Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I. TPC nº 3

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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 0º Ano de Matemática A TEMA GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I TPC nº 3. Na figura 3 estão representadas duas circunferências: uma de centro O, de que [AD] e [FE] são dois diâmetros perpendiculares; outra de que [BC] e [FO] são dois diâmetros, também perpendiculares... Calcule a área do pentágono [ABCDE], supondo que AO =.. Designe AO por r. Mostre que a área do pentágono [ABCDE] é dada por 7 r Admita agora que AO = 4. Mostre que a área da região tracejada é igual a 3( π ).. Na figura 4 está representado o cubo [ABCDEFGH]. Cada um dos pontos I, J, K, L, M e N é ponto médio de uma aresta. O volume do cubo é 8... Considere o trajecto mais curto de I a J que passa pela aresta [EF]. Determine o comprimento desse trajecto. Sugestão: comece por desenhar uma planificação do cubo, na qual esse trajecto possa ser representado por um segmento de recta... Seja P o ponto do trajecto referido na alínea anterior que pertence a [EF]. Determine a distância do ponto P a cada um dos extremos dessa aresta..3. Na figura 5 está desenhada, em tamanho reduzido, uma planificação do cubo. Represente, neste desenho, a região do cubo que está sombreada..4. Determine a altura da pirâmide [FLMN], relativa à base Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 0/03

2 [LMN]. Sugestão: comece por determinar o volume da pirâmide, tomando para base uma das faces sombreadas..5. Considere a secção produzida no cubo pelo plano IJK..5.. Desenhe essa secção, utilizando a figura Determine o seu perímetro Determine a sua área 3. O triângulo [ABC], representado na figura 9, é um triângulo equilátero. Os pontos M e N são os pontos médios dos lados a que pertencem. Numa rotação de 360º em torno de CN, o triângulo [ACN] gera um cone de volume V. Determine, em função de V, o volume do sólido gerado, na mesma rotação, pelo triângulo [AMN]. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 0/03

3 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 0º Ano de Matemática A TEMA GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I TPC nº 3 Proposta de resolução. Na figura 3 estão representadas duas circunferências: uma de centro O, de que [AD] e [FE] são dois diâmetros perpendiculares; outra de que [BC] e [FO] são dois diâmetros, também perpendiculares... Calculemos a área do pentágono [ABCDE], supondo que AO =. A área do pentágono [ABCDE] é igual á soma das áreas do triângulo [AED] e do trapézio [ABCD] 4 Área do triângulo [AED]= =4 4 + Área do trapézio ABCD = = 3 [ ] Área do pentágono [ABCDE]=4+3=7.. Designemos AO por r. Mostremos que a área do pentágono [ABCDE] é dada por 7 r 4. A área do pentágono [ABCDE] é igual á soma das áreas do triângulo [AED] e do trapézio [ABCD] r r Área do triângulo [AED]= =r r + r r 3 Área do trapézio ABCD = = r 4 [ ] 3 7 Área do pentágono [ABCDE]=r + r = r Admita agora que AO 4 Professora: Rosa Canelas 3 Ano Letivo 0/03 =. Mostremos que a área da região tracejada é igual a 3( ) π. A área tracejada vai ser igual à área de um quarto do círculo de raio 4 menos um quarto do círculo de raio menos metade da área do trapézio [ABCD] π 4 área de um quarto do círculo de raio 4 = 4 π área de um quarto do círculo de raio = 4 = 4π = π metade da área do trapézio [ABCD] = = 6

4 área tracejada = 4π ( π + 6) = 4π π 6 = 3π 6 = 3( π ). Na figura 4 está representado o cubo [ABCDEFGH]. Cada um dos pontos I, J, K, L, M e N é ponto médio de uma aresta. O volume do cubo é 8 e daqui concluímos que a aresta do cubo é 3 a = 8 =.. Consideremos o trajecto mais curto de I a J que passa pela aresta [EF]. Comecemos por desenhar uma planificação adequada (com a face da frente colada à face de cima) J Desenhamos o trajecto e vamos calcular o E P F comprimento desse trajecto. O triângulo [AJI] é rectângulo com AJ = 3 e A I B AI = pelo Teorema de Pitágoras 3 IJ = 3 + IJ = 0 IJ = 0.. Seja P o ponto do trajecto referido na alínea anterior que pertence a [EF]. Determinemos a distância do ponto P a cada um dos extremos dessa aresta ( PE e PF ). O triângulo [AJI] é semelhante ao triângulo [JEP] por terem os 3 ângulos respectivamente iguais pelo que AJ JE 3 EP AI = EP = EP = 3 e então 5 PF = = Na figura 5 está desenhada, em tamanho G N F reduzido, uma planificação do cubo. M Representámos, neste desenho, a região do E M F N G cubo que está sombreada. L A B C D Figura 5 Professora: Rosa Canelas 4 Ano Letivo 0/03

5 .4. Determine a altura da pirâmide [FLMN], relativa à base [LMN]. Volume da pirâmide (tomando para base uma das faces sombreadas.) = = 3 6 E M A base [LMN] é um triângulo equilátero de lado L ML ML = + = e altura 3 6 h = h = e por A B isso com área A = A = A = A = 4 4 Podemos agora determinar a altura da pirâmide [FLMN], relativa à base [LMN] que vamos representar por x. = 3 x x = x = Considere a secção produzida no cubo pelo plano IJK..5.. Desenhámos essa secção, utilizando a figura 6. J K.5.. Determinemos o seu perímetro. O lado do hexágono mede porque é a hipotenusa de um triângulo rectângulo isósceles de catetos a medirem. O perímetro é P = 6 por o hexágono ser regular, os seus vértices são os pontos médios das arestas a que pertencem Determinemos a sua área O apótema do hexágono é a altura de um triângulo equilátero com lado I figura 6 pelo que mede 3 6 ap = ap = A área será A = A = A = A = O triângulo [ABC], representado na figura 9, é um triângulo equilátero. Os pontos M e N são os pontos médios dos lados a que pertencem. Numa rotação de 360º em torno de CN, o triângulo [ACN] gera um cone de volume V. Professora: Rosa Canelas 5 Ano Letivo 0/03

6 Determinemos, em função de V, o volume do sólido gerado, na mesma rotação, pelo triângulo [AMN]. Podemos considerar: V = AN CN 3 π Além do sólido gerado pelo triângulo [AMN] o cone gerado pelo triângulo [ABC] contém também um cone gerado pelo triângulo [CMO] e outro igual a este gerado pelo triângulo [MNO]. Ora sabemos que MO = AN e que CO = CN O volume do cone gerado pelo triângulo [CMO] é então v = π AN CN v = π AN CN v = V O 3 O volume do sólido gerado pelo triângulo [AMN] =V- V = V 8 4 Professora: Rosa Canelas 6 Ano Letivo 0/03

7 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 0º Ano de Matemática A TEMA GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I TPC nº 3 Critérios de classificação Calcular a área do triângulo [AED]... Calcular a área do trapézio [ABCD]... Concluir o valor da área do pentágono [ABCDE] Calcular a área do triângulo [AED]... 4 Calcular a área do trapézio [ABCD]... 4 Concluir o valor da área do pentágono [ABCDE] Definir uma estratégia para calcular a área tracejada... 3 Calcular a área de um quarto do círculo de raio Calcular a área de um quarto do círculo de raio... 3 Calcular metade da área do trapézio [ABCD]... 3 Calcular a área tracejada Desenhar uma planificação com o percurso... 5 Calcular o comprimento do percurso Reconhecer a semelhança dos triângulos [AIJ] e [JEP]... Calcular PE... Calcular PF Calcular o volume da pirâmide... 3 Calcular a área da base [LMN]... 6 Determinar a altura da pirâmide relativa à base [LMN] Desenhar a secção Calcular o perímetro do hexágono Calcular a área do hexágono Professora: Rosa Canelas 7 Ano Letivo 0/03

8 Identificar o sólido obtido pela rotação de [AMN].... Explicar a estratégia para calcular o volume do sólido obtido... Calcular o volume V.... Calcular o volume v do cone gerado por [CMO].. Escrever v em função de V... 3 Concluir que o volume do sólido gerado por [AMN] é 3 V TOTAL Professora: Rosa Canelas 8 Ano Letivo 0/03