Escola Secundária de Santa Maria da Feira
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- Nicolas Marco Coradelli da Silva
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1 Escola Secundária de Santa Maria da Feira Ficha de Trabalho de Matemática A 11º Ano FT-1 I Parte Escolha Múltipla 1. Quantas soluções tem a equação cos α = tg α no intervalo [0,π ]? (A) 0 (B) 1 (C) (D) 4 b f ( x) = a + uma função racional de domínio IR\{0. Em qual das seguintes condições a equação f (x) = 0 x tem uma solução positiva? (A) a = 0 e b > 0 (B) a = 0 e b < 0 (C) a < 0 e b > 0 (D) a < 0 e b < 0. Seja 3. Considere as funções g e h, ambas polinomiais de graus 1 e, respectivamente, de domínio IR, representadas graficamente na figura ao lado. Quantos zeros tem a função (g h)? (A) 0 (B) 1 (C) (D) 3 4. Considere a função f, de domínio IR, e a recta t, tangente ao gráfico de f, no ponto de abcissa -1. Então, f (-1) é: (A) 3 4 (B) 1 (C) (D) Seja g uma função de domínio IR cuja representação gráfica está na figura ao lado. Qual das seguintes figuras representa a função g 1, função inversa de g? Prof. Deolinda Sá Página 1 de 6
2 6. Considere a função h, de domínio IR, com a seguinte representação gráfica: Qual das condições seguinte é falsa? (A) tmv [ 6, ] > 0 (B) tmv [ 6, ] > tmv[0,] (C) tmv [ 6,0] = 0 (D) tmv [ 6, ] > tmv[,4] 7. A eficiência de um tipo de pilhas, em percentagem, é dada, em função do tempo t de utilização, em horas, pela função t E ( t) =. Qual é o domínio da função E? t + 8 (A) IR \{ 8} (B) IR \ {8} (C) [0,+ [ (D) [0,80] 8. Na figura seguinte está parte da representação gráfica de uma função g. Qual dos seguintes gráficos pode representar a função derivada da função g? Prof. Deolinda Sá Página de 6
3 9. Na figura estão representadas a função f, quadrática e a função g, cúbica. O conjunto de zeros da função g f é: (A) { - } (B) { -, -1, 0,} (C) { -,} (D) { -,-1, 0} π 10. A expressão α + cos( π + α ) sen é equivalente a : (A) 0 (B) senα (C) cosα (D) sen α + cosα 11. Qual das situações seguintes pode traduzir o sistema x y = 3 4x + y = 1 y + z = 4 1. A representação gráfica do plano α: x+ y+z=1 no primeiro octante de um referencial ortonormado é: Prof. Deolinda Sá Página 3 de 6
4 II Parte 1. Para um desfile de Carnaval, uma turma de 11ºano conseguiu que uma fábrica lhe disponibilizasse 16 metros de seda, 11 metros de tule e 15 metros de cetim. Uma modista propôs-lhe a confecção de dois tipos de fatos A e B. Um fato de tipo A gasta metros de seda, um metro de tule e um metro de cetim. Um fato de tipo B gasta um metro de seda, metros de tule e 3 metros de cetim. Qual o número máximo de fatos que podem ser confeccionados? E quantos de cada tipo? Responda às duas questões anteriores, incluindo na sua resposta: - um sistema de inequações que traduza as condições do problema para o número de fatos a confeccionar de cada um dos dois tipos; - uma representação gráfica do polígono de soluções admissíveis; - a indicação gráfica da solução óptima.. Um medicamento foi injectado num doente. A concentração desse medicamento no sangue do doente, t horas após ter sido injectado é dada, em miligramas por mililitro de sangue, pela expressão: 1.3t + 13t C ( t) = t + 1 Responda analiticamente a todas as questões seguintes. Apresente os resultados do tempo em horas e minutos (minutos arredondados às unidades) e os de concentração arredondados às centésimas..1. Qual era a concentração de medicamento no sangue do doente quinze minutos depois de ter sido injectado?.. Enquanto a concentração no sangue for superior a 6,5 miligramas por mililitro, o medicamento pode trazer efeitos indesejáveis. Durante quanto tempo acontecerá isso?.3. Depois de atingir o nível máximo, a concentração começa a diminuir. Quando atingir uma miligrama por mililitro de sangue, é necessário tomar nova dose do medicamento. Quando deverá isso acontecer?.4. Explique o significado de C (t) = 0, no contexto do problema. 3. Consideremos: 1 - a função racional f definida em IR \ {0} por f ( x) = x - a função polinomial g representada graficamente ao lado Calcule (f + g)( 1). 3.. Indique, justificando, o valor de g (1) Indique o domínio da função g f e os seus zeros, caso existam Resolva a condição g'(x) Indique, justificando, o domínio da função h, definida por h ( x) = g( x). Prof. Deolinda Sá Página 4 de 6
5 4. Uma pedra é atirada para um lago, formando sucessivos círculos concêntricos. Admitamos que o diâmetro d de cada círculo que se forma, t segundos depois da pedra ter caído na água é dado, 450 em centímetros, por d ( t) = 180. t Determine, analiticamente, a área do círculo que se forma passados 10 segundos da pedra ter caído na água. Apresente o resultado aproximado às unidades. 4.. Calcule a velocidade de crescimento do círculo no instante t = segundos. Apresente o resultado aproximado às unidades Exprima o tempo que decorreu depois da pedra ter caído na água em função do diâmetro do círculo formado Determine quanto tempo depois da pedra ter caído na água se forma um círculo com diâmetro de 150 cm. 5. O Francisco fez um avião de papel e atirou-o da varanda. A altura do avião em relação ao chão é dada, a partir do momento do lançamento, pela função: A(t) = t 3 + 9t 4t +5, com A em metros e t em segundos. Resolva analiticamente as questões seguintes Qual é a altura da varanda do Francisco? 5.. A certa altura o avião parou de descer e começou a subir. Quando aconteceu isso e a que altura do chão estava o avião? 5.3. Qual era a velocidade do avião passado 1 segundo de ele ter sido lançado? 6. Na figura está representado, em referencial ortonormado do plano, a sombreado, um polígono [ABEG]. Tem-se que: - [ABFG] é um quadrado de lado ; - o ponto A coincide com a origem do referencial; - FD é um arco de circunferência de centro em B; o ponto E move-se ao longo desse arco; em consequência, o ponto C desloca-se sobre o segmento [BD], de tal forma que se tem sempre [EC] [BD]; - x designa a amplitude, em radianos, do ângulo CBE, 0, π x Mostre que a área do polígono [ABEG] é dada, em função de x, por A(x) = (1+ senx + cos x) (Sugestão: pode ser-te útil considerar o trapézio [ACEG].) 6..Determina A(0) e A 6.3. Considere agora π π x = rad. 6. Interprete, geometricamente, cada um dos valores obtidos Prove que as coordenadas do ponto E são ( + 3, 1) Determina a amplitude do ângulo formado pelas rectas GB e BE Escreve a equação reduzida de uma recta r, com a mesma inclinação da recta BE e que contenha o ponto H(0,3). Prof. Deolinda Sá Página 5 de 6
6 7. Considera, em referencial ortonormado do espaço, uma pirâmide quadrangular recta [ABCDV] como a da figura: Sabe-se que a base da pirâmide tem aresta cm e está contida no plano xoy, e o vértice V tem coordenadas (1, 1, 6) Mostre que os vectores MA e MV são perpendiculares., em que M é o ponto médio de [AC], 7.. Escreva uma equação cartesiana do plano definido pelos pontos V, B e C Escreva uma equação cartesiana do plano α paralelo ao eixo Oz e que contenha os pontos A e C. 8. O Joaquim tem um quintal com um terreno. Comprou 4 m de rede para isolar duas zonas onde colocará uma tartaruga e um cágado, e pretende usá-la na sua totalidade. As zonas devem situar-se junto ao muro, serem rectangulares e terem a mesma área (de acordo com a figura ao lado) Se o lado de cada um dos rectângulos, assinalado com x, medir 6 m, qual é área disponível para cada um dos animais? 8.. Mostre que a área disponível para a tartaruga é dada em função de x (medida em metros do lado 3 assinalado) por A ( x) = 1x x, x ]0,8 [ Determine, recorrendo à derivada da função o valor de x que permite ao Joaquim construir espaços com a maior área. 9. A tabela seguinte representa o estudo do sinal de uma função f, definida em IR : 9.1. Estude o sinal da função ( f g)(x), sendo g a função definida em IR por g(x) = x 3. 4 sex Considere a função h ( x) = definida em IR. 5 sex < 0 Indique os valores de (h o g)(3) e (h o g)(30). 10. Na figura está parte da representação gráfica de uma função f. x Atendendo aos dados da figura, mostre que f ( x) = x Utilizando a calculadora gráfica, determine as coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico de f com a recta de equação y = x Indique o domínio, o contradomínio e as assímptotas da função h(x)= + f(x+3) Calcule, caso existam, os seguintes limites: lim f ( x) lim f ( x) x + x lim f ( x) x 11. Considere a função r.v.r. definida por f(x)= sen x+(cosx-1) Prove que f(x) = -1 - cosx, x IR 11.. Indique o contradomínio de f Determine os zeros de f pertencentes a [0,π] Resolva a condição f(x) <. Prof. Deolinda Sá Página 6 de 6
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