FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano de escolaridade Versão 3

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Teste 11.º Ano de escolaridade Versão Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 11/1/017 Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato, na sua forma mais simples. Evite alterar a ordem das questões. Nota: O teste é constituído por duas partes Caderno 1: 0 minutos (é permitido o uso de calculadora) Caderno : 40 minutos (não é permitido o uso de calculadora) Ficha de avaliação da Matemática A 11.º Ano Página 1/7 Versão

2 Caderno 1: 0 minutos (é permitido o uso de calculadora) 1. Na figura do lado está representado, em referencial ortonormado Oxy, o arco de circunferência AB de centro na origem do referencial e raio. O ponto, do arco AB, desloca-se de A para B. O ponto E pertence ao segmento [OB], de tal modo que [E] é paralelo ao eixo Ox. O quadrilátero [BCE] é um retângulo. Seja a amplitude, em radianos, do ângulo AO. () 1.1. As coordenadas do ponto E são (A) Sendo x, y 0, sen (B) cos, (C) 0, cos () 0, sen, como a circunferência tem raio, temos: x y cos x cos e s en y sen Portanto, cos, sen e 0 E, sen OPÇÃO (1) 1.. Mostre que a área do retângulo [BCE], em função de, é dada por: 4 4 A cos cos sen Temos Área BCE E EB, Sendo B 0,, cos, sen e 0 E, sen, temos E x x cos e EB y y sen Assim, A cos sen E B = 4cos 4cos sen c.q.m. (1) 1.. Resolva, em, a equação A 0. 0 A 4cos 4cos sen 0 cos sen E cos 0 1 sen 0 cos 0 sen 1 k k, k k 4k, k k, k pois as soluções de 4k, k também são soluções de k, k Ficha de avaliação da Matemática A 11.º Ano Página /7 Versão

3 . Sabe-se que, é uma solução da equação sen x. ().1. Relativamente ao ângulo, diga, justificando, qual das afirmações seguintes é verdadeira. (A) cos e tan (B) cos 1 sen (C) cos 1 sen () cos sen Como.º Q (seno positivo), o seu cosseno é negativo. Portanto, cos sen OPÇÃO (1).. No retângulo da figura do lado, M é o ponto de interseção das diagonais, AB 4 cm e M C tal que sen Mostre que AC. Como as diagonais do retângulo se bissetam, temos AC AM a Pela lei dos cossenos, temos 4 Cálculo de cos M : Sabemos sen senam B a a a acos M 1 a a cos M sen M cos M 1 cos M cos M cos M Portanto, 1 a a cos M 1 1 a a 4 80 a a Logo, a e AC a, AM B a a a é obtuso. (1).. Calcule AB AM e AC B, apresentando todos os cálculos ou raciocínios efetuados. Temos, AB AM AB AM ' 4 8, sendo M' a projeção ortogonal de M sobre a reta AB. AC B = AC B cos Outro processo: AC B = = = = AB BC BA A = AB BCAB BC = AB AB AB BC BC AB BC BC 4 = AB 0 0 BC = BC AB = = c.a AB BC AC BC 4 BC BC Ficha de avaliação da Matemática A 11.º Ano Página /7 Versão

4 . Na figura seguinte está representado um triângulo [ABC], sendo M o ponto médio de [AB]. ().1. O lugar geométrico dos pontos P do plano que satisfazem a condição AB CP 0 é: (A) A mediatriz do segmento de reta [AB]. (B) A circunferência de diâmetro [AB]. (C) A reta que passa em C e é perpendicular a [AB]. () A reta tangente à circunferência de diâmetro [AB] no ponto C. Sabemos que AB CP 0 AB CP. Portanto, P representa a reta que passa no ponto C e é perpendicular a [AB] OPÇÃO C (1).. Se AC CM, mostre que AC MC AC cos Temos AC MC CACM CA CM. = CACM cos CACAcos CA cos c.q.m. (10).. Sendo AB, BC e º, determine um valor aproximado à décima do grau da amplitude do ângulo ACB. sen º sen Pela lei dos senos temos sen 1 0, , 17...º Portanto, AC B 84, º 4. Acerca de dois vetores u e v, sabe-se que, (1) 4.1. etermine u v Sabemos que u v Portanto, u v Como u v = u e v. uv uv = uv = v cosu, v vem sen º sen sen 0, u, u v e u, v. v cos v v v v (10) 4.. Calcule u vu v Temos u vu v = uu u v vu v v = u v = = = Ficha de avaliação da Matemática A 11.º Ano Página 4/7 Versão

5 () 4.. Qual das afirmações seguintes é falsa? (A) (C) u u v u v u v (B) u v u v u u () u v u v u vu v 0 os vetores u v e u v formam um ângulo agudo OPÇÃO Caderno : 40 minutos (não é permitido o uso de calculadora). No referencial ortogonal e monométrico Oxy da figura do lado estão representadas duas retas, r e s, que se intersetam no ponto B 0,, tais que: a reta r contém o ponto A 1, a reta s é perpendicular à reta r (1).1. Justifique que r, é um vetor diretor de reta r e determine a inclinação da reta. Como r passa nos pontos A e B, um vetor diretor de r é: 1 0 r BA A B,,, Assim, de r, obtemos mr. Sendo a inclinação da reta, com 0º 180º, temos tan m tan 1 Portanto, tan 0º (ou ). (10).. etermine a equação reduzida da reta s. Como s r sabemos que m m 1 s r Portanto ms 1 m s Assim, a equação de s é da forma y x b Como B 0, s temos: Logo a equação de s é y x 0 b b Outro processo: Usar os vetores e recorrer ao produto escalar, sendo Px, y um ponto genérico da reta s. Ficha de avaliação da Matemática A 11.º Ano Página /7 Versão

6 ().. Seja C a, a um ponto do plano. Qual é o conjunto dos valores de a para os quais o ângulo dos vetores BA e BC é obtuso? (A), 1 (B), 1 (C) 1, () 10, Para que o ângulo de BA e BC seja obtuso o produto escalar destes vetores tem de ser negativo. Temos BA, e BC C B a, a, 0a, a Assim, BABC 0, a, a 0 a a 0 OPÇÃO B. Na figura seguinte está representado um cubo [ABCEFGH] de aresta a. a a 1 ().1. O produto escalar de BA por AC, é (A) a (B) a (C) a () a BAAC AB AC ABAC' ABAB aa a OPÇÃO A (1).. Recorrendo a propriedades do produto escalar, prove que F BG. Mostrar que F BG equivale a mostrar que F BG 0 Temos F BG C CB BF BF FG = C FG BF BF FG = C BF C FG FG BF FG FG BF BF BF FG = FG BF 0 = a a 0 c. q. m. (1).. Sabendo que os pontos A e C têm coordenadas A 1,, e C 1, 0, produto escalar, determine a equação geral da superfície esférica de diâmetro [AC]., recorrendo ao A superfície esférica de diâmetro [AC] é o lugar geométrico dos pontos Px, y,z que satisfazem a condição AP CP, ou seja, AP CP 0 Assim, AP P A x, y,z 1,, x 1, y,z CP P C x, y,z,, x, y,z Portanto, AP CP 0 x,y,z x,y,z x x y y z z x y y z z z 1 0 x y z y z 7 0 A equação da superfície esférica é x y z y z 7 0 (ou outra equivalente) Ficha de avaliação da Matemática A 11.º Ano Página /7 Versão

7 () 7. O valor de (A) 7 7 arccos cos é (B) (C) () 7 Temos, cos cos cos x arccos x cos x 0 x x x OPÇÃO B 7 Portanto, arccos cos Ficha de avaliação da Matemática A 11.º Ano Página 7/7 Versão