11º ANO DE ESCOLARIDADE ANO LETIVO Ficha de revisão nº 2

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1 º NO DE ESOLRIDDE NO LETIVO 03-0 Ficha de revisão nº H G. Mostre que o ângulo α formado pelas diagonais espaciais de um E F cubo é independente da medida da aresta. Determine α, em graus com aproximação às décimas. D α. O Pedro afirma que pode haver um ângulo α tal que Mariana contesta e propõe Qual deles tem razão? 3 senα = e senα = e 3. Diga se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações, e justifique: 3.. Todos os ângulos têm tangente. 3.. Todos os números reais são tangentes de algum ângulo Quanto maior é o ângulo maior é a tangente. 3.. função y = tg x é crescente no seu domínio.. Num referencial o.n. considere os pontos (, ), ( 0, ) e ( 3, ).. Determine as coordenadas de um ponto do eixo dos yy equidistantes dos pontos e... Determine os vetores de norma perpendiculares a.3. Escreva uma equação vetorial da reta que passa em e é perpendicular à reta.. No triângulo retângulo [], M e N são os pontos médios de [] e [], respetivamente. Mostre que: = N. N M 6. Estude a posição relativa dos planos α, β e π quando: α : x + y + z = β : 3x y + z = 0 π : 7x y = Rosa anelas 03-0

2 7. Os animais de um aviário devem ser alimentados diariamente com dois tipos de rações. Estas rações são compostas por nutrientes, e em quantidades diferentes. alimentação diária a dar aos animais deve fornecer 60 unidades do nutriente, 8 unidades do nutriente e 7 unidades do nutriente. omponentes nutricionais por kg usto por kg Ração Ração 6 0,0 Que quantidade de cada ração deve ser utilizada por dia de modo que sejam respeitados os mínimos exigidos de cada componente nutricional e que seja também mínima a despesa feita. Rosa anelas 03-0

3 º NO DE ESOLRIDDE NO LETIVO 03-0 Ficha de revisão nº Proposta de resolução H G. Mostremos que o ângulo α formado pelas diagonais espaciais de um cubo é independente da medida da aresta. Determinemos α, em graus com aproximação às décimas. a / a/ α/ vamos calcular α. O cubo tem aresta a pelo que no retângulo [EH], EH = a e E = a. ssim e de acordo com a figura, podemos escrever: a α α a α tg tg tg = a = = a oncluímos então que, em graus e aproximação às décimas α = 70,º E D e utilizando a calculadora α F. O Pedro afirma que pode haver um ângulo α tal que senα = e 7 + = 3 Mariana contesta e propõe senα = e = = Só a Mariana tem razão porque os seus valores verificam a fórmula fundamental da trigonometria. 3. veriguemos se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações, e justifiquemos: 3.. Todos os ângulos têm tangente. Falsa porque, por exemplo, 90º não tem tangente. 3.. Todos os números reais são tangentes de algum ângulo. Verdadeira pois a função tangente tem como contradomínio IR Quanto maior é o ângulo maior é a tangente. Falsa, um ângulo do segundo quadrante é maior que um do primeiro e o ângulo do segundo quadrante tem tangente negativa enquanto o do primeiro quadrante tem tangente positiva. 3.. função y = tg x é crescente no seu domínio. Falsa, a função é crescente em todos os intervalos do domínio e não em todo o domínio. Rosa anelas 03-0

4 . Num referencial o.n. considere os pontos (, ), ( 0, ) e ( 3, ).. Determine as coordenadas de um ponto do eixo dos yy equidistantes dos pontos e. Utilizando conhecimentos do 0º ano: Um ponto do eixo dos yy é da forma ( 0,y ) e a sua distância a e a é a mesma: ( ) ( ) ( ) ( ) y = y + y y + = 9 + y y + y = y = O ponto pedido tem coordenadas 0, Utilizando conhecimentos do º ano: Determinemos as coordenadas do ponto médio de []: M [ ] =, =, alculemos o declive de para escrevermos uma equação da mediatriz de [] = = 3,, =, ( ) ( ) ( ) m = pelo que o declive da mediatriz é. Uma equação da mediatriz é do tipo y = x + b e passa no ponto M [ ] : 3 3 = + b b = b = Se a equação reduzida da mediatriz é de coordenadas 0, y = x é porque ela interseta o eixo dos yy no ponto.. Determinemos os vetores de norma perpendiculares a. omeçamos por calcular a norma de = ( 3, ) : ( ) = 3 + = Um vetor perpendicular a com a mesma norma tem coordenadas (,3 ) Então os vetores de norma perpendiculares a têm coordenadas: 3(,3) (,9 ) 3(,3) = (, 9) = ou.3. Uma equação vetorial da reta que passa em e é perpendicular à reta pode ser: =,3, um vetor normal a ele pode ter ( x, y) = ( 3,) + k ( 3, ),k IR porque se ( ) coordenadas ( 3, ). No triângulo retângulo [], M e N são os pontos médios de [] e [], respetivamente. Mostremos que: = N. N M Rosa anelas 03-0

5 = + = + = cos 0º + 0 = ( ) N N = N N = N 6. Estudemos a posição relativa dos planos α, β e π quando: α : x + y + z = nα = (,, ) β : 3x y + z = 0 os vetores normais aos planos são: nβ = ( 3,, ) π : 7x y = nγ = 7,,0 ( ) e manifestamente são não x + y + z = colineares pelo que vamos resolver o sistema: 3x y + z = 0, utilizemos o método de adição 7x y = ordenada adicionando a primeira equação com a segunda: x + y + z = x + y + z = x + y + z = 3x + y z = 0. ssim 3x y + z = 0 x + y =, adicionando agora a segunda x + y = 7x y = 7x y = equação com a terceira obtemos: x + y = 7x y =, pelo que x = 0 z = x + y + z = x + y = y = x 0 = x = 0. oncluímos assim que os três planos se intersetam-se no ponto de coordenadas 0,,. 7. Os animais de um aviário devem ser alimentados diariamente com dois tipos de rações. Estas rações são compostas por nutrientes, e em quantidades diferentes. alimentação diária a dar aos animais deve fornecer 60 unidades do nutriente, 8 unidades do nutriente e 7 unidades do nutriente. omponentes nutricionais por kg usto por kg Ração Ração 6 0,0 Que quantidade de cada ração deve ser utilizada por dia de modo que sejam respeitados os mínimos exigidos de cada componente nutricional e que seja também mínima a despesa feita. Variáveis x é o número de kg da ração e y é o número de kg da ração Rosa anelas 03-0

6 Restrições: 3x + y 60 7z + y 8 3x + 6y 7 x 0 y 0 Função objetivo: = x + 0,y 3 y x x + y 60 7 Ora 7z + y 8 y x + 3x 6y 7 + y x + Resolução gráfica: 0 D: (0.0,.0) : (6.0,.0) 0 : (8.0, 3.0) : (.0, 0.0) oncluímos que devem ser utilizados 6 kg de ração e kg de ração. naliticamente depois de calculados os pontos de interseção das retas, podemos calcular o custo em cada vértice obtendo como custo mínimo quando são utilizados 6 kg de ração e kg de ração. Rosa anelas 03-0