Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis. 10º Ano de Matemática A. Geometria no Plano e no Espaço I. Grupo I

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1 scola Secundária com 3º ciclo. inis 10º no de Matemática Geometria no Plano e no spaço I º Teste de avaliação Grupo I s cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. screva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. ada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (ero) pontos. 1. s pontos ( 3,7) e ( 7,3) são simétricos em relação: () à bisectri dos quadrantes ímpares () à recta de equação = 1 () à bissectri dos quadrantes pares () à recta de equação = 1. Na figura junta, o conjunto de pontos sombreado pode ser definido pela condição: () 1 () 1 () 1 () 1 3. equação = 3 representa: () () () () um ponto no plano e uma recta no espaço; uma recta quer no plano, quer no espaço; um ponto quer no plano, quer no espaço; uma recta no plano e um plano no espaço. 4. onsidere o cubo com 4 cm de aresta representado no referencial. lugar geométrico definido pela condição G = 4 = 4 é: () o plano () a recta () a recta () a recta Professora: Rosa anelas 1 no Lectivo 009/010

2 5. figura representa um octaedro regular de aresta 4 ao qual foi aplicado um referencial o.m. com origem no centro do octaedro. Podemos concluir que a cota de V é: V () () 4 () 3 () 4 3 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. tenção: quando não é indicada a aproimação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor eacto. 1. No referencial da figura a unidade nos dois eios é a quadrícula. 4 G H 1.1. Identifique as coordenadas dos pontos,,, e I. 1.. Identifique as equações das rectas que L K 5 contêm as fronteiras da região sombreada e em seguida defina por uma - condição a região sombreada. J I. Num sólido constituído por três cubos, -4 geometricamente iguais, foram assinalados seis pontos:,,,, e. onsidere o referencial o.m., em que a unidade é igual à aresta dos cubos..1. Indique as coordenadas dos pontos,,,, e... screva a equação do plano.3. efina por uma condição a recta..4. Identifique o ponto simétrico de em relação a. Indique as suas coordenadas. Professora: Rosa anelas no Lectivo 009/010

3 .5. esenhe na figura a secção produida no sólido pelo plano e calcule a sua área. 3. poliedro representado na figura ao lado é um cubo truncado e foi obtido por truncatura de um cubo de aresta nove centímetros. s seus vértices são os pontos que dividem em 3 partes iguais cada uma das arestas do cubo original Que tipos de polígonos são as faces deste poliedro e quantas há de cada tipo? poliedro é regular? Justifique. 3.. Quanto medem as arestas do cubo truncado? 3.3. etermina a área de [JIHG]? 4. s rectas de equação = e = definem com uma recta paralela ao eio das abcissas um triângulo de área 3 cm. etermine uma possível equação dessa recta. Verifique se a solução que encontrou é a única. Sugestão: aça uma representação geométrica da situação. IM Questão otação Professora: Rosa anelas 3 no Lectivo 009/010

4 1. () s pontos ( 3,7) e ( 7,3) pares scola Secundária com 3º ciclo. inis 10º no de Matemática Geometria no Plano e no spaço I º Teste de avaliação Proposta de resolução Grupo I são simétricos em relação à bissectri dos quadrantes. () Na figura junta, o conjunto de pontos sombreado pode ser definido pela condição 1 3. () equação = 3 representa uma recta no plano e um plano no espaço. 4. () onsideremos o cubo com 4 cm de aresta representado no referencial. lugar geométrico definido pela condição = 4 = 4 é a recta G 5. () figura representa um octaedro regular de aresta 4 ao qual foi aplicado um referencial o.m. com origem no centro do octaedro. Podemos concluir que a cota de V é metade da diagonal de um quadrado de lado 4 e por isso metade de 4 que é V Grupo II 1. No referencial da figura a unidade nos dois eios é a quadrícula s coordenadas dos pontos,,, e I são: (, 4), ( 1, ), ( 5, ), ( ) I( 7, 3) 1.. s equações das rectas que contêm as fronteiras da região sombreada são: L: = : = 1 K: = 5 LK: = 0 : = : = 4 5, e Professora: Rosa anelas 4 no Lectivo 009/010

5 Uma condição que define a ona é: ( 1 4 0) ( 1 5 0) 4 G H L K 5 - J I -4. Num sólido constituído por três cubos, geometricamente iguais, foram assinalados seis pontos:,,,, e. onsidere o referencial o.m., em que a unidade é igual à aresta dos cubos..1. s coordenadas dos pontos,,,, e são ( 1,, 1), ( 1,0, 1), ( 1, 1,0 ), ( 1,0,1 ), ( 1,1,0 ) e ( 0,, 1)... Uma equação do plano é = 1.3. recta e definida pela condição = 1 = 1.4. ponto simétrico de em relação a é ( 1,0, 1).5. Na figura está desenhada a secção produida no sólido pelo plano e a sua área é três vees a área de um rectângulo com 1 de largura e = 3( 1 ) = 3 3. poliedro representado na figura ao lado é um cubo truncado e foi obtido por truncatura de um cubo de aresta nove centímetros. s seus vértices são os pontos que dividem em 3 partes iguais cada uma das arestas do cubo original. de comprimento. Professora: Rosa anelas 5 no Lectivo 009/010

6 3.1. s polígonos que são as faces deste poliedro são 6 octógonos irregulares e 8 triângulos equiláteros. 3.. s arestas do cubo truncado são de dois tipos: 1 iguais a = 3 e 4 iguais a J = 3 porque são diagonais de quadrados de lado [JIHG] é um octógono contido dentro de um quadrado de lado 9 ao qual foram tirados 4 triângulos rectângulos cujos catetos medem 3. ssim a área de [JIHG] é 3 3 = = = 63. Também podia considerar o octógono dividido em trapéios iguais com base maior 9, base menor 3 e altura 3 e um rectângulo com dimensões 3 e 9, pelo que a área de [JIHG] é = = = s rectas de equação = e 10 = definem com uma recta paralela ao eio das abcissas um triângulo de área 3 cm. Uma possível equação dessa recta é = 6 ou = 10 porque para a área de um triângulo rectângulo ser 3 o produto das medidas dos seus catetos é 64 e como neste caso o triângulo é rectângulo isósceles os dois catetos são iguais pelo que cada um mede 8. ssim adicionando e subtraído 8 à abcissa de do ponto de intersecção das duas rectas dadas () obtemos os valores a que devemos igualar para obter as equações das possíveis rectas e que são as únicas. Há duas soluções como podíamos verificar utiliando as coordenadas dos pontos assinalados na figura ( a + ) ( a + ) ( ) = 3 a + = 64 a + = 8 a + = 8 a = 6 a = 10 onde poderíamos concluir serem as rectas de equação = 6 ou = 10 as que definem com as rectas de equação : (-, ) = e = um triângulo de área 3 cm (a,) 8 (a,-a) Professora: Rosa anelas 6 no Lectivo 009/010

7 scola Secundária com 3º ciclo. inis 10º no de Matemática Geometria no Plano e no spaço I º Teste de avaliação ritérios de correcção Grupo I Grupo II alcular as coordenadas dos 5 pontos screver uma equação de cada uma das 6 rectas... 1 screver a condição que define a ona alcular as coordenadas dos 6 pontos screver uma equação do plano screver uma condição que defina a recta Indicar o ponto Indicar as coordenadas do ponto esenhar a secção.. 9 alcular a área da secção Indicar que 8 faces são triângulos equiláteros.. 4 Indicar que 6 faces são octógonos irregulares... 4 ier que o poliedro é irregular e justificar alcular a medida da aresta que é lado do triângulo 5 alcular a medida da aresta que é lado do octógono Professora: Rosa anelas 7 no Lectivo 009/010

8 ecompor o polígono alcular a área do quadrilátero alcular a área do triângulo ou do trapéio... 4 alcular a área do octógono esenhar a recta de equação =. esenhar a recta de equação =. Identificar as coordenadas dos vértices.. Identificar os comprimentos dos catetos..... screver a equação ( a + ) ( a + ) = 3 3 Resolver a equação. ar a resposta justificando as duas soluções.. 3 Total 00 Professora: Rosa anelas 8 no Lectivo 009/010