Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis. 10º Ano de Matemática A. Geometria no Plano e no Espaço I. Grupo I

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1 scola Secundária com º ciclo. inis 10º no de Matemática eometria no lano e no spaço I 1º Teste de avaliação rupo I s cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. ara cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. screva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. ada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1. área da face de um dodecaedro regular é () () 10 cm () 6 4 cm () 7 cm 7 4 cm 6 cm ; então a área total do dodecaedro é:. Os triângulos [] e [] são semelhantes e a razão de semelhança é. ntão, se = 1, tem-se: () = () = 4 () = 4,5 () = 4. scolha a afirmação verdadeira, relativamente ao cubo da figura: () s rectas e são paralelas () s rectas e são concorrentes () s rectas e são paralelas () s rectas e são não complanares 4. Uma pirâmide tem o triplo do volume de um prisma com a mesma base. ntão, sendo h a altura da pirâmide e h a altura do prisma, podemos concluir que: () h h' = () h = 6h' () h = 9h' () h' h = rofessora: Rosa anelas 1 no Lectivo 009/010

2 5. área do triângulo da figura é 1 cm. ual é o valor de x? () x = 7cm () x = 9cm () x = 10cm () x = 0 cm x - 5 rupo II x - Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. tenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Mergulha-se uma esfera de raio 16 cm num cilindro com água. O cilindro tem de raio (interno) 16 cm, ficando a esfera tangente à sua superfície lateral e ao fundo do cilindro. eita-se água no cilindro de forma a só cobrir a esfera etermine o volume da esfera. 1.. etermine a altura da água dentro do cilindro depois de retirarmos a esfera do seu interior.. Na figura está representado um cubo em que a aresta mede 5 cm. Sabe-se que: = = R = 1cm.1. esenhe a secção produzida no cubo pelo plano R... Indique a maior área da secção produzida no cubo por um plano paralelo ao plano R... Seja x um ponto da aresta [] e α o plano paralelo ao plano e que passa por x. que distância do ponto deve estar o ponto x para que o prisma situado abaixo do plano α tenha cm R de volume.. Um fabricante de sabonetes produz sabonetes de forma esférica que acondiciona em caixas de 18 cm de aresta e já percebeu que, como as pessoas não gastam o sabonete até ao fim, é mais rentável fazer sabonetes de tamanho mais pequeno. ensou então fazer oito sabonetes que caibam na mesma embalagem. ompare os volumes de sabonete numa e noutra caixa. rofessora: Rosa anelas no Lectivo 009/010

3 4. imagem representa uma caixa cúbica em que a aresta tem de comprimento a dm. Sabe-se que e são pontos médios das arestas a que pertencem. Uma formiga desloca-se sobre a superfície da caixa, de até, pelo caminho mais curto etermine a distância percorrida pela formiga. 4.. Outra formiga desloca-se de até, também pelo caminho mais curto. Mostre que a distância percorrida por esta formiga é dada pela expressão a dm Sugestão: ara responder às questões, comece por construir planificações do cubo e localize os pontos envolvidos. eometria Álgebra ormulário erímetro do círculo: π r, sendo r o raio do círculo Áreas Volumes aralelogramo: base altura Losango: diagonal maior diagonal menor Trapézio: base maior + base menor altura perímetro olígono regular: apótema írculo: π r, sendo r o raio do círculo Superfície esférica: 4π r, sendo r o raio da esfera rismas e cilindro: área da base altura irâmide e cone: 1 área da base altura sfera: 4 r π, sendo r o raio da esfera órmula resolvente de uma equação do segundo grau da forma ax + bx + c = 0 : ± x = a b b 4ac uestão otação rofessora: Rosa anelas no Lectivo 009/010

4 scola Secundária com º ciclo. inis 10º no de Matemática eometria no lano e no spaço I 1º Teste de avaliação roposta de correcção rupo I 1. () área da face de um dodecaedro regular é 1 6 = 7 cm, por o dodecaedro ter 1 faces iguais. 6 cm ; então a área total do dodecaedro é. () Os triângulos [] e [] são semelhantes e a razão de semelhança é. ntão, se = 1, tem-se: = 1 = se = = 4.. ()scolha a afirmação verdadeira, relativamente ao cubo da figura, s rectas e são paralelas porque não têm pontos comuns e têm a mesma direcção () s rectas e são concorrentes é falsa porque as rectas são não complanares. () s rectas e são paralelas é falsa porque as rectas são perpendiculares e não complanares, () s rectas e são não complanares é falsa por as rectas serem paralelas. 4. () Uma pirâmide tem o triplo do volume de um prisma com a mesma base. ntão, sendo h a altura da pirâmide e h a altura do prisma, podemos concluir que: 1 1 Vpirâmide = Vprisma base h = base h' h = h' h = 9h' 5. () área do triângulo da figura é 1 cm. O valor de x é 9 cm. x - 5 ( x )( x 5) 1 = 4 = x x 5x + 15 x 8x 9 = 0 x - 8 ± x = x = 9 x = 1. omo x tem de ser positivo e maior que 5 só pode ser 9 rupo II rofessora: Rosa anelas 4 no Lectivo 009/010

5 1. Mergulha-se uma esfera de raio 16 cm num cilindro com água. O cilindro tem de raio (interno) 16 cm, ficando a esfera tangente à sua superfície lateral e ao fundo do cilindro. eita-se água no cilindro de forma a só cobrir a esfera O volume da esfera é V = π 16 V = π cm 1.. eterminemos a altura da água dentro do cilindro depois de retirarmos a esfera do seu interior. alcular o volume de água que é igual ao volume de um cilindro com 16 cm de raio da base e cm de altura menos o volume da esfera Vágua = π 16 π Vágua = π cm O volume de água é 819 cm π eterminar a altura h de um cilindro com volume igual ao da água e com raio da base 16cm π = π 16 h h = h = cm 16 O valor da altura é cm. Na figura está representado um cubo em que a aresta mede 5 cm. Sabe-se que: = = R = 1cm.1. secção produzida no cubo pelo plano R está desenhada na figura ao lado. S R.. secção com a maior área, produzida no cubo, por um plano paralelo ao plano R é o rectângulo [] = 5 cm e = 5 = 10 cm por [] ser a diagonal de um quadrado de aresta [] sabendo que = 5 cm or se tratar de um rectângulo a área é = 5 10 = 50 = 5 cm.. Seja x um ponto da aresta [] e α o plano paralelo ao plano e S R que passa por x. que distância h do ponto deve estar o ponto x para que o prisma situado abaixo do plano α tenha cm de volume x R rofessora: Rosa anelas 5 no Lectivo 009/010

6 é dada por ( ) = 5 h = 5h h = 5 distância h a que o ponto deve estar do ponto x para que o prisma situado abaixo do plano α tenha cm de volume é 0,4 cm.. Um fabricante de sabonetes produz sabonetes de forma esférica que acondiciona em caixas de 18 cm de aresta e já percebeu que, como as pessoas não gastam o sabonete até ao fim, é mais rentável fazer sabonetes de tamanho mais pequeno. ensou então fazer oito sabonetes que caibam na mesma embalagem. omparemos os volumes de sabonete numa e noutra caixa. Volume da esfera com raio 9 cm: Volume de cada uma das 8 esferas de raio 4,5: 4 V = 4,5 V 11,5 cm π = π Volume das 8 esferas de raio 4,5: quantidade de sabonete é a mesma nas duas caixas. 4 V = 9 V 97 cm π = π 1 1 V = 8 11,5 π V = 97π cm 4. imagem representa uma caixa cúbica em que a aresta tem de comprimento a dm. Sabe-se que e são pontos médios das arestas a que pertencem. Uma formiga desloca-se sobre a superfície da caixa, de até, pelo caminho mais curto eterminemos a distância percorrida pela formiga. ( ) = a + a = 5a = 5 a dm 4.. Outra formiga desloca-se de até, também pelo caminho mais curto. Mostremos que a a distância percorrida por esta formiga é dada pela expressão a a dm a observação da planificação a concluímos ser menor a distância calculada através da face [] a = a + a = a = a dm rofessora: Rosa anelas 6 no Lectivo 009/010

7 scola Secundária com º ciclo. inis 10º no de Matemática eometria no lano e no spaço I 1º Teste de avaliação ritérios de correcção rupo I rupo II alcular o volume da esfera de raio alcular o volume do cilindro com altura cm e raio da base 16 cm. 5 alcular o volume da água... 5 Igualar o volume da água a π 16 h.. Resolver a equação 5 ar a resposta com o valor exacto esenhar []..... esenhar [R]..... Traçar paralela a por R e obter S esenhar [RS]..... esenhar [S]..... esenhar a secção esenhar a maior secção alcular a medida da diagonal facial alcular a área da secção esenhar a secção produzida por α... rofessora: Rosa anelas 7 no Lectivo 009/010

8 Representar x por uma incógnita screver a equação = 5 5 h 8 Resolver a equação alcular o volume da esfera de raio 9. 5 alcular o volume da esfera de raio alcular o volume das 8 esferas... 5 Responder esenhar uma planificação 5 ssinalar os pontos na planificação. 5 plicar o Teorema de itágoras para calcular 5 alcular esenhar uma planificação adequada. 5 ssinalar os pontos na planificação. 5 plicar o Teorema de itágoras para calcular 5 alcular. 5 Total 00 rofessora: Rosa anelas 8 no Lectivo 009/010