ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 11º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 2

Transcrição

1 ESL SEUNÁRI M º IL. INIS IMR º N E ESLRIE MTEMÁTI FIH E VLIÇÃ Nº Grupo I s cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. ada resposta certa vale 9 pontos, cada resposta errada vale - pontos, cada pergunta não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. Um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos.. Qual das seguintes equações tem uma única solução em 0,?. cos x = 0. se n x =. tg x =. cos x =. Sendo cos x =, qual das afirmações é verdadeira?. x = cos. cos( x) =. cos( x) =. cos ( + x) =. Sabendo que < α < β <, indique qual das afirmações seguintes é falsa:. sen α > senβ. cos α < cos β. senα > cos β. cosα > cos β 4. s razões trigonométricas seno e tangente têm o mesmo sinal nos:. º e º quadrantes. º e 4º quadrantes. º e º quadrantes. º e 4º quadrantes PRFESSR: Rosa anelas º 004/00

2 . onsidere, na figura ao lado, o segmento de recta [], o ponto médio do segmento que representamos por M e a recta r perpendicular ao segmento no seu ponto médio. Se P pertence à recta r, necessariamente:. P.P = 0..MP = 0. P.MP = 0. P.MP = 0 M r Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver que efectuar e todas as justificações necessárias. tenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto.. Na figura está representado um losango [] dividido em dois y triângulos equiláteros geometricamente iguais. Sabe-se que (4,0). a. Mostre que tem como coordenadas ( 8; 4 ). b. alcule.. c. Sabe-se que P pertence ao eixo das abcissas e que.p = 8. etermine as coordenadas de P, explicando o x raciocínio efectuado.. onsidere no referencial o.n. do espaço (xyz), a pirâmide quadrangular regular de vértice V e base [] assente no plano xy. Sabendo que a pirâmide tem unidades de altura e que (0,4,0): a. Justifique que as coordenadas de V são (,,). b. alcule o ângulo das rectas V e V, apresentando o resultado com aproximação às unidades de minuto. c. etermine uma equação do plano V. d. alcule V.V. V PRFESSR: Rosa anelas º 004/00

3 . Na figura está representado um círculo trigonométrico e um trapézio isósceles []. Sabe-se que: T = α ; T = β. a. Exprima em função de α e/ou de β :. (base menor);. (base maior); β H α T. HT (altura); b. tendendo aos resultados obtidos no ponto anterior, mostre que a área do trapézio é dada pela expressão: = ( senα + senβ)( cosα cos β ) c. alcule o valor exacto e um valor aproximado às centésimas para a área do trapézio, no caso de α = e 4 β =. d. alcule o valor exacto da área do trapézio quando senα = e 4 cos β =. PRFESSR: Rosa anelas º 004/00

4 TÇÕES Grupo I... 4 ada resposta certa ada resposta errada... - ada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II a b.... c a b.... c.... d a b c.... d.... TTL PRFESSR: Rosa anelas 4 º 004/00

5 ESL SEUNÁRI M º IL. INIS IMR º N E ESLRIE MTEMÁTI FIH E VLIÇÃ Nº proposta de resolução Grupo I... tg x = é, das quatro equações dadas, a única que tem uma única solução em 0, que é x = + tg.. cos x = 0 x = x =. cos x = x = x = +. das afirmações dadas. cos x = senx = cos ( x) = é a única verdadeira se. ( ) sen x = x = x = 6 6 cos x = cos x = cos x =.. cos ( x) + = cos x =. cos α < cos β é das afirmações dadas a única que é falsa, sabendo que < α < β <.. sen α > senβ (verdadeira porque no º quadrante o seno é decrescente). senα > cos β (verdadeira porque no º quadrante o seno é positivo e o co-seno é negativo). cosα > cos β ( verdadeira porque no segundo quadrante o co-seno é decrescente). 4.. sinal das razões trigonométricas seno e tangente resume-se no quadro seguinte: º quadrante º quadrante º quadrante 4º quadrante Seno tangente s razões trigonométricas seno e tangente têm o mesmo sinal nos º e 4º quadrantes. PRFESSR: Rosa anelas º 004/00

6 .. Na figura ao lado, são dados o segmento de recta [], o ponto médio do segmento que representamos por M e a recta r perpendicular ao segmento no seu ponto médio. Se P pertence à recta r, necessariamente.mp = 0 porque r [] é perpendicular a r e MP tem a direcção de r. M Grupo II. Na figura está representado um losango [] dividido em dois y triângulos equiláteros geometricamente iguais. Sabe-se que (4,0). a. Se [] é um triângulo equilátero a altura divide a base [] ao meio pelo que a abcissa de é o dobro da abcissa de. abcissa de é 8. ordenada de é e como = 60º e = 4 temos, tg( 60º ) = = 4 tg( 60º ) = 4. Por isso tem como coordenadas ( 8; 4 ). y x b. Para calcular o produto escalar temos que ter em conta que se os lados do triângulo [] são todos iguais as normas dos vectores são 8 e os dois vectores têm de ser representados com a mesma origem pelo que vamos representar em e o ângulo dos vectores será 0º.. = 8 8 cos( 0º ) = 64 =. c. Se P pertence ao eixo das abcissas P(x,0). = 8,4 4,0 = 4,4 e ( ) ( ) ( ) P = x,0 4,0 = x 4,0 ( ) ( ) ( ) Então ( ) ( ) 0º.P = 8 4,4. x 4,0 = 8 4x 6 = 8 4x = x = x s coordenadas de P são,0. Podíamos ter pensado de outro modo: como P pertence ao eixo das abcissas e o produto escalar.p é negativo o ponto P só pode estar à esquerda de para que o ângulo dos dois vectores seja obtuso e nesse caso o ângulo é 0º. PRFESSR: Rosa anelas 6 º 004/00

7 Podemos então calcular P a partir de 8 9.P = 8 8 P cos( 0º ) = 8 P = P = 8 Se agora subtrairmos o valor encontrado de 4 obtemos a abcissa de P. 9 4 =. s coordenadas de P são,0.. No referencial o.n. do espaço (xyz), da figura está representada a pirâmide quadrangular regular de vértice V e base [] assente no plano xy. Sabe-se que a pirâmide tem unidades de altura e que (0,4,0): a. s coordenadas de V são (,,) porque o vértice V se projecta sobre o plano xy no centro da base. cota é igual à altura da pirâmide, as abcissa e ordenada são as mesmas do centro da base. centro da base é o ponto de coordenadas (,,0) daí ser V(,,). V b. ângulo das rectas V e V, calcula-se usando o produto escalar e tendo em conta que o ângulo de duas rectas é o menor ângulo que elas formam. V = V = 0, 4,0,, =,, V = V = 0,0,0,, =,, cos V,V ( ) ( ) ( ) ( ) cos( V,V ) e ( ) ( ) ( ) V.V (,, ).(,, ) = = V V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4+ cos( V,V ) = cos ( V,V ) = V,V 40º 4' apresentando o resultado com aproximação às unidades de minuto. c. Para determinar uma equação do plano V vamos começar por calcular um vector normal ao plano. n( x,y,z) PRFESSR: Rosa anelas 7 º 004/00

8 ( x, y,z ).(,, z ) 0 = x + y z = 0 x z = y x = z x = ( x, y,z ).(,, ) = 0 x y z = 0 y y = 0 y = 0 y = 0 n,0, fazendo agora z = vem x= - e y =0 então pode ser ( ) gora se for P(x,y,z) um ponto qualquer do plano P.n = 0 x,y,z.,0, = 0 x + z = 0 e encontrámos uma equação do plano. ( ) ( ) V = V = 4, 4,0 (,,) = (,, ) d. omo (,,0) e ( ) V.V=,,.,, = 4 4+ = 7. ( ) ( ). Na figura está representado um círculo trigonométrico e um trapézio isósceles []. Sabe-se que: a. T = α ; T = β.. (base menor); = T e porque [T] é o cateto oposto ao ângulo α no triângulo [T], que tem como medida da hipotenusa por ser o raio do círculo trigonométrico, podemos concluir que T = senα. β H α T aqui concluímos ser = senα. (base maior); = H e porque [H] é o cateto oposto ao ângulo β no triângulo [H] que tem como medida da hipotenusa, raio do círculo trigonométrico, podemos concluir que H = senβ. aqui concluímos ser = senβ. HT (altura); HT = T H [T] e [H] são respectivamente os catetos adjacentes aos ângulos α e β nos triângulos [T] e [H]. Podemos concluir ser T = cosα e H = cos β aqui concluímos ser HT = cosα cos β b. área de um trapézio é dada pelo produto entre a média das medidas das bases e a altura. + b = a. tendendo aos resultados obtidos no ponto anterior, PRFESSR: Rosa anelas 8 º 004/00

9 senα + senβ = cos cos = sen + sen cos cos = senα + senβ cosα cos β ( ( α β) ( α β)( α β) )( ) c. valor exacto da área do trapézio, no caso de α = e 4 β =. = sen + sen cos cos 4 4 = + = = um valor aproximado às centésimas é 0, d. Para calcular a área do trapézio quando co-senos dos ângulos α e β. senα = e 4 cos β =, precisamos dos senos e Se senα = então cos α = por ser α = 0º. Para ficarmos a saber senβ a partir do valor de cos β vamos usar a fórmula fundamental da trigonometria sen β cos β cos β sen β + = = = senβ senβ = = Finalmente o valor exacto da área do trapézio será obtido por substituição dos valores encontrados em = ( senα + senβ)( cosα cos β ) = + = + = + = PRFESSR: Rosa anelas 9 º 004/00