Relações Trigonométricas nos Triângulos

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1 Relações Trigonométricas nos Triângulos Introdução - Triângulos Um triângulo é uma figura geométric a plana, constituída por três lados e três ângulos internos. Esses ângulos, tradicionalmente, são medidos numa unidade de medida, denominada grau e, cada um deles tem medida entre 0 e 180. Figura 1 Classificação dos triângulos quanto aos lados Equilátero: 3 lados de mesmo comprimento Figura 2 Isósceles: 2 lados de mesmo comprimento Figura 3 26

2 Escaleno: 3 lados de comprimentos diferentes Figura 4 Classificação dos triângulos quanto aos ângulos internos Acutângulo: 3 ângulos agudos (menores que 90º) Figura 5 Obtusângulo: 1 ângulo obtuso (maior que 90º) Figura 6 27

3 Retângulo: 1 ângulo reto (90º) Figura 7 Observação: Utilize o aplicativo Classificações dos Triângulos e aprenda ainda mais, de forma interativa!!! Especificidades dos triângulos A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é SEMPRE igual a 180. Figura 8 Aplicativo Soma dos ângulos. Utilize o aplicativo mostrado na figura 8 e aprenda ainda mais! Triângulos Retângulos Num triângulo retângulo definimos as chamadas razões trigonométricas que são relações entre os lados do triângulo e que têm a propriedade de determinar a medida dos ângulos do triângulo, uma vez que seus lados sejam conhecidos. Um triângulo é dito retângulo quando um de seus ângulos é reto, isto é, tem medida igual a 90. Os outros dois ângulos, evidentemente, são agudos. Conforme pode ser observado na Figura 9. 28

4 Ângulo reto (90 ) Figura 9 Os lados dos triângulos retângulos possuem nomes específicos, conforme se pode observar na Figura 10. Figura 10 Para facilitar as relações entre os lados, adoraremos uma variável para cada um deles, conforme a Figura 11. Atribuindo uma variável para cada lado, tem-se: Figura 11 A partir das variáveis, estabeleceremos algumas relações entre os lados e os ângulos do triângulo retângulo. Teorema de Pitágoras: A hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos. 29

5 a 2 = b 2 + c 2 Figura 12 Relação Seno Seno de β é a razão entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo β e o comprimento da hipotenusa do triângulo. sen β = cateto oposto a β hipotenusa sen β = b a Figura 13 Relação Cosseno Cosseno de β é a razão entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo β e o comprimento da hipotenusa do triângulo. cos β = cateto adjacente a β hipotenusa cos β = c a Figura 14 Relação Tangente Tangente de β é a razão entre os comprimentos do cateto oposto e do cateto adjacente ao ângulo β. 30

6 tg β = cateto oposto cateto adjacente tg β = b c O ângulo β pode assumir diversos valores, porém, existem alguns desses valores, em graus, que são conhecidos como ângulos notáveis. Na tabela abaixo podemos observar os valores dos senos, cossenos e tangentes desses ângulos Sen 0 1 Cos 1 0 Tg 0 1 Não Existe Identidade Trigonométrica Obtendo uma identidade a partir do teorema de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2 dividindo por a 2 a 2 = b 2 + c 2 a 2 b a 2 + c a 2 = Analisando o triângulo mostrado na figura 16 e a equação encontrada anteriormente, tem-se: sen 2 β + cos 2 β = Figura 16 31

7 RELAÇÕES PARA TRIÂNGULOS QUAISQUER As relações trigonométricas estudadas até agora foram utilizadas em triângulos retângulos. Vamos conhecer outras relações que valem para quaisquer triângulos. Lei dos Senos Em qualquer triângulo, as medidas de seus lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. a sen β = b sen α = c sen γ Figura 17 Lei dos Cossenos Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado. a 2 = b 2 + c 2. b. c. cos β b 2 = a 2 + c 2. a. c. cos α c 2 = a 2 + b 2. a. b. cos γ Figura 18 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BONJORNO, J. R.; BONJORNO, R. A.; OLIVARES, Ayrton. Matemática: Fazendo a diferença. São Paulo: FTD, DANTE, L. R. Matemática. Vol. Único. São Paulo: Ática,