MATEMÁTICA BÁSICA II TRIGONOMETRIA Aula 03

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1 UNIVERSIDDE ESTDUL VLE DO CRÚ CENTRO DE CIÊNCIS EXTS E TECNOLOGI CURSO DE LICENCITUR EM MTEMÁTIC MTEMÁTIC ÁSIC II TRIGONOMETRI ula 03 Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org 204.

2 Razões Trigonométricas do ângulo agudo. Os triângulos O, 2 O 2, 3 O 3, etc., são semelhantes. Daí = = = O α<90 α 2 3 4

3 Desta forma, dado um triângulo retângulo com ângulos internos dados, existe uma relação que independe da medida de seus lados Chamaremos esta relação de seno do ângulo α = O α Usando triângulos pequenos, podemos fazer uma tabela de senos.

4 Hipotenusa, Catetos? Hipotenusa: que se alonga abaixo... No caso, abaixo do ângulo reto. Cateto: baixado, perpendicular.

5 plicação: Cálculo do Raio da Terra. altura da torre (h) é conhecida; O ângulo α entre a torre e a linha do horizonte, é conhecido. Portanto o seu seno também é conhecido. = + = ( + ) Linha do Horizonte R α h R. =. =.

6 Podemos definir outras duas relações num triângulo retângulo que também independem das medidas dos lados Chamaremos de cosseno do ângulo α a seguinte relação: = Chamaremos de tangente do ângulo α a relação: = O α

7 Relação Fundamental Observe que: 2 Do Teorema de Pitágoras + = e = + α O ( ) + ( ) =

8 Tangente Temos: = = = O α

9 Outras relações Seja d a medida da hipotenusa do triângulo O. Então = = Isto é, =. nalogamente, =. d. O α.

10 Proposição : Se dois ângulos α e β são complementares (α+β=90 ) então sen α = cos β, sen β=cos α e tg α = /tg β. = = = = = = = α a β b c

11 Utilidade da proposição : Para construir uma tabela de senos e cossenos de ângulos entre 0 e 90, precisamos de cálculos efetivos apenas para o intervalo (0,45 ) Proposição 2: (a)se α (0,45 ) então (b) Se α (0,90 ) então =.. sen a 2 = cos a 2

12 Prova da Proposição 2, parte (a): rea ΔOC =2.rea ΔO OC. D rea ΔOC = 2 rea ΔOC =. sen2α 2 O α α cos α sen 2 2α sen α cos α. 2 senα rea ΔOC = 2.sen2α 2 cos α. 2.sen α = 2 sen 2α= 2.cos α. senα D β sen α C

13 Prova da Proposição 2, parte (b): + = +. = =. = O α α cos α sen α +. = +. = () = = ඨ cos 2α D β sen α C

14 Ângulos Especiais: 30, 60 Considere um triângulo equilátero C de lado D /2 Pelo Teorema de Pitágoras, Ou seja, C = + = + (/ ) E portanto

15 Ângulos Especiais: 30, 60 Observando as relações no triângulo DC, temos D /2 C

16 Ângulos Especiais: 30, 60 Como 30 e 60 são ângulos complementares, segue da proposição que D /2 C

17 Ângulos Especiais: 45 C 45 Considere um triângulo retângulo isósceles de catetos medindo. Pelo Teorema de Pitágoras, Isto é, C 2 = 2 +C 2 45

18 Ângulos Especiais: 45 C Observando as relações no triângulo ao lado, temos: 45 45

19 Famosa Tabela Ângulo Seno Cosseno Tangente

20 Ângulos Especiais: 8 Considere o triângulo isósceles C onde os lados iguais medem e o outro lado mede x. Considere a bissetriz do ângulo Ĉ C O triângulo DC é isósceles (dois 36 ângulos internos iguais) 36 Repare que os triângulos C e CD são semelhantes (ângulos internos correspondentes (72, 72º, 36º)) ssim, = = 36 D 72 x -x 72 72

21 Ângulos Especiais: 8 C Daí, (-x).=x 2 Ou seja, = Que resulta em 36 D x -x

22 Ângulos Especiais: 8 C Voltando ao Triângulo inicial, considere a altura H relativa ao lado C. O triângulo H é retângulo em H e H=x/2 Daí, H / e pela Relação Fundamental,

23 Ângulos Especiais: 9, 36, 72 asta usar a proposição 2: Proposição 2: (a) Se α (0,45 ) então (b) Se α (0,90 ) então =..

24 Exercício: Encontrar seno, cosseno e tangente dos ângulos: 9, 36, 72