Trigonometria. Reforço de Matemática Básica - Professor: Marcio Sabino - 1 Semestre 2015

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1 Trigonometria Reforço de Matemática ásica - Professor: Marcio Sabino - 1 Semestre Trigonometria O nome Trigonometria vem do grego trigo-non triângulo + metron medida. Esta é um ramo da matemática que estuda relações entre ângulos e comprimentos dos lados de um triângulo retângulo.. Medidas de Ângulos e rcos Definição de Ângulo: Do latim angulu: canto, esquina. Do grego gonas: reunião de duas semi-retas de mesma origem não colineares. Definição de rco: Do latim arcus: tudo o que tem a forma curva; uma porção qualquer da circunferência; é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos. O Grau: Do latim gradu: dividindo a circunferência em 60 partes iguais, cada arco unitário que corresponde a 1 da circunferência denominamos de grau. 60 O Radiano: é o arco cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência que o contém Na figura temos o ângulo central α = ÂO com vértice no centro da circunferência e um arco = Â. medida do ângulo central (em graus) e a medida do arco correspondente (em radianos) são equivalentes. O α Na trigonometria convencionou-se que a circunferência trigonométrica possui raio unitário, ou seja, r = 1 [u.c] (OS. notação [u.c] denota unidade de comprimento). Uma volta completa sobre uma circunferência de raio r, ou seja, o comprimento de uma circunferência é definido por = πr. De forma equivalente, quando medimos uma volta completa em graus temos 60. omo o radiano é o arco cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência que o contém, então 60 o = π [rad], pois no nosso caso, r = 1. Temos então a seguinte condição para conversão entre graus e radianos. onversão: Utilizar a regra de simples: O ângulo α está para 60 o assim como o arco está para π [rad]. E.: Transforme α = 0 o para radianos: 60 o = π [rad] 0 o = [rad] 60 = 0 π = 0 π 60 = π 6 ssim, α = 0 o é equvalente à = π 6 [rad].

2 . Triângulo Retângulo Um triângulo que possui um ângulo interno de 90 o, é denominado triângulo retângulo. O ângulo reto, ou seja, o ângulo de 90 o é representado na figura com um quadrado com um pingo no centro. Os comprimentos dos lados do triângo retângulo são denomidados: Hipotenusa : Lado oposto ao ângulo reto; atetos: Lados adjacentes ao ângulo reto. onsidere o seguinte triângulo retângulo: ˆ cateto cateto Ĉ Figura 1: Triângulo retângulo..1. Teorema de Pitágoras onsidere um triângulo retângulo da figura 1. O quadrado da medida do comprimento da é igual a soma das medidas dos comprimentos dos catetos, ou seja: () = (cateto1) + (cateto) Este teorema é muito útil quando estamos trabalhando apenas com as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo retângulo. E.: Na figura abaio, temos um triângulo retângulo com cateto = [u.c] e = 5 [u.c]. Qual o comprimento do lado? 5 Solução: Temos o valos de um dos catetos e da e queremos determinar o valor do outro cateto. ssim: () = (cateto1) + (cateto) () = () + () (5) = () + () 5 = () = () 16 = () () = 16 = ± 16 = ±4 omo é um comprimento, utilizamos a solução = 4 [u.c]

3 .. Seno onsidere um ângulo α interno a um triângulo retângulo. O seno deste ângulo é a razão da medida do comprimento do cateto oposto a esse ângulo, dividido pela medida do comprimento da, ou seja: sen(α) = cateto oposto ao angulo α E.: Para a figura abaio, temos que: sen(0 ) = cateto oposto ao angulo 0 = 4 = 1 sen(0 ) = Para utilizar a calculadora, deve-se tomar cuidado com a forma graus ou radiano. No eercício acima, o ângulo pedido foi 0. ssim, ( devemos colocar a calculadora para trabalhar no modo graus e depois fazer o calculo. Se o π ) pedido fosse sen, teriamos que deiar a calculadora na forma de radianos para efetuar a operação. 6.. osseno onsidere um ângulo α interno a um triângulo retângulo. O cosseno deste ângulo é a razão da medida do comprimento do cateto adjacente a esse ângulo, dividido pela medida do comprimento da, ou seja: cos(α) = E.: Para a figura abaio, temos que: cos(0 ) = cos(0 ) =. cateto adjacente ao angulo α cateto adjacente ao angulo 0 = 4 = Tangente onsidere um ângulo α interno a um triângulo retângulo. tangente deste ângulo é a razão da medida do comprimento do cateto oposto a esse ângulo, dividido pela medida do comprimento do cateto adjacente ao mesmo ângulo, ou seja: tg(α) = cateto oposto ao angulo α cateto adjacente ao angulo α De forma equivalente, uma outra relação para a tangente de um ângulo é dada por: tg(α) = sen(α) cos(α)

4 E.: Para a figura abaio, temos que: tg(0 cateto oposto ao angulo 0 ) = cateto adjacente ao angulo 0 = / = = 6 6/ De forma equivalente, podemos calcular a tangente por: tg(0 ) = sen(0 1 ) cos(0 ) = = 1 = 1 = 1 = 1 = tg(0 ) =. tg(0 ) = Determinando o ângulo Para determinar o ângulo α conhecendo o valor de seno, cosseno ou tangente, devemos fazer a seguinte perguna: Qual o valor do arco cujo relação trigonometrica vale? Temos então as seguintes situações: Se sen(α) =, então arcsen() =?. Qual o valor do arco cujo seno vale. Se cos(α) =, então arccos() =?. Qual o valor do arco cujo cosseno vale. Se tan(α) =, então arctan() =?. Qual o valor do arco cuja tangente vale. Em algumas calculadoras, a notação acima pode ser encontrada como: sen 1 () =?, cos 1 () =? e tan 1 () =?. E.: Determine o ângulo θ sabendo que sen(θ) =. Solução: Queremos a resposta para: Qual o valor do arco sobre a circunferência trigonométrica cujo sen(θ) =? ssim: ( ) θ = arcsen = π 4 [rad] 0, 7854 [rad], ou, fazendo a conversão, θ = 45. Na calculadora, devemos selecionar antes o modo ao qual queremos que apareça o resultado, ou seja, em radianos ou em graus. E.: Determine o ângulo θ sabendo que cos(θ) = 1. Solução: Vamos determinar o arco sobre a circunferência trigonométrica, cujo cos(θ) = 1 ( ). ssim: 1 θ = arccos = π [rad] 1, 047 [rad], ou, fazendo a conversão, θ = 60.

5 4. Triângulo Qualquer Quando temos um triângulo retângulo, podemos utilizar o teorema de pitágoras e as relações trigonométricas seno, cosseno e tangente. Para um triângulo qualquer, ou seja, não necessariamente retângulo, estas relações não são válidas e devemos utilizar a Lei dos Senos ou a Lei dos ossenos Lei dos Senos onsidere um triângulo qualquer, com lados, e medindo respectivamente a, b e c e com ângulos internos opostos à estes lados sendo respectivamente Â, ˆ e Ĉ, inscrito em uma circunferência de raio r. c r ˆ a  Ĉ b lei dos senos diz que: Figura : Triângulo incrito em uma circunferência de raio r. a sen(â) = b sen( ˆ) = c =.r sen(ĉ) E.: Dado o triângulo abaio, determine o comprimento do lado : 45 0 Temos que: sen(45 ) = sen(0 ) = sen(45 ) sen(0 = ) 1 ssim, = [u.c]. = 1 =

6 4.. Lei dos ossenos onsidere um triângulo qualquer, com lados, e medindo respectivamente a, b e c e com ângulos internos opostos à estes lados sendo respectivamente Â, ˆ e Ĉ. c a  b Figura : Triângulo. lei dos cossenos diz que: a = b + c b c cos(â) nalogamente, temos as seguintes relações: b = a + c a c cos( ˆ) ; c = a + b a b cos(ĉ). E.: Dado o triângulo abaio, determine o comprimento do lado : 60 5 Temos que: ssim, temos o comprimento = 19 [u.c]. = () + (5) () (5) cos(60 ) = () (5) 1 = 4 15 = 19 = ± 19

7 EXERÍIOS - Trigonometria Reforço de Matemática ásica - Professor: Marcio Sabino - 1 Semestre 015 Nome : Ra : P rojetos Manhã P rojetos Noite 1. Faça as seguintes tranformações: (a) = 60 para radianos (b) = 150 para radianos (c) = π 4 (d) = π para graus para graus. onsidere cada item à figura correspondente: (a) Determine o valor do comprimento da aresta e do triângulo. (b) Determine a altura do prédio. Determine também a distância percorrida pelo pássaro para voar em linha reta do topo do prédio ao pão no solo e em seguida ao topo do prédio.. Um avião voando paralelo ao solo a 600 [m] de altitude avista a pista de pouso e inclina-se 0 para iniciar a descida. Determine a distância percorrida pelo avião até tocar a pista. 4. Quando o ângulo de elevação do sol é de 60 o, a sombra de uma árvore mede 15 m. alcule a altura da árvore. 5. Uma escada de 0 [m], encostada na parede de um edifício, tem seus pés afastados 10 [m] do edifício, formando assim, com o plano horizontal, um ângulo de β. Determine o ângulo β? 6. onsidere o esquema na figura onde um barco está próimo de uma torre em uma base de um porto. Determine o ângulo θ. 7. Um avião levanta vôo sob um ângulo de 0 o. Depois de percorrer 8 km em linha reta, que altura estará o avião? 8. Sob um ângulo θ o em relação ao solo, um projétil sobe 8 [km] em linha reta e se desloca 4 [km] horizontalmente. Qual o ângulo θ?

8 9. onsidere uma peça plana que possui um formato triangular. Supondo um triângulo, sabe-se que = 40 [cm] e que o ângulo oposto a este lado vale 0, enquanto que o ângulo oposto ao lado vale 60. Determine o comprimento do lado da peça. 10. Uma pessoa se encontra em um ponto de uma planície, às margens de um rio e vê, do ooutro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto. om o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 [m] para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos ˆ e D ˆ valem 0, e o ângulo ˆ vale 105, como na figura. Determine a altura h do mastro da bandeira. 11. água utilizada na casa de uma sítio é captada e bombeada do rio para uma caia de água a 50 [m] de distância. casa está a 80 [m] de distância da caia de água e o ângulo formado pelas direções casacaia de água e caia de água-bomba é de 60. Determine quantos metros são necessário para levar água diretamente da bomba até a casa. 1. onsidere o triângulo da figura abaio. Determine o comprimento do triângulo. cm 7 cm 60 Soluções (1a) = π rad (1b) = 5π 6 rad (1c) = 45 (1d) = 90 (a) e = 6 (b) h = 48 [m] e d = 110 [m] () = 100 [m]. (4) h = 15 [m]. (5) β = 45. (6) θ = 0. (7) H = 4 [km]. (8) θ = 60. (9) = 40 [cm]. 5 (10) h = [m]. (11) = 70 [m]. (1) = 8 [cm].