11º ANO DE ESCOLARIDADE ANO LETIVO Ficha de revisão nº 4

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Elza Neiva
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1 º NO DE ESCOLRIDDE NO LETIVO 0-04 Ficha de revisão nº 4. Sendo senx, qual das afirmações seguintes é verdadeira? π () cos x (B) cos + x π + (C) sen( π x) (D) sen( x). dmita que, num dia de Verão, a temperatura da água de um lago, em graus centígrados, pode ser dada, aproximadamente por: ( t 7) π cos em que t designa o tempo, em horas, decorrido desde as zero horas desse dia... Determine a que horas desse dia a água esteve à temperatura de 7º... Indique entre que horas desse dia a água esteve a uma temperatura superior a 9º... Considere agora a expressão T ( t ) definida em IR e apresente a expressão geral das soluções da equação 5.. Num referencial o. n., considera as retas: s : ( x,y) (,) + k (,5 ),k R e t : y x +.. Determine a inclinação da reta t.. Escreva uma equação vetorial da reta perpendicular à reta s e que contém a origem do referencial... Determine a amplitude do ângulo das retas s e t, apresentando o resultado em graus e arredondado às décimas. 4. Do triângulo retângulo representado sabe-se que B a e que BE b. Mostre que BE B a Ε B Rosa Canelas 0-04

2 5. Sejam f ( x) x + 6 x + e g( x) x x Determine o domínio, o contradomínio e os zeros de f e de g. 5.. Esboce os gráficos de f e de g e indique para cada uma das funções, os intervalos onde é positiva, negativa, crescente e decrescente. 6. Efetue as operações indicadas, simplifique o resultado e indique os valores de x para os quais são válidas, em IR, as operações efetuadas. x + : + x x 7. Uma companhia de seguros estima que o número de factos que uma testemunha recorda, com exatidão, t meses após presenciar um acidente é dado aproximadamente por: ( ) f t, sendo o número total de factos observáveis e k um parâmetro que varia de 0,8t + k pessoa para pessoa e pode ser determinado por meio de testes. 7.. Se ao fim de três meses uma testemunha só recorda 0 dos 0 factos que eram observáveis, qual é o seu valor de k? 7.. Justifique que k não pode ser inferior a. 7.. Quais os valores de k que garantem que uma testemunha observa, na altura do acidente, pelo menos 80% dos factos observáveis? Rosa Canelas 0-04

3 º NO DE ESCOLRIDDE NO LETIVO 0-04 Ficha de revisão nº 4 Proposta de resolução. (C) Sendo senx, só sen( π x) é verdadeira porque ( ) () é falsa porque se cos x e senx então π (B) é falsa porque cos + x senx (D) é falsa porque ( ) sen π + x senx sen π x senx 4 5 sen x + cos x dmitamos que, num dia de Verão, a temperatura da água de um lago, em graus centígrados, pode ser dada, aproximadamente por: ( t 7) π cos em que t designa o tempo, em horas, decorrido desde as zero horas desse dia... Determinemos a que horas, nesse dia, a água esteve à temperatura de 7º, resolvendo a equação ( ) ( t 7) ( t 7) ( t 7) π + π + π + π T t cos 7 4 cos 0 + kπ t k t + k. Para k 0 será t, valor fora do domínio. Para k será t e para k será t. Então a temperatura foi 7º às e às horas desse dia... Indiquemos entre que horas, nesse dia, a água esteve a uma temperatura superior a 9º resolvendo graficamente a inequação > 9 > 9 < t < Então a temperatura da água foi superior a 9º entre as e as horas... Consideremos agora a expressão T ( t ) definida em IR e apresentemos a expressão geral das soluções da equação 5. ( ) ( ) ( ) π t + 7 π t + 7 π t cos 5 4 cos cos Rosa Canelas 0-04

4 ( t 7) π ( t 7) π + π + π + kπ + k π,k Z t k t k,k Z t + 4k t 5 + 4k,k Z.. Num referencial o. n., considera as retas: s : ( x,y) (,) + k (,5 ),k R e t : y x +.. Determinemos a inclinação da reta t. tendendo a que o declive da reta t é e o declive é a tangente trigonométrica da inclinação, ângulo que a reta faz com a parte positiva do eixo das abcissas, concluímos que a inclinação é π π π Escrevamos uma equação vetorial da reta perpendicular à reta s e que contém a origem do referencial. Comecemos por indicar um vetor perpendicular à reta s e que pode ser o vetor de coordenadas ( 5, ) ou ( 5,). Uma equação vetorial será então ( x, y) ( 0,0) + k ( 5, ),k R.. Determine a amplitude do ângulo das retas s e t, apresentando o resultado em graus e arredondado às décimas. Um vetor diretor da reta t pode ter coordenadas (, ). O cosseno do ângulo formado pelas duas retas é dado por: ( ) + 5 cos( s,t ) obtido com a calculadora e arredondado às décimas. pelo que o ângulo das duas retas é de 76,0º, valor 4. Do triângulo retângulo representado sabe-se que Ε B a e que BE b. Mostremos que BE B a Ora BE B + E : Então BE B B + E B B B + E B B B cos B a ( ) ( ) B Rosa Canelas 0-04

5 5. Sejam f ( x) x + 6 x + e g( x) x x Determine o domínio, o contradomínio e os zeros de f e de g. Comecemos por dividir o numerador pelo denominador em cada uma das frações: x+6 x+ -x- f x x x - x+ -x-/ / -7/ Então podemos escrever ( ) + e g( x) + Concluímos assim ser: D R \ { } e D \ { } Calculemos agora os zeros: Zeros de f: ( ) Zeros de g: ( ) f 7 7 x + x + f R e D g R \ e D g R \ x + 6 f x 0 0 x x + 0 x x x x + x g x 0 0 x 0 x + 0 x x x x Esboce os gráficos de f e de g e indique para cada uma das funções, os intervalos onde é positiva, negativa, crescente e decrescente. f é positiva em ], [ ], + [ f é negativa em ], [ f é decrescente em todos os intervalos do domínio. g é positiva em, ], + [ g é negativa em, g é crescente em todos os intervalos do domínio. 6. Efetuemos as operações indicadas, simplifiquemos o resultado e indiquemos os valores de x para os quais são válidas, em IR, as operações efetuadas. x x + x + x x x + : + : válido em R \, x x x x x x Rosa Canelas 0-04

6 7. Uma companhia de seguros estima que o número de factos que uma testemunha recorda, com exatidão, t meses após presenciar um acidente é dado aproximadamente por: ( ) f t, sendo o número total de factos observáveis e k um parâmetro que varia de 0,8t + k pessoa para pessoa e pode ser determinado por meio de testes. 7.. Se ao fim de três meses uma testemunha só recorda 0 dos 0 factos que eram observáveis, qual é o seu valor de k? 0 0 0(, 4 + k) 0 0k 0 4 k 0,8 + k Justifique que k não pode ser inferior a. Se k fosse menor que na altura em que ocorre o acidente a pessoa recordaria mais factos dos os que ocorreram pois f ( 0) ficaria maior que k 7.. os valores de k que garantem que uma testemunha observa, na altura do acidente, pelo menos 80% dos factos observáveis são o resultado da desigualdade 5 0,8 k k,5 k. k 0,8 4 Rosa Canelas 0-04

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