FICHA DE TRABALHO N.º 7 MATEMÁTICA A - 10.º ANO CÁLCULO VECTORIAL NO ESPAÇO

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1 álculo Vectorial no spaço FIH TRLH N.º 7 MTMÁTI - 0.º N ÁLUL VTRIL N SPÇ onhece a Matemática e dominarás o Mundo. Galileu Galilei. Na figura estão representados oito cubos. GRUP I ITNS SLH MÚLTIPL é um rectângulo dividido em oito quadrados F P N M L as faces de quatro dos cubos coincidem eactamente um desses quadrados. Z Q R os restantes quatro cubos têm pelo menos uma face em comum com outro cubo. u H, v G e w G H Y X K S T U W V I.. vector GW LI N pode ser representado por: u w u v u v v w.. Quais são os valores de,, de modo que u v w XP?, e, 0 e, e, e.. Suponha agora que a figura está representada num referencial o.n. Y,, I,. Quais são as coordenadas do ponto?,,,,,,,, Ficha de Trabalho n.º 7 Matemática 0.º no

2 álculo Vectorial no spaço. Num referencial o.n.,,, k. s vectores u e v são colineares se: e e e, considere os vectores não nulos u k, k, k e v e k e, com k k k k. Num referencial o.n.,,, k. e e e, considere os vectores não nulos u k, k, k e v e k e e, com.. Sabe-se que se k, então uv 0. Quais são os restantes valores não nulos de k de modo que uv 0? e e e e.. recta, com,0, e 7,, tem a mesma direcção que o vector u. Quais são os valores de k? k k k k k k k k. Num referencial o.n. a superfície esférica definida por 6 e o ponto,, a, pertencente à superfície esférica. a a a, com.. Qual das seguintes pode ser uma equação vectorial da recta que contêm um diâmetro da superfície esférica e o ponto?,, 0,, k, 7,, k,,, 7, k 0,,, k,,,, k,,, k,,,, k,,, k Ficha de Trabalho n.º 7 Matemática 0.º no

3 álculo Vectorial no spaço.. Seja o ponto da superfície esféria diametralmente oposto ao ponto. Quais são as coordenadas do ponto?,, 5 5,, 0 7,,,,.. onsidere a recta s definida pelo seguinte sistema de equação paramétricas: k k, k recta s intersecta a superfície esférica nos pontos P e Q. Qual é o valor de d P, Q? 5. Sejam a e b dois números reais não nulos e as rectas r e s, paralelas, definidas por: r :,, ka, ak,k, k e s : ak kb ak, k Quais podem ser os valores de a e de b? a e b a e b a e b a e b 6. onsidere num referencial o.n., a recta r definida por,,,, k 0,,0, k. 6.. Qual das seguintes afirmações é falsa? recta r é paralela ao eio. recta r intersecta o plano no ponto de coordenadas,0,. recta r é perpendicular ao eio. recta r é perpendicular ao plano. 6.. Qual das seguintes condições também define uma recta paralela a r que contém o ponto,,5? Ficha de Trabalho n.º 7 Matemática 0.º no

4 álculo Vectorial no spaço 7. onsidere a recta t definida por,,,,0 k,5, o ponto de coordenadas,0,., k e o plano, paralelo a, que contém Quais são as coordenadas do ponto de intersecção da recta t com o plano?,, 0,, 9 9,,,, 8. Na figura está representada em referencial o.n. a pirâmide. o ponto pertence ao plano o pontos pertence ao eio,8, e,7,5 Quais são as coordenadas do ponto?,0,,0,,0,,0, GRUP II ITNS RSPST RT 9. Num referencial o.n., e, e, e, considere os vectores,, P,,0 e,, Q k k k, com k. u e v k e k e e, e os pontos 9.. etermine k de modo que: a) PQ v. b) v u QP k, k, k c) o vector PQ u seja colinear com o vector,,5 w. 9.. onsidere k. etermine o valor lógico da seguinte proposição:, : u v PQ Ficha de Trabalho n.º 7 Matemática 0.º no

5 álculo Vectorial no spaço 0. Na figura está representado num referencial o.n. uma prisma triangular F. a base está contida no plano de equação e a base F está contida no plano de equação 5 F a face F é paralela ao plano 89 uma equação vectorial da recta F é,, 6,7, k 5,,8, k 0.. Mostre que as coordenadas do ponto são,,, que as do ponto F são,,5 coordenadas dos restantes vértices do prisma. 0.. screva uma equação vectorial da recta e determine sua a intersecção com o plano. e determine as 0.. etermine: a) um sistema de equações paramétricas que defina a recta. b) uma equação vectorial da aresta F. c) o plano mediador do segmento de recta F. presente-a na forma a b c d, com a, b, c, d. 0.. etermine as coordenadas de um vector v colinear com e de norma onsidere os pontos P5,, e T,, vector PT é perpendicular ao plano F. a) Mostre que uma equação do plano F é 5.. Sabe-se que o ponto T pertence ao plano F e que o b) Seja r a recta que contém o ponto de coordenadas,, e é paralela ao eio. etermine as coordenadas do ponto de intersecção do plano F com a recta r onsidere um novo prisma semelhante ao prisma F. Sabe-se que a área da base do novo prisma é igual a 50. Qual é o volume do novo prisma? Ficha de Trabalho n.º 7 Matemática 0.º no 5

6 álculo Vectorial no spaço. Na figura estão representados em referencial o.n. dois cubos FGJL e GHIJ de aresta. o ponto pertence ao eio ; L J I os pontos e pertencem ao eio ; F G H o ponto J pertence ao eio... etermine uma equação do plano G. Sugestão: Tenha em conta que G é o plano mediador de um segmento de recta cujos etremos são vértices de um dos cubos da figura... screva uma equação vectorial da recta paralela a H que contém o ponto I... onsidere os pontos X, Y e Z definidos por: X L J Y G F Z F Usando cálculo vectorial represente os pontos X, Y e Z e determine a área do triângulo XYZ... etermine uma condição que defina uma esfera tangente aos planos,, I e L.. Na figura está representada a pirâmide o ponto pertence ao eio e 0,,0 uma equação vectorial da recta é:,,,,0 k,7,0, k 6,, 0 Ficha de Trabalho n.º 7 Matemática 0.º no 6

7 álculo Vectorial no spaço.. screva um sistema de equações paramétricas da recta... etermine o ponto de intersecção da recta com o plano... Mostre que 5,0,0 e 6, 7, 0... onsidere a esfera centrada em cujo ponto pertence à superfície esférica que a limita. a) Mostre que uma condição de define e esfera é b) etermine o perímetro e a área da secção definida na esfera pela intersecção segundo o plano..5. etermine o volume da pirâmide.. Na figura estão representadas em referencial o.n. as rectas r e s. a recta r é definida pelo sistema de equações paramétricas: r 0 0 5k 6 k, k P s uma equação vectorial da recta s é:,, 5,0,0 k 5,5,, k a recta s intersecta o eio no ponto a recta r intersecta o eio no ponto e o eio no ponto as rectas r e s intersectam-se no ponto P de ordenada 5... Seja o plano mediador do segmento de recta. Mostre que o plano não intersecta o eio... etermine as coordenadas um vector colinear com o vector P de norma... screva um sistema de equações paramétricas que defina a recta P e determine as coordenadas do ponto de intersecção da recta P com o plano mediador do segmento de recta... etermine o volume da pirâmide P. Ficha de Trabalho n.º 7 Matemática 0.º no 7

8 álculo Vectorial no spaço. onsidera, num referencial o.n., o prisma recto FGH. o ponto pertence ao eio, o ponto ao eio e,, 6,5,0 F G H H 8 0,7,.. Utiliando as letras da figura, determina: a) H b) F G.. screva uma equação vectorial da recta paralela a que contém o ponto e determine as coordenadas do ponto de intersecção dessa recta com o plano... Mostre que 6,0,0, 0,5,0 e que G 0 0,0,... screva uma condição que defina: a) a recta paralela ao eio que contém o ponto F. b) o plano perpendicular à recta definida por,, 0,,k, k que contém o ponto G. c) o plano paralelo ao plano que contém o ponto H..5. onsidere o vector u 7,, 9, etermine de modo que u seja colinear com G H e que u screva uma condição de defina a superfície esférica que contém todos os vértices do prisma. ercício adaptado de um eercício do meu livro Preparar o ame 06 Matemática da Rai ditora F I M Ficha de Trabalho n.º 7 Matemática 0.º no 8

9 álculo Vectorial no spaço SLUINÁRI GRUP I ITNS SLH MÚLTIPL GRUP II ITNS RSPST RT 9.. a) k 0 k 9.. b) k 9.. c) k 9.. Proposição Falsa, k ; 0..,, ;,, ;,,5 ;,,5 0..,,,, k 5,, 8, k 0.. b),,,,5 k 0,5,0 0.. a) 5k k 0.. v 5 0, 0,8 0 ou 5 0, 0, c) Vnovo prisma ,,, 0, k 0,8,, k, k 0, v 0.5. b),,,0,.. Z Y X XYZ Por eemplo: 6.. 6k k 0k, k.. 9 5,0,.. b) Secção 50 ; PSecção 0.5. V ,, ou,, k k, k ; 8 0,, 5.. a).. b) 8,,,, k 0,7,, k ; 5,,0.... a) 9.. b) 0.. c) Ficha de Trabalho n.º 7 Matemática 0.º no 9

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