Tarefa intermédia nº 6

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1 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada Tarefa intermédia nº 6. A figura mostra a representação gráfica de uma função h e de uma recta tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa a... Indique o valor de h ( a)... Escreva a equação reduzida da recta t... Qual é o sinal da taxa média de variação da função h no intervalo [a,6].4. Se a taxa média de variação de uma função num intervalo [a,b] for negativa podemos concluir que a função é decrescente nesse intervalo? Justifique.. Lançou-se um foguete de fabrico artesanal. Devido a uma falha de fabrico, o foguete começa a perder altura, mas, em seguida, recupera e sobe de novo. A altura a (em metros) a que se encontra o foguete é dada, em função do tempo t decorrido (em segundos) após o = +. lançamento, por: a( t) t 9t 4t ( 0 t 7).. Por processos analíticos, utilizando derivadas, determine o instante em que o foguete começa a perder altura... Determine o instante em que o foguete atinge 0 m de altura. Isso acontece antes ou depois de ter perdido altura?.. Use a definição de derivada de uma função num ponto para calcular a velocidade 5 segundos após o lançamento..4. Calcule a velocidade ao fim de 7 segundos..5. Descreva o movimento do foguete referindo: o início e o fim do movimento do foguete, os instantes em que começa a descer e inicia ou reinicia a subida, as alturas atingidas. a velocidade e a sua variação.. Defina a função derivada das funções seguintes:.. f ( x) = 5 x g x = 4.. ( ).. h( t) = t 0,5t + 7 r x = x + x + 65x +.4. ( ) Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 00/0

2 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada Tarefa intermédia nº 6 Proposta de resolução A figura mostra a representação gráfica de uma função h e de uma recta tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa a... Indiquemos o valor de h ( a) que é o declive da recta tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa a h ( a) = h ( a) = 6.. A equação reduzida da recta t é origem. y x = por a recta ter declive igual a h ( a) e passar na.. O sinal da taxa média de variação da função h no intervalo [a,6] é negativo por ser ( ) < h( a) h 6.4. Se a taxa média de variação de uma função num intervalo [a,b] for negativa não podemos concluir que a função é decrescente nesse intervalo. Por exemplo na alínea anterior dissemos que a taxa média de variação da função h no intervalo [a,6] é negativa e no entanto nesse intervalo h primeiro aumenta e só depois decresce pelo que não é decrescente no intervalo [a,6].. Lançou-se um foguete de fabrico artesanal. Devido a uma falha de fabrico, o foguete começa a perder altura, mas, em seguida, recupera e sobe de novo. A altura a (em metros) a que se encontra o foguete é dada, em função do tempo t decorrido (em segundos) após o lançamento, por: a( t) t 9t 4t ( 0 t 7) = +... Por processos analíticos, utilizando derivadas, determinemos o instante em que o foguete começa a perder altura. Calculemos a ( t) = t 8t + 4 Calculemos os zeros de a ( t) = t 8t ± ± 6 ( ) a t = 0 t 8t + 4 = 0 t = t = t = 4 t = 6 6 Estudemos o sinal de a ( t) = t 8t + 4 e pela análise do quadro de variação da derivada e da função t a'(t) a(t) ր M ց m ր Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 00/0

3 concluímos que o foguete começa a perder altura ao fim de segundos... Determinemos o instante em que o foguete atinge 0 m de altura, resolvendo a equação a( t) = 0 t 9t + 4t 0 = 0 Para resolvermos a equação vamos tentar encontrar pelo menos uma raiz, utilizando a calculadora: Como não encontramos raízes inteiras vamos resolver a equação graficamente: Concluímos da observação do gráfico que o foguete atinge 0 m de altura 5,7 segundos depois de ser lançado e isso acontece depois de ter perdido altura... Usemos a definição de derivada de uma função num ponto para calcular a velocidade 5 segundos após o lançamento. ( ) ( ) t 9t + 4t 0 ( )( ) a t a 5 t 5 t a ( 5) = lim = lim = lim = lim( t ) = 9m / s t 5 t 5 t 5 t 5 t 5 t 5 t 5 Porque a( 5) = = 0 e ( )( ) ( )( ) t 9t + 4t 0 = t 5 t 4t + 4 = t 5 t A velocidade do foguete, 5 segundos depois de ser lançado, é 9 m/s..4. Calculemos a velocidade ao fim de 7 segundos, calculando: a ( t) = t 8t + 4 a ( 7) = = 45m / s.5. Descrevamos o movimento do foguete: O foguete é lançado com uma velocidade inicial de 4 m/s e a velocidade vai diminuindo até zero quando o foguete atinge a altura de 0 m e inicia a descida ao fim de segundos, com a velocidade negativa dado que o foguete desce até a um altura de 6 metros onde ao fim de 4 segundos a velocidade é novamente zero e passa a positiva aumentando quando o foguete reinicia a subida até aos 70 m onde chega ao fim de 7 segundos com uma velocidade 45 m/s.. Definamos a função derivada das funções seguintes: Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 00/0

4 f x = 0.. f ( x) = 5 ( ) x g x 4.. ( ) = g ( x).. h( t) = t 0,5t + 7 ( ) = 4 h t = 4t 0,5 r x = x + 64x r ( x) = x + x + 65x + ( ) Professora: Rosa Canelas 4 Ano Lectivo 00/0

5 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada Tarefa intermédia nº 6 Critérios de classificação. 5.. h ( a) = 5.. y = x Resposta 5 Justificação a ( t) = t 8t + 4 Zeros da derivada Estudo do sinal da derivada 4 Resposta.. 0 a( t) = 0 Resolução da equação 6 Resposta.. 0 = ( ) ( ) ( ) a t a 5 a 5 lim t 5 t 5 cálculo 6 resposta Resposta 5 m Professora: Rosa Canelas 5 Ano Lectivo 00/0

6 Velocidade inicial 5 Altura máxima 5 Altura mínima 5 Altura final 5 Velocidade final Total 00 Professora: Rosa Canelas 6 Ano Lectivo 00/0