ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A

Transcrição

1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A Tarefa nº do plano de trabalho nº 7. Considere a função f() -. a. Encontre a epressão analítica da função inversa de f. b. Represente graficamente cada uma das funções. c. Complete o quadro que resume o estudo de f e f -I. f() Domínio Contradomínio Zeros Sinal Positiva Negativa Monotonia Taa variação. Esboce o gráfico da função inversa de cada uma das funções representadas nos gráficos ao lado.. Considere as funções: f() g() - h(). a. Represente graficamente cada uma delas e a respectiva inversa. b. Indique a epressão analítica da inversa de cada uma das funções.. Considere a função real de variável real f() a. Determine o seu domínio. b. Mostre que f é uma função injectiva. c. Determine a epressão analítica de f -. d. Indique o contradomínio de f. e. Faça o estudo da função f -. f -l (). Quais das funções representadas têm inversa? Esboce o respectivo gráfico.. As seguintes funções não são injectivas, por isso, não têm inversa. Indique uma restrição PROFESSORA: Rosa Canelas 00/00

2 de cada uma delas que tenha inversa. a. - b. c Considere as funções: g{) h{) ( ) i{) + a. Indique, justificando, se cada uma das funções tem ou não inversa. b. Determine a epressão analítica e faça o estudo das funções inversas referidas na alínea anterior. 8. Considere as funções: f{) - g{) + h{) a. Verifique que cada uma das funções não tem inversa. PROFESSORA: Rosa Canelas 00/00 d. + b. Para cada uma destas funções, indique uma restrição que tenha inversa e caracterize-a. 9. Quais das seguintes funções têm inversa? a. b. + c. d. - e. f. + Estude a paridade das funções e relacione-a com o facto de ter ou não inversa. 0. Qual é o valor lógico (verdadeiro ou falso) das seguintes afirmações sobre funções de domínio R: a. Uma função par não pode ter inversa. b. Uma função ímpar tem sempre inversa. c. Para certos valores de m, as funções do tipo f() Im + bl têm inversa. d. Algumas funções quadráticas têm inversa.. Para cada uma das funções calcule f -I ; fof -I e f -l o f: a. f() + b. f() c. f() + +, com 0 d. f( ),com +. a. Para cada uma das funções calcule a inversa da inversa, ou seja, por eemplo para a função f, defina (f ). f() + g() + 9 h() 0, - b. Que conclusão pode tirar sobre a inversa da inversa?. Verifique se as funções g e h são inversas uma da outra. a. g() e h() 0, + 0, b. g() e h()

3 c. g() e h(). a. Faça o estudo completo destas funções e das respectivas inversas: g() h() b. Indique os pontos de intersecção do gráfico de g com o gráfico de g -I e do gráfico de h com o gráfico de h -I.. As seguintes funções todas têm inversa: (I) (II) (III) + + a. Determine a epressão analítica das funções inversas. b. Compare o domínio e contradomínio de cada uma das funções com os da sua inversa.. Das funções seguintes, indique as que têm inversa e desenhe o respectivo gráfico. 7. Qual é o valor lógico (verdadeiro ou falso) das seguintes afirmações: a. A inversa de uma função linear f() m + b (m 0) é também uma função linear. b. A inversa de uma função racional f() a + b é uma função da mesma família. + c c. A inversa de uma função do tipo f() a + b é também uma função do mesmo tipo. d. Todas as funções polinomiais têm inversa. PROFESSORA: Rosa Canelas 00/00

4 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A Tarefa nº do plano de trabalho nº 7 proposta de resolução. Consideremos a função f() -. a. A epressão analítica da função inversa de f obtém-se de + + f ( ) + b. Representemos graficamente cada uma das funções. c. Complete o quadro que resume o estudo de f e f -I. f() f -l () Domínio IR IR Contradomínio IR IR Zeros Sinal Positiva, + Negativa, ], + [ ], [ Monotonia crescente crescente Taa variação. Esbocemos o gráfico da função inversa de cada uma das funções representadas nos gráficos ao lado. PROFESSORA: Rosa Canelas 00/00

5 . Consideremos as funções: f() g() - h(). a. Representemos graficamente cada uma delas e a respectiva inversa. As funções inversas nestes casos coincidem com as próprias funções: b. Indique a epressão analítica da inversa de cada uma das funções. ( ) g ( ) h ( ) f. Considere a função real de variável real f() a. O seu domínio é IR \ { } b. Mostremos que f é uma função injectiva. Uma função é injectiva se objectos diferentes tiverem imagens diferentes ou seja: ( ) ( ) f f,, D que também se pode escrever na forma f ( ) ( ) f f,, D Então f f f + + ( ) ( ) 0. f é injectiva. c. A epressão analítica de f - obtém-se de: ( + ) + + f ( ) + + PROFESSORA: Rosa Canelas 00/00

6 d. O contradomínio de f é o domínio de f - que é IR \ { } e. Façamos o estudo da função f -. Comecemos por dividir + por + e podemos escrever: ( ) E podemos então dizer que D IR\ f { } f + + Tem um zero que é - e resulta de + f ( ) O gráfico é uma hipérbole com duas assímptotas com equações e. A função é decrescente em todos os intervalos do domínio. ' O contradomínio é D IR\ { } f. Quais das funções representadas têm inversa? Esboce o respectivo gráfico. As funções que admitem inversa são as que são injectivas, k, m, n e p. Os seus gráficos são simétricos dos gráficos dados em relação à bissectriz dos quadrantes ímpares. PROFESSORA: Rosa Canelas 00/00

7 . As funções dadas não são injectivas, por isso, não têm inversa. Indicamos uma restrição de cada uma delas que tenha inversa. a. -, IR + 0 Vejamos o gráfico da restrição e da sua inversa com a bissectriz dos quadrantes ímpares. b., [, [ + Vejamos o gráfico da restrição e da sua inversa com a bissectriz dos quadrantes ímpares. c. +, IR + 0 Vejamos o gráfico da restrição e da sua inversa com a bissectriz dos quadrantes ímpares. d., IR + 0 Vejamos o gráfico da restrição que coincide com o da sua inversa e com a bissectriz dos quadrantes ímpares no primeiro quadrante. 7. Considere as funções: g{) h{) ( ) i{) + a. g tem inversa porque é injectiva, o seu gráfico é uma recta oblíqua, pelo que objectos diferentes têm imagens diferentes. Analiticamente ( ) ( ) g g,, D e de facto: g h não tem inversa porque é uma função quadrática, o seu gráfico é uma parábola e há objectos diferentes (por eemplo e ) que têm a mesma imagem. Analiticamente ( ) ( ) ( ) ( ) h h,, D e: h + + o que prova que as imagens podem ser iguais sendo os objectos diferentes PROFESSORA: Rosa Canelas 7 00/00

8 i tem inversa porque é uma função racional, o seu gráfico é uma hipérbole com assímptota vertical de equação e assímptota horizontal de equação, pelo que objectos diferentes têm imagens diferentes. Analiticamente ( ) ( ) i i,, D e de facto: i b. Determinemos a epressão analítica das funções inversas referidas na alínea anterior e façamos o estudo delas. + logo ( ) g + + ( ) + logo i ( ) ()/(-) Resumimos o estudo destas funções, representadas nos gráficos seguintes numa tabela: Funções ( ) g + i ( ) Domínio IR IR \ { } Contradomínio IR IR \ { } zeros 0 Monotonia crescente crescente Positiva ], + [ ] 0,[ Negativa ], [ ],0[ ], + [ 8. Considere as funções: f{) - g{) + h{) + a. Verifiquemos que cada uma das funções não tem inversa. Da observação do gráfico de f verificamos que não é injectiva porque tem zeros o que prova que há objectos PROFESSORA: Rosa Canelas 8 00/ ^-

9 diferentes com a mesma imagem (zero). abs ()+ Da observação do gráfico de g verificamos que há objectos diferentes com imagem igual, por eemplo - e têm imagem. (+^)/ Da observação do gráfico de h verificamos que há objectos diferentes com a mesma imagem, (por eemplo, há dois objectos diferentes com imagem ) a função não é injectiva. - b. Com cada uma destas funções, indicamos uma restrição que tenha inversa, atribuindo a mesma epressão analítica e indicando um novo domínio. f{) -, [, + [ g{) +, [ 0, + [ h{) +, [, + [ 9. Quais das seguintes funções têm inversa? a., não é par nem ímpar, mas é injectiva logo tem inversa. não é par nem ímpar ( ) ( ) ( ) +, é injectiva b. +, não é par nem ímpar, e não é injectiva logo não tem inversa. não é par nem ímpar ( ) ( ) ( ) + não é injectiva por ser uma função quadrática. c., não é par nem ímpar mas é injectiva logo, tem inversa. não é par nem ímpar ( ) + ( ) é injectiva + + PROFESSORA: Rosa Canelas 9 00/00

10 d. - é par logo não tem inversa. O gráfico é uma recta paralela ao eio das abcissas. e. não é par nem ímpar mas é injectiva logo tem inversa. não é par nem ímpar ( ) ( ) é injectiva f. é par e por isso não é injectiva, logo não tem inversa. + é par ( ) ( ) ( ) + + ( ) Sempre que uma função é par ela não é injectiva e por isso não admite inversa. 0. O valor lógico (verdadeiro ou falso) das seguintes afirmações sobre funções de domínio IR é: a. Uma função par não pode ter inversa. Verdadeiro. (objectos simétricos têm imagens iguais, logo a função não é injectiva) b. Uma função ímpar tem sempre inversa. Falsa (vejamos o gráfico de sen numa janela [-0,;0,] [-,] para percebermos que sendo o gráfico simétrico em relação à origem isso não significa que a função seja injectiva) sin (/) c. Para certos valores de m, as funções do tipo f() Im + bl têm inversa. Falso (se m é zero a recta é horizontal logo a função não é injectiva, se m 0 a função tem um gráfico em V o que confirma não ser a função injectiva) d. Algumas funções quadráticas têm inversa. Falso (o gráfico de qualquer função quadrática é uma parábola de eio vertical pelo que a função não é injectiva, os objectos simétricos em relação ao eio de simetria têm imagens iguais) PROFESSORA: Rosa Canelas 0 00/00

11 . Para cada uma das funções calcule f -I ; fof -I e f -l o f: a. f() + + logo f ( ) ( )( ) ( ) f f f( f ) f + + ( )( ) ( ( )) ( ) f f f f f + + b. f() logo ( ) ( )( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f c. f() +, com 0 + logo ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f f + + ( )( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f f,com + d. ( ) ( ) + logo f ( ) + + f f f( f ) f + + ( )( ) ( ) ( )( ) ( ( )) f f f f f. a. Para cada uma das funções calcule a inversa da inversa, ou seja, por eemplo para a função f, defina (f ). f() + + logo f ( ) - + logo ( f ) ( ) + f( ) PROFESSORA: Rosa Canelas 00/00

12 g() + 9 g ( ) ( ) ( ) 9 + ( g ) ( ) g( ) + 9 h() 0, 0, 0, + 0, + logo h ( ) + 0, 0, 0, 0, + + logo ( h ) ( ) 0, h( ) b. Concluímos que ( f ) ( ) f( ). Verifique se as funções g e h são inversas uma da outra. a. g() e h() 0, + 0, ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) g h g h g 0, + 0, 0, + 0, + h é inversa de g b. g() e h() ( )( ) ( ( )) g h g h g h é inversa de g c. g() ( )( ) ( ( )) e h() + g h g h g h não é inversa de g. a. Façamos o estudo completo destas funções e das respectivas inversas: g() h() + logo ( ) g + ; ( ) PROFESSORA: Rosa Canelas 00/00

13 h ( ) Funções g() ( ) g + h() h ( ) Domínio IR IR IR\{} IR\{} Contradomínio IR IR IR\{} IR\{} Zeros - Monotonia crescente crescente decrescente decrescente Assímptota vertical Assímptota horizontal b. Os pontos de intersecção do gráfico de g com o gráfico de g -I não eistem porque os gráficos são rectas paralelas e do gráfico de h com o gráfico de h I calculam-se resolvendo ± ± Porque os pontos de intersecção pertencem à bissectriz dos quadrantes ímpares as coordenadas dos pontos são: ( +,+ ) e (, ). As seguintes funções todas têm inversa: (I) (II) + (III) + a. Determinemos a epressão analítica das funções inversas. (I) + logo ( ) + (II) ( ) logo ( ) (III) ( ) logo ( ) + b. Comparemos o domínio e contradomínio de cada uma das funções com os da sua inversa. PROFESSORA: Rosa Canelas 00/00

14 Funções + ( ) ( ) + ( ) + Domínio IR \ { } IR \ { 0 } IR \ { } IR \ { } IR \ { } IR \ { } Contradomínio IR \ { 0 } IR \ { } IR \ { } IR \ { } IR \ { } IR \ { } O domínio de uma função é o contradomínio da inversa e o contradomínio da função é o domínio da inversa... Das funções seguintes, as que têm inversa são m, p, r, s e t e os gráficos das inversas são simétricos dos gráficos das funções dadas em relação à bissectriz dos quadrantes ímpares. 7. Qual é o valor lógico (verdadeiro ou falso) das seguintes afirmações: a. A inversa de uma função linear f() m + b (m 0) é também uma função linear. Verdadeiro b. A inversa de uma função racional f() a + b é uma função da mesma família. + c verdadeiro desde que b c porque nesse caso f() a não é injectiva) a c. A inversa de uma função do tipo f() a + b é também uma função do mesmo tipo. Falso ( a função inversa é uma função irracional) d. Todas as funções polinomiais têm inversa. Falso (as funções quadráticas não têm inversa). PROFESSORA: Rosa Canelas 00/00