FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano Versão 4

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ano Versão Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato.. Sabe-se que,0 é uma solução da equação cos x. (0).. Indique, justificando, qual das expressões seguintes representa uma solução da equação sen x (A) (B) cos x, sabemos que (C) (D) Como é uma solução da equação cos. Agora só temos de verificar qual das expressões dadas é equivalente a cos. (A) sen cos Falsa sen (B) (C) sen sen Falsa sen sen Falsa sen cos cos (D) Verdadeira (0).. Escreva a expressão geral das soluções da equação Efetue os arredondamentos para casas decimais. cos x, em radianos. Para descobrir um ângulo com cosseno recorremos à função inversa do cosseno (calculadora). x cos, (c.d.) é o menor ângulo (positivo) que é solução da equação (ver figura do lado). Portanto, a expressão de todas as soluções da equação cos x é x, k, k Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /6 Versão

2 (0).. Indique, justificando, a afirmação verdadeira para todo o número real. (A) sen cos (B) sen cos (C) cos sen (D) sen sen Simplifiquemos cada uma das expressões (até obter a verdadeira): Nota: (B) e (D) nunca seriam verdadeiras porque o sinal entre as parcelas não está ao quadrado. (A) sen cos sen sen sen sen sen Falsa sen cos sen cos sen cos Falsa (B) (C) cos sen cos sen cos sen Verdadeira sen sen sen cos sen cos Falsa (D). Na figura seguinte está representado o círculo trigonométrico no qual foi inscrito o triângulo [ABC]. O ponto B desloca-se sobre a circunferência, apenas no primeiro quadrante. O ponto A é o simétrico do ponto B em relação ao eixo Ox. O ponto C pertence ao círculo trigonométrico e ao semieixo negativo Ox. ().. Sendo a amplitude, em radianos, do ângulo DOB, mostre que a área do triângulo [ABC] é A sen cos. dada, em função de, por A A área do triângulo é dada por ABh Como Bcos,sen e Acos, sen, sendo h a altura em relação à base [AB]., temos AB y y sen sen sen. Sendo Ecos,0 o pé da altura (em AB) temos Portanto, sen cos A sen cos c.q.m. ().. Sabendo que cos B A h CE x x cos cos., determine a área do triângulo. A sen cos, para calcular a área do triângulo temos de conhecer cos e sen. Como Efetuando a redução de cos, obtemos cos, ou seja, cos Para descobrir o seno recorremos à fórmula fundamental da trigonometria Como cos sen, vem, sen Como.º Q, temos sen = Assim, A sen cos 7 E C 7 sen sen sen 9 6 unidades de área Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /6 Versão

3 ().. Existem dois valores de para os quais o triângulo [ABC] ocupa exatamente um terço da área do círculo. Recorra à calculadora para determinar os valores de (em radianos, com aproximação às centésimas) para os quais isso acontece. Na sua resposta deve apresentar todos os elementos usados, nomeadamente: - equacionar o problema; - reproduzir, num referencial adequado, o gráfico da função ou os gráficos visualizados, devidamente identificados; - coordenadas dos pontos cuja determinação for necessária à resolução do problema. Pretendemos descobrir os valores de para os quais A Área círculo Sabemos que A círculo. Portanto, temos de resolver a equação sen cos Recorrendo à calculadora, introduzidos as funções Ax sen x cos x e y (reta horizontal), reproduzidas no referencial do lado. As soluções pretendidas são as abcissas dos pontos onde os dois gráficos se intersetam, no domínio do problema, isto é, entre 0 e, pois é um ângulo do primeiro quadrante. Nota: No contexto do problema só tem interesse o domínio 0,, no qual a área varia entre 0 e, 0. Assim, uma janela adequada ao problema é, por exemplo 0, 0;,. Os gráficos reproduzidos ao lado mostram que as duas funções se intersetam nos pontos, ;, 0. Portanto, os valores pedidos para são 0,6 e, radianos. 0, 6;, 0 e Outro processo: Transformar a equação sen cos em sen cos 0 e recorrer à calculadora para obter as soluções da equação que estão no.º quadrante. ().. Mostre que CA CB cos cos. Há vários processos para resolver este exercício. Apresento a seguir aquele que julgo ser o mais simples. Como temos as coordenadas dos três pontos, podemos recorrer à expressão analítica do produto escalar. CA A C cos, sen, 0 cos, sen Temos CB B C cos,sen, 0 cos,sen Portanto CACB cos, sen cos,sen = cos sen = cos cos sen = cos cos cos pois cos sen cos sen = cos cos c.q.m. ou substituir o por cos sen Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /6 Versão

4 (0). Sendo u e v dois vetores não nulos, diga, justificando adequadamente, se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas. (A) u v u u v v u v = u v u v, pois x x x = u u u v vu v v, aplicando a propriedade distributiva = u u v v Portanto a afirmação é VERDADEIRA (B) Se os vetores u e v têm sentidos opostos então uv 0. Pela definição de produto escalar temos u v= u v cos u,v. Se os vetores u e v têm sentidos opostos sabemos que cos u,v cos 80º Assim, u v = u v = u v 0, pois u 0 e v 0. Portanto, a afirmação é VERDADEIRA.. No referencial ortogonal e monométrico da figura seguinte estão representadas duas retas, AB e BC, que se cruzam no ponto B: - BC interseta os eixos coordenados nos pontos B e C e tem equação x y 0; - AB é perpendicular a BC. ().. Justifique que r, é um vetor diretor de reta BC e determine a inclinação de BC, com aproximação às décimas do grau. Descubramos a equação reduzida de BC: x y 0 y x y x v Como m BC v, sabemos que um vetor diretor de BC é r,. mbc sabemos que v,m, é um vetor diretor de BC. Assim, qualquer vetor colinear com v, tem a direção de BC, em particular Ou Sendo Sendo a inclinação da reta, com 0º 80º, temos tan. Assim, v, r tan 6, º, 69º Nota: temos de somar 80º pois a inclinação é positiva Portanto, a reta BC tem inclinação de,7º (c.d.). Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /6 Versão

5 ().. Determine a equação reduzida da reta AB. Duas retas são perpendiculares se os seus vetores diretores são perpendiculares ou se o produto dos seus declives é -. Como AB BC sabemos que m m Temos BC AB BC m, portanto m m AB AB Assim, a equação de AB é da forma y x b Para descobrir a ordenada na origem (b), precisamos de conhecer as coordenadas de um ponto da reta. Podemos descobrir as coordenadas de B através da equação da reta BC. Tomando y 0 (ordenada de B) na equação x y 0, obtemos x 0 0 x Portanto, B, é comum às duas retas. 0 8 Agora, substituindo na equação de AB temos: 0 b b 8 Assim, a equação de AB é y x 9 Outro processo: Usar vetores e recorrer ao produto escalar. ().. Determine a amplitude do ângulo, com aproximação às décimas do grau, que a reta BC forma com a bissetriz dos quadrantes pares. Sendo BC e v dois vetores diretores das retas, o ângulo formado pelas duas retas descobre-se pela BCv relação cos. BC v A bissetriz dos quadrantes ímpares tem equação y Portanto, um vetor diretor de y x é v, Já sabemos que BC, Temos: BC v,, Assim, cos, feito em.. BC 9 v 6 Portanto, 6 x. cos, As retas formam um ângulo de,º(c.d.) de amplitude. 9. Na figura seguinte está representado um octaedro regular [ABCDEF] de aresta a. O ponto O é o centro do octaedro. ().. Recorrendo às propriedades do produto escalar, mostre que DC FA OA. Sugestão: Comece por escrever os DC e FA como uma soma de dois vetores perpendiculares (e com a mesma norma). Como estamos num octaedro regular, o centro O está à mesma distância de todos os vértices. Assim, seguindo a sugestão, podemos escrever: DC DO OC e FA FO OA. Portanto, DC FA = DO OC FO OA = DO FO DO OA OC FO OC OA = OC OA pois DO FO, DO OA e OC FO = OC OA cos 80º pois OC e OA são vetores simétricos = OA OA = OA pois OA CO Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /6 Versão

6 ().. Sendo D, 0, e 0 0 E,,, escreva as equações cartesianas da reta DF. xx y y zz As equações cartesianas da reta são da forma v,v,v é um vetor diretor da reta., em v v v x, y,z é um ponto da reta e Determinemos um vetor diretor de DF: DE E D 0, 0,, 0,, 0, x0 y0 z Usando o ponto E 0, 0,, temos as equações: 0 Ora, como a segunda fração não tem significado, as equações cartesianas são x z x z ou y 0 ou x z y 0 x z y 0 y 0 ().. Escreva a expressão geral dos vetores perpendiculares à reta r de equação: y z x Sendo u a,b,c um vetor perpendicular a r, sabemos que ur 0 xx y y zz Descubramos r, escrevendo a equação da reta na forma x y z Portanto, r,, x y z x y z v v v x y z Temos, ur 0 a,b,c,, 0 a b c 0 Assim, qualquer vetor perpendicular a r é da forma u b c,b,c a b c, com b e c números reais. BOM TRABALHO! Prof. José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página 6/6 Versão