Funções quadráticas. Definição. Função quadrática é toda a função de R em R que pode ser. (ou seja, é toda a função r.v.r. polinomial de grau 2).

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2 FUNÇÃO QUADRÁTICA

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4 Funções quadráticas Definição Função quadrática é toda a função de R em R que pode ser definida por uma expressão analítica da forma ax 2 + bx + c, com a, b, c R e a 0 (ou seja, é toda a função r.v.r. polinomial de grau 2).

5 Exemplo A função f(x) = x 2, cujo gráfico é uma parábola com vértice na origem do referencial, é um exemplo de função quadrática que já conheces, para a qual a = 1, b = 0 e c = 0.

6 As principais características desta função estão descritas no esquema seguinte.

7 FUNÇÃO QUADRÁTICA

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9 Em geral: Qualquer função quadrática pode ser definida por: f x = ax 2 + bx + c; a 0 f x = a x h 2 + k; a 0

10 RESUMO Expressão analítica da função Coordenadas do vértice x 2 x h 2 a x h 2 a x h 2 +k 0, 0 h, 0 h, 0 h, k Transformações Translação de vetor u h, 0 Contração ou dilatação vertical 0 < a < 1 ou a > 1, seguida de reflexão de eixo Ox, se a < 0 Translação de vetor v h, k Contradomínio k, + se a > 0, k se a < 0

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12 EXEMPLO

13 COORDENADAS DO VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA Se a função quadrática está escrita na forma: 1º CASO: Vértice ( h, K ) 2º CASO: Existe vários processos:

14 COORDENADAS DO VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA 1º Processo f x a 2 x bx c zeros x 1, x 2 x 1 xv xv yv x2 yv x2 h = x1 x2 2 k = yv f xv V ( h, k )

15 COORDENADAS DO VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA EXEMPLO Indica as coordenadas do vértice da seguinte parábola: f x x - 2x- 3 RESOLUÇÃO 2 Calcular os zeros: x 0 x 2-2x - 3 f 0 x x 3 x -1 Vértice: V xv, yv = 1 f(1)= V 1, - 4

16 COORDENADAS DO VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA 2º Processo f x a 2 x bx c Reescrever a f. quadrática EXEMPLO: Seja g a função quadrática definida por: g x - 2 x 8x 9 Indica as coordenadas do vértice. 2

17 COORDENADAS DO VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA EXEMPLO: (RESOLUÇÃO) 2 x - 2 x 8x 9 g - 2 x 4x 9 2 fora x 2 4 x x 2 4 x x 2 1 RESPOSTA: As coordenadas do vértice são: (-2, -1)

18 COORDENADAS DO VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA 3º PROCESSO: Qual será!!!!! g 2 x - 2 x 8x 9 g (0) Assim podemos identificar dois pontos da parábola com a mesma ordenada. Resolver a equação: g (x) = g(0) - 2 x 2 8x x 2 8x 0-2 x x x 0 x 4 0 x 0 x - 4 As soluções da equação são abcissas de pontos da parábola simétricos em relação ao eixo de simetria. Assim: xv xv yv g xv g As coordenadas do vértice são: (-2,1)

19 COORDENADAS DO VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA 4º PROCESSO: ou b b, f 2 a 2a ; com = b 2 4ac.

20 COORDENADAS DO VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA EXEMPLO: Seja g a função quadrática definida por: Indica as coordenadas do vértice. RESOLUÇÃO: Abcissa do vértice: b = 8 = 2 2a 2 2 Ordenada do vértice: g 2 = =-1 g 2 x - 2 x 8x 9 Coordenadas do vértice: V 2, 1

21 CONTRADOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA GRÁFICO: CONTRADOMÍNIO: EXTREMO: INTERVALOS DE MONOTONIA: D -, 4a Mínimo absoluto: Minimizante: - b 2a Função crescente em: Função decrescente em: - 4a b, 2a, - b 2a D -, - 4a Máximo absoluto: Maximizante: - b 2a Função crescente em: Função decrescente em: - 4a, - b 2a b, 2a

22 ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA Seja f uma função quadrática definida por: f 2 x a x bx c; a 0 Zeros da função quadrática São as abcissas dos pontos de ordenada nula, caso existam. Calcula-se resolvendo a equação f(x) = 0 O seu conhecimento tem interesse quer para: o estudo do sinal a resolução de equações e inequações do 2º grau, a resolução de problemas em contexto real.

23 ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA Então RAÍZES f (x) = 0 a x bx c 0 x 2 - b b 2 2a - 4ac Fórmula resolvente Binómio discriminante Mesmo sem calcular os zeros de uma função quadrática podemos prever o seu número. COMO????? Através do sinal do binómio discriminante. Ou seja: > 0 A função tem 2 zeros = 0 A função tem 1 zero <0 A função não tem zeros

24 ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA A influência dos sinais do coeficiente a e de no gráfico da função quadrática, pode ser resumida num quadro como o seguinte: > 0 = 0 <0 y y y a>0 x a < 0 y x y x x y x x

25 INEQUAÇÕES DO 2º GRAU CHAMA-SE INEQUAÇÃO DE 2º GRAU A UMA DESIGUALDADE ONDE FIGURA UMA INCÓGNITA, SE REDUZ À SEGUINTE FORMA: a 2 x b x c < 0 Pode ser positivo ou negativo, mas nunca zero

26 Processo para a resolução de uma inequação do 2º grau 1º Passo: Escrever uma inequação equivalente na forma canónica: ax 2 + bx + c > 0 ; ou < 2º Passo: Determinar os zeros do polinómio do 1º membro 3º Passo: Estudar o sinal da função quadrática número de zeros O sinal do parâmetro a Fazer um esboço do gráfico 4º Passo: Apresentar o conjunto-solução

27 EXEMPLOS

28 RESOLUÇÃO 1.

29 2.

30 3.

31 4.

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33 FUNÇÕES DEFINIDAS POR RAMOS

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35 f x = 1, se x < 1 x, se 1 < x 0 x 2 se x > 0

36 FUNÇÃO MÓDULO

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38 O estudo da função módulo pode ser esquematizado da seguinte forma.

39 Transformações da função f(x) = x Reflexão em relação ao eixo Ox: Contrações e dilatações

40 Translações horizontais Translações verticais

41 Translações de vetor (h, k)

42 RESUMO Expressão analítica da função Coordenadas do vértice x x h a x h a x h +k 0, 0 h, 0 h, 0 h, k Transformações Translação de vetor u h, 0 Contração ou dilatação vertical 0 < a < 1 ou a > 1, seguida de reflexão de eixo Ox, se a < 0 Translação de vetor v h, k Contradomínio k, + se a > 0, k se a < 0

43 Podemos resumir as características da função f x = a x h + k, a, h, k R, a 0, no seguinte esquema:

44 GRÁFICO DA FUNÇÃO Y = f x

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46 EXEMPLO: Definir a função módulo sem utilizar o símbolo de módulo

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48 De uma forma geral, a x h + k = a x h + k, a x h + k, x h x < h

49 ATIVIDADE Representa graficamente as seguintes funções: f x = x 1 g x = 2 x h x = 1 2 x 2 + 3

50 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES COM MÓDULOS Considera a seguinte condição: a + k = c ; ou <

51 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES COM MÓDULOS EXEMPLOS: Resolve, analiticamente e graficamente, as seguintes condições: a) x = 3 Graficamente: y y 1 : x y 2 : 3 Y=3-3 O 3 x G-solv (F5) Intsect(F5) Resposta: C.S= 3, 3

52 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES COM MÓDULOS a) x = 3 Analiticamente: A O B d(o,a) = 3 d(o,b) = 3 x = 3 x = 3 x = 3 Resposta: C.S= 3, 3

53 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES COM MÓDULOS b) x < 2 y Graficamente: Y=2 y 1 : x y 2 : 2-2 O 2 x G-solv (F5) Intsect(F5) x < 2 Solução Resposta: C.S= 3, 3

54 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES COM MÓDULOS x < 2 Analiticamente: A O B d(o,a) < 2 d(o,b) < 2 x < 2 x > 2 x < 2 Resposta: C.S= 2, 2

55 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES COM MÓDULOS Passos para a resolução: 1º Isolar o módulo num dos membros. 2º Resolver a condição, tendo em conta que:

56 De uma forma geral, para x, w R, a equação x = w é impossível se w < 0 é possível se w 0 a inequação > w é universal se w < 0 é possível se w 0 a inequação < w é impossível se w < 0 é possível se w 0

57 RESOLUÇÃO DE CONDIÇÕES COM MÓDULO-CONCLUSÃO 1º = a = a V = -a (a>0) resolver 2º > a (a>0) > a V < -a resolver 3º < a (a>0) < a > -a resolver

58 PROPRIEDADES 1ª y x y x, quaisquer que sejam x, y IR 2ª x y x y, quaisquer que sejam x IR, y IR x n x, quaisquer que sejam x IR, n IN 3ª n 4ª x y x 2 y 2, quaisquer que sejam x, y IR 5ª y x y x - y x, quaisquer que sejam x, y IR 6ª y x y x, quaisquer que sejam x, y IR

59 1. Zeros O gráfico da função f x = x interseta o eixo Ox em dois pontos, de abcissa 5 e 1, sendo estes os seus zeros. Analiticamente, temos: C. S. = 5, 1 x = 0 x + 3 = 2 x + 3 = 2 x + 3 = 2 x = 1 x = 5

60 2. O gráfico da função f x = 1 x não interseta o eixo Ox. 2 Analiticamente, temos: 1 2 x = x 2 = 4 x 2 = 8

61 3. A função f x = 2 x tem dois zeros: x 1 = 5 2 e x 2 = 7 2 O quadro de sinal desta função é o seguinte: x f(x) Analiticamente, tem-se: f(x) = 0 2 x = 0 x = 5 2 x = 7 2 f x > 0 2 x > < x < 7 2 f x < 0 2 x < 0 x < 5 2 x > 7 2

62 EXERCÍCIO: RESOLUÇÃO:

63 1º Processo 2º Processo a = b a = b a = b a = b a = b a = b 2x 4 2 = 2x 6 2 4x 2 16x + 16 = 4x 2 24x x + 16 = 24x x + 24x = x = 20 x = 20 8 x = 5 2

64 EXERCÍCIO: RESOLUÇÃO:

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66 FUNÇÕES IRRACIONAIS. Função raiz quadrada. Função raiz cúbica

67 Função raiz quadrada e funções da forma a x h + k A função f: R 0 +. R 0 +.tal que f (x) = x 2 é bijetiva e portanto tem uma função inversa g: R 0 +. R A expressão analítica de g determina- -se resolvendo a equação y = x 2 em ordem a x. Tem-se então y = x 2 x 0 x = y. Portanto, g x = x é a função inversa de f. Podemos observar a seguir os gráficos de f x = x 2 e g x = x Temos que o gráfico de g é a imagem do gráfico de f pela reflexão axial de eixo de equação y = x.

68 Função raiz quadrada e funções da forma a x h + k Repara que o gráfico de g tem a concavidade voltada para baixo. O estudo da função g: R + 0. R de expressão analítica g x = x pode ser esquematizado da seguinte forma.

69 Transformações da função g(x) = x Tal como já estudaste para a função quadrática, as transformações da função g x = x refletem-se no seu gráfico.

70 Transformações da função g(x) = x Reflexão em relação ao eixo Ox: Contrações e dilatações

71 Transformações da função g(x) = x Translações horizontais Translações verticais

72 Transformações da função g(x) = x Translações de vetor (h, k)

73 O domínio de y = a x h + k EXEMPLO: Observa no referencial em baixo os gráficos das funções: f x = x g x = f x = x l x = 3f x = 3 x i x = h x + 2 = 3 x + 2 As funções g, l e i têm o mesmo domínio que a função f: D f = D g = D l = D i = 0, +, ou seja, R 0 +.

74 EXEMPLO: Observa no referencial seguinte os gráficos das funções f x = x j x = 3 x 3 m x = x + 4 1º D j = x IR: x 3 0 x 3 0 x 3 Logo, D j = 3, +. 2º Dm = x IR: x Logo, D m = 4, +. x x 4

75 Dada uma função r.v.r f de expressão analítica f x = a x h + k, a, h, k R, a 0, e o seu domínio é D f = h, +

76 EXEMPLO: Zeros e Monotonia j x = 3 x l x = x Resolvendo as equações j(x) = 0 verifica-se que: j x = 0 3 x = 0 x 3 = 1 3 Equação Impossível C. S. = A equação 3 x é impossível (não tem soluções). A função j é estritamente crescente no seu domínio

77 l x = x Resolvendo as equações l(x) = 0 verifica-se que: l x = 0 x = 0 C. S. = 1 x + 5 = 2 x = 2 2 x + 5 = 4 x = 1 A equação x é possível (tem uma solução (x = 1)). A função j é estritamente decrescente no seu domínio

78 EXEMPLO: Zeros e Sinal A função f x = 2 x D f = 1, + zero: x 1 = 3 4 Resolvendo as equações f(x) = 0 verifica-se que: f x = 0 2 x = 0 x + 1 = x = 1 2 x + 1 = 1 4 C. S. = 3 4 x = 3 4

79 O quadro de sinal desta função é o seguinte: x f(x) Analiticamente, tem-se: f x = 0 2 x = 0 x = 3 4 f x > 0 2 x > 0 1 x < 3 4 f x < 0 2 x < 0 x > 3 4

80 FUNÇÃO f x = x RESUMO f x = a x h + k a > 0 f x = a x h + k a < 0 GRÁFICO CARTESIANO DOMÍNIO IR 0 + h, + k, + CONTRADOMÍNIO IR 0 + k, +, k CONCAVIDADE Voltada para baixo Voltada para baixo Voltada para cima MONOTONIA Crescente Crescente Decrescente EXTREMOS Tem um mínimo: f 0 = 0 Tem um mínimo: f h = k Tem um máximo: f h = k

81 Funções da forma a 3 x h + k A função c(x) = x 3 Considera a função c: R R cuja expressão analítica é c(x) = x 3. Podemos observar o gráfico de c num referencial ortonormado. A função c(x) = x 3 é um exemplo de uma função cúbica.

82 A função c(x) = x 3 tem as seguintes propriedades: é bijetiva; é ímpar; é crescente; não tem extremos; o seu gráfico tem a concavidade voltada para cima em [0, + [ e a concavidade voltada para baixo em ], 0].

83 A função c(x) = x 3 é uma função bijetiva porque por definição de raiz cúbica de um número real, temos x, y R R, y = x 3 x = 3 y Podemos, então, concluir que existe c 1 : R R, e a sua expressão analitica é c 1 x = 3 x. Podemos observar os gráficos de c e c 1 num referencial ortonormado. Temos que o gráfico de c 1 é a imagem do gráfico de c pela reflexão axial de eixo de equação y = x.

84 O estudo da função f: R R de expressão analítica f x = 3 x pode ser esquematizado da seguinte forma.

85 FUNÇÃO RAIZ CÚBICA f x = a 3 x h + k f x = a 3 x h + k h h h

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90 EXEMPLO:

91 No caso de se conhecer o número de zeros e o sinal do coeficiente do termo de grau 3 é possível estabelecer algumas características.

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94 EXEMPLO: RESOLUÇÃO:

95 EXEMPLO: RESOLUÇÃO:

96 Operações com Funções

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