FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 1

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 0.º Ano Versão Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato.. No referencial ortonormado da figura seguinte, ABCD é um quadrado inscrito na circunferência de centro O 00,. O vértice C tem coordenadas,. (5).. Justifique que a mediatriz de AC contém os pontos B e D e mostre que a equação reduzida dessa mediatriz é y x. A mediatriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos extremos do segmento AC. Ora, como [ABCD] é um quadrado sabemos que BA BC DC DA = lado do quadrado. Portanto, os pontos B e D pertencem à mediatriz de AC. Como C,, então A,, pois é o simétrico de C em relação à origem do referencial, uma vez que o centro do quadrado coincide com a origem. Portanto, a equação da mediatriz é x y x y x 8x 6 y 6y 9 x 8x 6 y 6y y 6y 8x 8x y 6x y 6x y x y x y Esta é a equação reduzida da mediatriz de AC, quer dizer, da reta BD. x Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /7 Versão

2 (8).. Escreva a equação da circunferência e mostre que os pontos B e D têm coordenadas,,, respetivamente. e Equação da circunferência: 0 0 Raio: x y OC x Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /7 Versão y 5 OC ou calcular OC A segunda parte da questão pode ser resolvida pelo menos por dois processos:.º processo: Resolver o sistema com as equações das duas curvas. x y 5 6 x x 5 x 9 x 5 Resolvamos o sistema y x y x Determinemos as soluções da.ª equação: 9x 6x 9 5 5x 9 5 x 9 x 9 x Para x temos y, obtendo-se o ponto D, Para x temos y, obtendo-se o ponto B,.º processo: Verificar que estes pontos pertencem às duas curvas (ver Versão ). (5).. Determine a equação reduzida da reta CD e indique uma condição que represente a região sombreada. A região sombreada está abaixo da reta CD e dentro da circunferência. Comecemos por descobrir a equação reduzida de CD: y mx b. v m CD ou CD D C 7, e mcd v 5 Como C, é um ponto da reta temos b b b 7 5 Portanto, a equação reduzida de CD é y x 5 Assim, a região sombreada é definida por y x x y 5 (5).. Determine as coordenadas de todos os vetores colineares com OC e que têm norma 0. Qualquer vetor colinear com OC C O, Temos é da forma v kob, com k. OC e v 0 Como v koc, então v koc v k OC Nota: Temos de usar k porque a norma é sempre positiva. Portanto, v k OD 0 k 5 k k k Assim, se k temos o vetor v, 8, 6 se k temos o vetor simétrico v 86, Portanto, só estes dois vetores são colineares com OC, Outro processo: Ver Versão. e têm norma 0.

3 . No referencial ortonormado Oxyz da figura seguinte estão representados: - uma esfera de centro C e diâmetro [OA], sendo 006,, as coordenadas do ponto A; - um plano que interseta a esfera e é paralelo ao plano coordenado xoy; - um ponto B de coordenadas 0, 5, 5 ao plano e à superfície da esfera., comum (0).. Diga, justificando, qual das condições seguintes define a esfera. (A) x y z 6 (B) x y z 9 (C) x y z 9 (D) x y z d Trata-se da esfera de centro 0, 0, e raio r. 9 Portanto, a condição que define a esfera é (D) x y z 0 0 (8).. Sabendo que [BD] é um diâmetro da esfera, determine as coordenadas do ponto D. Como [BD] é um diâmetro da esfera e B está na superfície da esfera, então D C BC. Temos BC C B 0, 0, 0, 5, 5 0, 5, Assim, D 0, 0, 0, 5, 0, 5, Outros processos: C é o ponto médio de [BD]. Ou D B BC (5).. Justifique que o plano tem equação z 5 e calcule a área da interseção da esfera com esse plano. Como é paralelo a xoy tem uma equação do tipo z qualquer do plano). Sabemos que B 0, 5, 5 c (sendo c a cota de um ponto é um ponto do plano, então o plano tem equação z 5. A interseção do plano com a esfera é o círculo sombreado na figura. Trata-se do círculo de centro 0, 0, 5 e raio r y B 5. Outro processo: ver Versão Assim, a área desse círculo é 5 5 unidades quadradas. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /7 Versão

4 (0).. Admita agora que o plano, partindo do ponto O, se desloca até ao ponto A. Seja g a função que a cada valor da cota c do plano faz corresponder a área a da secção produzida na esfera pelo plano. Diga, justificando, qual dos seguintes pode ser o gráfico da função g? A ordenada de P varia entre 0 e 6. Assim, Dg 0, 6. Portanto, não pode ser o gráfico D. A área da secção obtida é máxima para c, quando o plano passa pelo centro da esfera, diminuindo novamente até zero à medida que c se aproxima de 6. Assim, só o gráfico B representa a área da seção produzida pelo plano.. No referencial ortonormado Oxyz da figura seguinte está representado um octaedro regular [ABCDEF] cujo centro coincide com a origem do referencial. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /7 Versão

5 (8).. Usando as letras (pontos) da figura, indique, justificando, dois vetores simétricos. Como temos um octaedro regular, todas as arestas têm o mesmo comprimento. Assim, como [ABCD] é um quadrado os lados opostos são paralelos. Portanto, os vetores AB e CD (por exemplo) são simétricos. (5).. Efetue as operações seguintes, utilizando a designação de um ponto ou de um vetor, de modo a obter afirmações verdadeiras. Apresente os raciocínios efetuados. (A) AEC... = A AF F (B) DE FD... = DE DF DE EB DB (C) D FO EB... = D FE EB = D FB = D DE = E ().. Sabendo que o ponto A tem coordenadas 00,,, mostre que x,y,z,, k,,, k é uma equação vetorial da reta AB e averigue se o ponto Uma equação vetorial de AB é da forma P A k AB, k. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 5/7 Versão, 6, 0 pertence a AB. Temos A 00,, e B 0,, 0, portanto AB B A 0,, 0, 0, 0,, 0 Portanto, uma equação de AB é O ponto x,y,z,, k,,, k pertence à reta AB se e só se ' k :, 6, 0, 0, 0 k,, 0, 6, 0 Assim,, 6, 0 k, k, 0 Logo, como não existe um k único, k 6 k 0 0 k 6 k 0 0 k k 0 0, 6, 0 não é ponto da reta AB. ().. Unindo os pontos médios das arestas que se encontram no vértice B obtém-se o quadrilátero [PQRS], conforme ilustra a figura da direita. Diga, justificando, se a afirmação seguinte é verdadeira ou falsa: 8 VolumeAECFB Volume PQRSB As pirâmides [ABCDF] e [PQRSF] são semelhantes de razão r, pois os pontos médios das arestas dividem cada face triangular de forma que AB PQ. Assim, Volume PQRSF Volume ABCDF 8 ou Portanto, Volume PQRSB VolumeAECFB Outro processo: Ver Versão 8 Volume ABCDF Volume PQRSF 8, portanto a afirmação é verdadeira.

6 . No referencial da figura abaixo estão representadas várias parábolas identificadas por f, f, f e f, sendo a função f definida por f x x. Todas as parábolas têm a mesma abertura, isto é, a. ().. Escreva a expressão algébrica que define cada uma das funções na forma y ax h k. Nota: recordar que a expressão f x ax h k representa a família de parábolas que têm a mesma forma (ou abertura), que é dada por a, e vértice no ponto V h,k. f tem vértice V, e concavidade contrária à de f, isto é a. Assim: Portanto, tem expressão f x x f tem vértice V, 0 e o mesmo sentido da concavidade de f, isto é a. Portanto, tem expressão f x x f tem vértice V, e o mesmo sentido da concavidade de f, isto é a. Portanto, tem expressão f x x (0).. Para a função f, indique: o domínio, o contradomínio, os extremos e os intervalos de monotonia. Domínio: Df Contradomínio: D f, Tem apenas um mínimo (absoluto): y É decrescente em, e crescente em, Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 6/7 Versão

7 (0).. Indique, caso existam, os zeros de f e construa o quadro de sinais da função. A função f tem dois zeros: x e x Tabela de sinais x - + f x ().. Seja g uma função cujo gráfico tem a mesma abertura do gráfico de f, definida por: g x x x Transforme a expressão de g numa expressão do tipo g x ax h k e indique a equação do eixo de simetria e as coordenadas do vértice da parábola de g. g x x x Portanto, x x colocando a em evidência x x somando e subtraindo o quadrado de metade de x x reconstruindo o quadrado x distribuindo a x simplificando a expressão x é a equação do eixo de simetria do gráfico de g cujo vértice é V, BOM TRABALHO! Prof. José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 7/7 Versão