Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Complexos. TPC 1 do plano de trabalho nº 11

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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Complexos TPC do plano de trabalho nº Resolver as actividades, 3, das páginas e 5 e terminar a resolução da tarefa nº. Actividade Representemos graficamente cada uma das funções seguintes e expliquemos como se podem obter estes gráficos a partir do gráfico de f ( x) têm o mesmo contradomínio e o mesmo período. Comecemos por representar graficamente a função f definida por f ( x) de colocar a máquina em radianos. = senx. Para cada função vamos ainda indicar se = senx, não esquecendo a. g( x) = senx Mantendo a mesma janela verificamos que o gráfico de g é simétrico do de f em relação ao eixo das abcissas. O contradomínio continua a ser [, ] e o período também continua a ser. b. h( x) = sen x + Mantendo a mesma janela verificamos que o gráfico de h resulta do de f fazendo uma translação associada ao vector de coordenadas,0. O contradomínio continua a ser [, ] e o período também continua a ser. c. r ( x) = sen x + 3 Mantendo a mesma janela verificamos que o gráfico de r resulta do de f fazendo uma translação associada ao vector de coordenadas,0 3. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 0/0

2 O contradomínio continua a ser [, ] e o período também continua a ser. d. s( x) = senx Mantendo a mesma janela verificamos que o gráfico de s resulta do de f fazendo uma transformação que duplica as imagens. O contradomínio passa a ser [,] e o período continua a ser. e. t ( x) = sen x + Mantendo a mesma janela verificamos que o gráfico de t resulta do de f fazendo uma transformação que reduz a metade as imagens seguida duma translação associada ao vector de coordenadas,0. O contradomínio passa a ser, e o período continua a ser. Actividade 3 As representações gráficas seguintes correspondem a funções da família definida por: y = a + b cos( x + d ),a,b,d IR Pretendemos determinar a expressão adequada em cada caso, explicando o raciocínio que permite encontrar o valor dos parâmetros. y Comecemos por representar graficamente a função definida por = cos x e comparemos agora com o gráfico da alínea: a). Verificamos que o gráfico sofreu uma simetria em relação ao eixo Ox e que as imagens duplicaram ficando o contradomínio a ser [,]. A expressão é então y = cos x. Os valores dos parâmetros são: a = 0, b = e d = 0. Comparemos agora com o gráfico da alínea: b) Nesta o contradomínio é [,] se considerarmos que a graduação é igual à dos restantes gráficos e tem o ligeiramente deslocado, mas o gráfico não sofreu simetria mas sim uma Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 0/0

3 translação associada ao vector de coordenadas,0. A expressão é então y = cos x. Os valores dos parâmetros são: a = 0, b = e d =. Comparemos agora com o gráfico da alínea: c) Nesta o contradomínio é [,3 ] pelo que b =, mas o gráfico não sofreu simetria mas sim uma translação associada ao vector de coordenadas ( 0, ) pelo que a =. E d = 0 porque o gráfico não sofreu deslocação horizontal que A expressão é então y = + cos x. Os valores dos parâmetros são: a =, b = e d = 0. Comparemos agora com o gráfico da alínea: 3 5 d) Nesta o contradomínio é, e o gráfico sofreu uma simetria em relação ao eixo Ox pelo b =, mas o gráfico sofreu ainda uma translação associada ao vector de coordenadas ( 0, ) pelo que a =. E d = 0 porque o gráfico não sofreu deslocação horizontal A expressão é então y = cos x. Os valores dos parâmetros são: a =, b = e d = 0. Actividade º. Representar num mesmo referencial os pares de funções seguintes: a. f ( x) = senx e g( x) = sen( x) na janela a b. f ( x) = senx e h( x) = sen( x) na janela a. c. f ( x) = senx e r ( x) = sen na janela a. Professora: Rosa Canelas 3 Ano Letivo 0/0

4 º. Indicar o contradomínio e o período de g, h e r. FUNÇÕES g x sen x ( ) = ( ) [ ] ( ) = sen( x) [, ] h x r ( x) = sen CONTRADOMÍNIO PERÍODO, [, ] 3º. Fazer uma previsão de qual deve ser o período das funções definidas por: a. s( x) sen( 6x) b. ( ) = tem período 3 x t x = sen tem período 8 = tem período 3 c. u( x) sen( 3x) º. Indicar o valor de c para o qual o período da função f ( x) sen( cx) a. período0 b. período 6 5 c. período d. período = é: 5º. Fazer estudo idêntico para funções das famílias y = cos( cx) e y = tg( cx) º. Representar num mesmo referencial os pares de funções seguintes: a. f ( x) = cos x e g( x) = cos( x) na janela a b. f ( x) = cos x e h( x) = cos( x) na janela a. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 0/0

5 c. f ( x) = cos x e r ( x) = cos na janela a. º. Indicar o contradomínio e o período de g, h e r. FUNÇÕES g x cos x ( ) = ( ) [ ] ( ) = cos( x) [, ] h x r ( x) = cos CONTRADOMÍNIO PERÍODO, [, ] 3º. Fazer uma previsão de qual deve ser o período das funções definidas por: a. s( x) cos( 6x) b. ( ) = tem período 3 x t x = cos tem período 8 = tem período 3 c. u( x) cos( 3x) º. Indicar o valor de c para o qual o período da função f ( x) cos( cx) = é: a. período0 b. período 6 5 c. período d. período º. Representar num mesmo referencial os pares de funções seguintes: a. f ( x) = tgx e g( x) = tg( x) na janela a b. f ( x) = tgx e h( x) = tg( x) na janela a. Professora: Rosa Canelas 5 Ano Letivo 0/0

6 c. f ( x) = tgx e r ( x) = tg na janela a. º. Indicar o contradomínio e o período de g, h e r. FUNÇÕES CONTRADOMÍNIO PERÍODO g( x) = tg( x) IR h( x) = tg( x) IR r ( x) = tg IR 3º. Fazer uma previsão de qual deve ser o período das funções definidas por: a. s( x) tg( 6x) b. ( ) = tem período 6 x t x = tg tem período u x = tg 3x tem período 3 c. ( ) ( ) º. Indicar o valor de c para o qual o período da função f ( x) tg( cx) = é: a. período0 b. período c. período d. período 6º. Estabelecer uma conjectura sobre o valor do período da funções definidas por y = sen( cx), y = cos( cx) e y tg( cx) =. = é c O período de uma função do tipo y sen( cx) = é c O período de uma função do tipo y cos( cx) = é c O período de uma função do tipo y tg( cx) Para validar a conjectura devemos fazer uma demonstração igual à que está feita na resolução do exemplo da página 6. (procure lá a demonstração). Professora: Rosa Canelas 6 Ano Letivo 0/0