Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 2 Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo.

Transcrição

1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 2 Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. Tarefa nº 2 1. Analise as seguintes correspondências e indique, justificando, as que são funções: 1.1. A idade de uma pessoa e o seu peso ao longo da vida As distâncias medidas no mapa e as distâncias reais Um número e o seu quadrado Um número real e a sua raiz quadrada Um número real positivo e a sua raiz quadrada Um número natural e os seus divisores Os meses do ano de 2013 e o número de dias de cada mês. 2. Numa empresa de transportes o preço que se paga pelo envio de uma encomenda até 50 kg depende do seu peso. A tabela de preços é a seguinte: Peso (Kg) Preço (euros) até 1 kg 3 de 1kg até 5 kg 9 de 5 kg até 10 kg 12 de 10 kg até 20 kg 15 de 20kg até 30 kg 18 de 30kg até 50 kg Quanto custará mandar uma encomenda com 2 kg? E uma com 10 kg? 2.2. Relacione graficamente o peso com o custo de envio: - representando no eixo das abcissas o peso e no eixo das ordenadas o custo (gráfico A); - representando no eixo das abcissas o custo e no eixo das ordenadas o peso (gráfico B) Os dois gráficos da alínea anterior representam funções? Justifique a sua resposta Indique o domínio e o contradomínio das funções de A figura representa um copo em forma de cone que vai ser cheio com água Mostre que a altura da água no cone h está relacionada com o raio da sua superfície x através da expressão h 3,75x Qual é a altura da água quando o raio da superfície é 5 cm? 3.3. Qual é o raio da superfície quando a água atinge 18 cm de altura? 3.4. Complete a seguinte tabela: Professora: Rosa Canelas 1 Ano Letivo 2012/2013

2 x h 3.5. Represente graficamente a função h Indique o domínio e o contradomínio desta função. 4. Considere vários polígonos regulares Quanto mede um ângulo externo de um triângulo equilátero? E um ângulo externo de um quadrado? E um ângulo externo de um decágono regular? 4.2. Descubra uma fórmula que dê a medida do ângulo externo de um polígono regular (E) em função do número de lados do polígono (n) Representa graficamente a função da alínea anterior Há um polígono regular que tenha um ângulo externo igual a 10º? E de 25º? 4.5. Qual é o domínio da função? E o contradomínio? 4.6. De que tipo da função se trata? Porquê?? Professora: Rosa Canelas 2 Ano Letivo 2012/2013

3 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 2 Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. 1. Tarefa nº 2 Proposta de Resolução 1.1. é uma função porque a cada instante da vida de uma pessoa corresponde uma idade e a cada idade um peso. Se considerássemos que a idade se mantém ao longo de um ano, então não teríamos uma função porque ao longo do ano o peso podia variar e então cada objecto teria mais de uma imagem é uma função porque a cada distância medida no mesmo mapa corresponde, de acordo com a escala adoptada, uma distância real e só uma é uma função porque cada número tem um e um só quadrado não é função porque há números reais que não têm raiz quadrada real os negativos é função porque cada número real positivo tem uma e uma só raiz quadrada não é função porque quase todos os números naturais têm mais de um divisor. (exceção para o 1) 1.7. é função porque Fevereiro pode ter 28 ou 29 dias, mas como dissemos os meses do ano 2013 a Fevereiro já só corresponde o número 28. Se não identificássemos o ano já não teríamos uma função. 2. Numa empresa de transportes o preço que se paga pelo envio de uma encomenda até 50 kg depende do seu peso. A tabela de preços é a seguinte: Peso (Kg) Preço (euros) até 1 kg 3 de 1kg até 5 kg 9 de 5 kg até 10 kg 12 de 10 kg até 20 kg 15 de 20kg até 30 kg 18 de 30kg até 50 kg Mandar uma encomenda com 2 kg custa 9 euros e uma com 10 kg custa 15 euros Relacione graficamente o peso com o custo de envio: - representando no eixo das abcissas o peso e no eixo das ordenadas o custo (gráfico A); Professora: Rosa Canelas 3 Ano Letivo 2012/2013

4 - representando no eixo das abcissas o custo e no eixo das ordenadas o peso (gráfico B) Dos dois gráficos da alínea anterior só o gráfico A representa uma função, porque no gráfico B há objectos com várias imagens e no gráfico A cada objecto tem uma só imagem O domínio da função do gráfico A é D 0,50 e o contradomínio é CD 3,9,12,15,18, A altura da água no cone é proporcional ao raio porque o cone ocupado com água é semelhante ao cone que representa o copo, pelo que: h 30x h x h 3,75x. h x Quando o raio da superfície é 5 cm a altura da água é h 3, ,75cm Quando a altura da água é 18cm o raio da superfície é: 18 3,75x x 18 3,75 x 4,8cm 3.4. Usando a calculadora rapidamente obtínhamos os valores pedidos na tabela, 0; 7,5; 15; 22,5 e Usando, novamente, a calculadora podemos obter o gráfico. Para o obtermos sem a calculadora bastava representar num referencial a origem e o ponto (8,30) e depois uni-los com um segmento de recta O domínio é 0,8 e o contradomínio é 0,30. Professora: Rosa Canelas 4 Ano Letivo 2012/2013

5 4. Considere vários polígonos regulares Um ângulo externo de um triângulo equilátero mede 120º 180º 60º 120º. Um ângulo externo de um quadrado mede 90º 180º 90º 90º. Um ângulo externo de um decágono regular mede 36º. O ângulo interno do polígono com 10 lados mede: º 2a 180º 144º pelo que o ângulo 10 externo mede 36º 180º 144º 36º 4.2. Descubra uma fórmula que dê a medida do ângulo externo de um polígono regular (E) em função do número de lados do polígono (n). Façamos uma tabela para percebermos o que acontece: Nº de lados (n) Ângulo interno Ângulo externo (E) /10 n a a a 3 60º 120º 4 90º 90º 5 6 º 180º 180º º 72º 5 180º 180º 60º 120º 60º º 90 4 º 72 5 º 60 6 º 7 8 º 900º 180º 7 7 número natural maior que 2 não pode representar o número de lados de um polígono. Professora: Rosa Canelas 5 Ano Letivo 2012/2013 º 7 º 180º 135º 45º 8 Agora é fácil encontrar a fórmula será E n 4.3. A figura representa graficamente a função da alínea anterior para n 3, 4,5,6,7,8,9, Há um polígono regular que tenha um ângulo externo igual a 10º que é um polígono de 36 lados porque: 10 n n 36. n 10 Com 25º não há nenhum porque 7 º 45 8 º 25 n n 14,4 mas como 14,4 não é um n 25

6 4.5. O domínio da função é o conjunto de todos os números naturais maiores que 2,? E o contradomínio é D x : x,n \ 1,2 D IN \ 1, Trata-se de função de proporcionalidade inversa por ser constante o produto entre cada objeto e a sua imagem. Essa constante é º. n Professora: Rosa Canelas 6 Ano Letivo 2012/2013