇÃO SENO, COSENO E TANGENTE SENO º Quadrante Seno é resente (aumenta à medida que o ângulo aumenta) e positiva (varia entre 0 e ) º Quadrante Seno é deresente (diminui à medida que o ângulo aumenta) e positiva (varia entre 0 e ) º Quadrante Seno é deresente e negativa (varia entre - e 0) 4º Quadrante Seno é resente e negativa (varia entre 0 e ) Resumo da Função Seno: Resumo Teório Capítulo I 8

9 COSENO º Quadrante Coseno é deresente e positiva (varia entre 0 e ) º Quadrante Coseno é deresente e negativa (varia entre - e 0) º Quadrante Coseno é resente e negativa (varia entre - e 0) 4º Quadrante Coseno é resente e positiva (varia entre 0 e ) Resumo da Função Coseno: TANGENTE º Quadrante Tangente é resente e positiva (varia entre 0 e º Quadrante Tangente é resente e negativa (varia entre º Quadrante Tangente é resente e positiva (varia entre 0 e 4º Quadrante Tangente é resente e negativa (varia entre + ) e 0) + ) e 0) Resumo da Função Tangente: Resumo Teório Capítulo I 9

10 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES REDUÇÃO AO ºQ Vamos relaionar as razões trigonométrias de um ângulo de qualquer quadrante om as razões trigonométrias de um ângulo do º Quadrante. Seja α a amplitude de um ângulo do º Quadrante. (A) Ângulos Simétrios α e α sen( α) senα os( α) osα tg( α) tgα (B) Ângulos Suplementares α e α sen ( α) senα os( α) osα tg( α) tgα (C) Ângulos α e + α sen( + α) senα os( + α) osα tg ( + α) tgα Resumo Teório Capítulo I 0

11 (D) Ângulos Complementares α e α sen ( α) osα os( α) senα tg( α) tgα (E) Ângulos α e + α sen ( + α) osα os( + α) senα tg( + α) tgα (F) Ângulos α e + α sen ( + α) osα os( + α) senα tg( + α) tgα (G) Ângulos α e α sen ( α) osα os( α ) sen α tg( α) tgα Resumo Teório Capítulo I

12 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS senx senα x α +. k x α +. k, k Ζ CASOS PARTICULARES senx 0 x k, k Ζ senx x + k, k Ζ senx x + k, k Ζ os x osα x α +. k x α +. k, k Ζ CASOS PARTICULARES os x 0 x + k, k Ζ os x x k, k Ζ os x x + k, k Ζ tgx tgα x α +. k, k Ζ Resumo Teório Capítulo I