Instituto Politécnico de Bragança Escola Superior de Tecnologia e Gestão. Análise Matemática I 2003/04

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1 Ficha Prática nº Parte II. Instituto Politécnico de Bragança Escola Superior de Tecnologia e Gestão Análise Matemática I 003/04 Operações com funções. Composição de funções. Função Inversa. ) O gráfico de y = f ( x +) pode ser obtido a partir do gráfico de f ( x) translação de uma unidade a) para a direita. b) para cima. c) para a esquerda. y = por meio de uma d) na direcção da recta y = x +. ) O gráfico de uma função f com domínio [0;] é dado por: Esboce o gráfico de: a) y = f ( x ) b) y = f ( x + ) c) y = f ( x) d) y = f ( x) + e) y = f ( x) f) y = f ( x) g) y = f ( x + ) h) y = f ( x ) +

2 3) Uma representação gráfica da função definida por t ( x ) = + x é: 4) A figura 5. representa o gráfico de uma função f : IR IR. a) Qual dos gráficos seguintes poderá ser o de f? b) E o de g ( f x ) = 0 se se f ( f ( x ) 0 x ) < 0 c) E o de h ( f x ) = 0 se se f ( x ) f ( x ) 0 > 0

3 5) A figura seguinte representa o gráfico da função g. Então o gráfico da função definida por poderá ser: g( x ) 3

4 6) Seja f(x) a função cuja representação gráfica é a indicada na figura. Indique qual a representação gráfica da função definida por h x) = f ( x ) A) B) (. C) D) 4

5 7) A figura representa o gráfico da função g. Qual dos seguintes poderá representar o gráfico da função definida por h( x ) = g( x )? 8) Se uma função f tem dois zeros então f( x ): a) Tem obrigatoriamente 4 zeros. b) Tem no mínimo 3 zeros. c) Pode ter ou não zeros. d) Tem obrigatoriamente zeros. 5

6 9) Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, de domínio R : Em qual das figuras seguintes poderá estar representada parte dos gráficos de duas funções, g e h, de domínio R, tais que f = g h? 6

7 0) Os gráficos seguintes representam as funções f e g, reais de variáveis reais. a) Determine: a.) ( g f )() a.) ( f g)() b) Represente graficamente as funções f (x) e g ( x ). c) Resolva as condições: f ( x) c.) < 0 g( x) c.) g ( x) 0 d) Tendo em atenção o gráfico da função y = x, escreva a expressão analítica da função f, explicando o seu raciocínio. = + x ) Dadas as funções, reais de variável real, f ( x) = x 4 e g ( x) a) O domínio de ( f g )(x). b) ( f g )(x).. Calcule: ) Dadas as funções reais de variável real, g( x) = 4 3x e f ( x) =, obtenha, se possível, as x funções compostas ( f g)( x) = f ( g( x)) e ( g f )( x) = g( f ( x)). 5x, 3 3) Sendo f ( x) = x, 0 < x 8 e ( x) x x, x 0 x > 8 g =, calcule ( f g )(x). 7

8 4) As figuras abaixo, representam parte dos gráficos das funções f, g : IR IR x - Gráfico de f Gráfico de g Qual das figuras abaixo pode representar parte do gráfico da função composta g f? E de f g? a) b) c) - d) ) Seja p( x ) um polinómio de grau 3 e q( x ) um polinómio de grau 4. Então p q tem grau: a) igual a 4. b) igual a. c) igual a 7. d) superior a. 6) Seja ( ) x f x = e 3 g( x) = 4x 3x. Mostre que ( f g)( x) = ( g f )( x). É comum que esta propriedade (comutativa) seja verificada? 7) Seja g( x) que ( f g)( x) = ( g f )( x). = x. Encontre todos os polinómios de primeiro grau, ( ) f x = ax + b ( a 0), tal 8

9 8) Seja f uma função definida por f ( x) = 4x. Então f pode ser definida por: a) c) f f x ( x) = 4 x ( x) = 4 + b) f ( x) = (4x ) d) nenhuma das opções. 9) Considere a função real de variável real f ( x ) = x a) Indique o seu domínio e contradomínio. b) Determine e caracterize a sua função inversa, caso exista. c) Determine o conjunto = { x R : f ( x) = 4} S. 0) Considere as funções: f ( x) = x e a) Caracterize f e g. x + 5 g ( x) =. x b) Caracterize ( g) f e g f. O que se conclui? ) Considere a função real de variável real definida por f ( x) = x sgn( x), sgn denota a função, x > 0 sinal definida por f ( x) = 0, x = 0., x < 0 a) Mostre que a função é invertível e escreva a sua função inversa. b) Esboce, numa única figura, o gráfico de f e de f. O que se pode concluir? ) Sendo h uma função cuja representação gráfica é: 9

10 Então o gráfico de h será: A.. B C D 3) Se s for uma função cuja representação gráfica é: Então, A. s admite inversa B. A restrição de s a [, [ 0 tem inversa cuja representação gráfica é 0

11 C. A restrição de s a [, [ 0 tem inversa cuja representação gráfica é D. s ( 0) = 4) Seja f uma função que admite inversa f, tal que f = f. Então o gráfico de f é obrigatoriamente: a) a recta y = x. b) simétrico em relação à bissectriz dos quadrantes impares. c) simétrico relativamente à origem do d) uma linha continua. referencial. Sugestão para mais exercícios: Sebenta de exercícios: exercícios 6, 8, 9, 0,, 4, 5 do capítulo.