FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 4

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 4 Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato. f x x 8x 16x. 1. Considere a função f, polinomial do quinto grau, definida por 5 3 (15) 1.1. Calcule o quociente e o resto da divisão de f x por x 1. O que pode concluir? Podemos usar: Algoritmo da divisão, o Método do C. Indeterminados ou a Regra de Ruffini Como o divisor é do 1.º grau, a Regra de Ruffini é o processo mais simples = Resto -1 não é zero de f 4 3 Assim, q x x x 7x 7x 9 e Resto f 1 9 Como R 0, podemos concluir que 1 não é zero de f, isto é, f não é divisível por x 1. (15) 1.. Prove que é um zero duplo (ou de multiplicidade ) de f. é um zero duplo de f x aparece exatamente vezes na decomposição de f f é duas vezes divisível por x O processo mais rápido e mais prático é a Regra de Ruffini = Resto é zero de f = Resto é zero duplo de f = Resto não é zero triplo de f Portanto, é um zero duplo de f, pois é divisível duas vezes por x. Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 1/6 Versão 4

2 (15) 1.3. Partindo dos resultados obtidos nas questões anteriores, decomponha f em fatores do menor grau possível. Para decompor f precisamos de conhecer todos os seus zeros. Da questão anterior sabemos que f x x x x 3 4x 4x x x x 4x 4 Vejamos se x 4x 4 tem zeros x 4x 4 0 x - também é zero duplo de f. pondo x em evidência 4 0 x x x Portanto, a decomposição de f é f x x x x x x x x (10) 1.4. Estude, analiticamente, f quanto à paridade. f é par f x f x, x Df f x x 8 x 16 x x 8 x 16x x 8x 16x f x f x, portanto f não é par f é ímpar f x f x, x Df f x x 8x 16x x 8x 16x f x f x, logo f é ímpar. A figura do lado mostra uma representação gráfica de uma função f, polinomial do quarto grau, onde estão assinalados os pontos de interseção com os eixos coordenados. (15).1. Determine o conjunto solução da condição x f x 1 0. Para resolver esta inequação recorremos a uma tabela de sinais, para estudar o sinal de cada fator e o sinal do produto. O sinal de Zeros de f 1 x : 1 x 0 x 1 1 x é conhecido através do gráfico dado. x x 1 x 1 x x f x x f x Portanto, S 3, 1 1 Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página /6 Versão 4

3 (15).. Escreva a expressão algébrica de f na forma de um polinómio fatorizado. Como 3, 1 e 1 são os três zeros de f, sendo 1 um zero duplo, a expressão algébrica da função é do tipo f x a x 3 x 1 x 1, sendo a o coeficiente do monómio de maior grau. Sabemos também que o gráfico de f cruza Oy no ponto de ordenada, isto é, Ora, f 0 3 a Portanto, f x 1 x 3 x 1 x 1 x 1 x 3 x 1 f 0 3. a a 1 (10).3. Diga, justificando, para que valor(es) de k a equação f x k tem seis soluções. (A) 04 O gráfico de, (B) 0 (C) 4 (D) 04, f x obtém-se do gráfico de f mantendo os pontos de ordenada não negativa e transformando os de ordenada negativa nos seus simétricos em relação a Ox. Assim, o gráfico de f x passa a ter apenas imagens não negativas, tal como sugere a representação do lado. Portanto, para a equação f x k ter exatamente seis soluções k só pode tomar valores compreendidos entre 0 a 4 (opção D). (10).4. Os gráficos seguintes foram obtidos a partir de transformações do gráfico de f. Diga, justificando, qual dos gráficos representa a função g definida por g x f x. Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 3/6 Versão 4

4 O gráfico de g x f x obtém-se do gráfico de f efetuando uma compressão horizontal de fator (comprime para metade ), seguida de uma simetria de eixo Ox. Assim, só o gráfico D representa a função g. 3 Por exemplo, os zeros passam para metade (ficando, 0 e 1 ) e depois todas as imagens passam às suas simétricas, mantendo apenas os pontos de ordenada zero (que são os zeros). 3. No referencial ortonormado Oxyz, da figura seguinte, está representado um cubo com 4 centímetros de aresta, cujo centro da face [ABCD] coincide com a origem do referencial. I e J são os pontos médios das arestas [DA] e [AB], respetivamente, e K é o ponto da face [EFGH] que pertence ao eixo Oz. (10) 3.1. Escreva uma equação vetorial da reta DF. Uma equação vetorial de DF é da forma P D k DF,k. D,, 0 F 4,, Temos, e Portanto DF F D,, 4,, 0 4, 4, 4 Assim, uma equação de DF é x,y,z,, k,,,k. (10) 3.. Diga, justificando, qual das condições seguintes representa a aresta AD. (A) x y (B) x y (C) x z 0 (D) x z 0 y A aresta AD está no plano xoy, cuja equação é z 0. Também está no plano que contém a face [AEHD], cuja equação é x. A interseção destes dois planos origina a reta AD, cuja condição é x z 0. Contudo, a aresta AD é a parte desta reta (paralela a Oy) cuja ordenada varia de - até. Portanto, a aresta AD é definida pela condição (D) x z 0 y Processo mais rápido: Usar as coordenadas dos extremos D,, 0 e 0 Assim, vemos que x z 0 y A,,. (15) 3.3. Determine a equação da superfície esférica circunscrita ao cubo e tangente a todos os seus vértices. A superfície esférica tem centro no centro do cubo, que corresponde ao ponto L 0, 0,. Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 4/6 Versão 4

5 Assim, o seu raio é r LA Portanto, a equação da superfície esférica é x y z 1 Ou seja, (0) 3.4. Indique, justificando, o valor lógico das afirmações seguintes: (A) x 0 y 0 z 1 A secção produzida no cubo pelo plano AFH é um triângulo isósceles. Falsa, a secção produzida é o triângulo equilátero AFH, pois todos os lados são diagonais faciais (logo iguais). (B) AG DF Verdadeira, pois AG AG DF porque as diagonais espaciais do cubo são iguais. (C) Os vetores AB e DE são colineares. Falsa, pois as retas suporte destes vetores não são paralelas (nem complanares). (D) AB CG EH AG Verdadeira, pois AB CG EH AB BF FG AG 4. Uma fábrica, produz caixas de cartão sem tampa a partir de folhas retangulares com 40 por 50 centímetros. O fabrico processa-se através de corte, dobragem e colagem, conforme sugerem as figuras seguintes. (10) 4.1. Determine as três dimensões da caixa (comprimento, largura e altura), e o respetivo volume, para x 4. A altura h da caixa corresponde ao valor de x, portanto h 4 cm. O comprimento c é 50 menos quatro vezes o valor de x, portanto c cm. A largura l é 40 menos duas vezes o valor de x, portanto l cm. Assim, o volume V da caixa, para 4 x, é V 4 c l h cm 3. Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 5/6 Versão 4

6 (0) 4.. Depois de exprimir as dimensões da caixa em função de x, mostre que o seu volume é 3 dado por V x 8x 60x 000x problema., e determine o domínio da função V no contexto do Temos: altura h x; comprimento c 50 4x; largura l 40 x Assim, o volume V é dado, em função de x por Isto é, V x x x x x 000x 100x 160x 8x 3 3 8x 60x 000x c.q.m. V x x x x O domínio de V no contexto do problema corresponde aos valores de x para os quais é possível construir a caixa. Ora, tal só é possível quando todas as suas dimensões são positivas, ou seja, c 0 l 0 h 0 Assim, 50 4x 0 40 x 0 x 0 4x 50 x 40 x 0 x 1, 5 x 0 x 0 0 x 1, 5 DV 0; 1, 5 Portanto, (10) 4.3. Recorrendo à calculadora, determine o valor de x para o qual o volume da caixa é máximo. Indique o volume máximo e as dimensões da caixa de maior volume assim obtida. Nota: Descreva todos os procedimentos efetuados e faça um esboço da parte do gráfico que tem interesse para o problema. Depois de introduzir a expressão algébrica de V, temos necessidade de ajustar a janela de visualização de modo a incluir o domínio indicado. Uma possível janela 1; 15 0; 5000 O gráfico obtido está representado ao lado. Para descobrir o valor máximo recorremos às opções da calculadora. Assim, pedindo o máximo obtemos x 5 e V Assim, a caixa de volume máximo (4500 cm 3 ) tem altura de 5 cm, comprimento de 30 cm e largura de 30 cm. Nota: O aluno apenas deve apresentar o esboço do gráfico no domínio do contexto do problema, por exemplo, como apresentado ao lado. BOM TRABALHO! Prof. José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 6/6 Versão 4