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1 Derivadas ( e )

2 Recta Tangente Seja C uma curva de equação y = f(x). Para determinar a recta tangente a C no ponto P de coordenadas (a,f(a)), i.e, P(a, f(a)), começamos por considerar um ponto Q(x, f(x)), com x a e calculamos a inclinação da recta secante PQ: f(x) f(a) m PQ = x a Depois, aproximamos o ponto Q do ponto P, fazendo x tender para a. Se m PQ tender para um número m, então definimos a recta tangente t como a recta que passa por P e tem inclinação m.

3 A recta tangente a uma curva y = f(x) no ponto P(a,f(a)) é a recta que passa por P e tem inclinação m = lim x a f(x) f(a) x a f(a + h) f(a) ( ou m = lim ) h 0 h desde que esse limite exista.

4 Velocidade Suponha um objecto a mover-se sobre uma linha recta de acordo com a equação y = s(t), onde s é o deslocamento do objecto a partir da origem. A função s que descreve o movimento é chamada função posição do objecto. No intervalo de tempo entre t = a e t = a + h, a variação na posição será de s(a + h) s(a)

5 A velocidade média nesse intervalo é velocidade média = deslocamento tempo = s(a + h) s(a) h que é igual à inclinação da recta secante PQ.

6 Suponha que a velocidade média é calculada em intervalos cada vez menores [a,a + h], isto é, fazemos h tender para 0. Definimos velocidade (ou velocidade instantânea), v(a), no instante t = a como o limite dessas velocidades médias: v(a) = lim h 0 s(a + h) s(a) h Assim, a velocidade no instante t = a é igual à inclinação da recta tangente a y = s(t) em P(a,s(a)).

7 Taxa de variação (Recordemos...) Suponha que y é uma quantidade que depende de outra quantidade x. Assim, y é uma função de x e escrevemos y = f(x). Se x variar de a para a + h, então a variação de x é x = (a + h) a = h e a variação correspondente de y é y = f(a + h) f(a) O quociente y f(a + h) f(a) = x h designa-se por taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [a,a + h].

8 Consideremos as taxas médias de variação em intervalos cada vez menores (fazendo h tender para 0, logo x tende para 0). O limite das taxas médias de variação é designado por taxa (instantânea) de variação de y em relação a x em x = a. se este limite existir. y lim x 0 x = lim f(a + h) f(a) h 0 h

9 Assim, a velocidade de uma partícula é a taxa de variação do deslocamento em relação ao tempo. Seja R = R(x) a função de receita total para um produto. Definimos receita marginal para um produto como a taxa de variação instantânea de R em relação a x. Assim, Se a função receita total para um produto for dada por y = R(x), onde x é o número de unidades vendidas, então, a receita marginal para a unidades é dada por desde que esse limite exista. R(a + h) R(a) lim h 0 h

10 Derivadas O limite da forma f(a + h) f(a) lim h 0 h surge sempre que calculamos uma taxa de variação em várias áreas de estudo. Uma vez que este tipo de limite surge amplamente, são dados a ele um nome e uma notação especiais. Definição A derivada de uma função f num ponto a, denotada por f (a), é se o limite existir. f (a) = lim h 0 f(a + h) f(a) h

11 Algumas notações alternativas para a derivada da função y = f(x): Por exemplo, sendo f (x), y, dy dx, df dx y = f(x) = sinx então a derivada pode ser designada por f (x) = cos x, y = cos x, Iremos utilizar mais a notação f (x). dy dx = cos x, df dx = cos x

12 Assim, A recta tangente a uma curva y = f(x) no ponto P(a,f(a)) é a recta que passa por P e tem inclinação m = f (a). (É a recta de equação: y f(a) = f (a)(x a) ) Se y = s(t) for a função posição de um objecto, então a velocidade do objecto no instante t = a, v(a), é s (a). A taxa de variação (instantânea) de y = f(x) em relação a x quando x = a é f (a). Se a função receita total para um produto for dada por y = R(x), onde x é o número de unidades vendidas, então, a receita marginal para a unidades é R (a).

13 Em aulas anteriores já determinámos a derivada de algumas funções. Por exemplo, vimos que a derivada da função f(x) = e x é f (x) = e x, a derivada de g(x) = lnx é g (x) = 1 x, a derivada de h(x) = sinx é h (x) = cos x e a derivada de m(x) = cos x é m (x) = sinx.

14 Fazendo uma análise ao gráfico da função constante f(x) = c observamos que o gráfico é a recta horizontal y = c, cuja inclinação é 0, logo devemos ter f (x) = 0. Por definição podemos constatar que tal se verifica: f f(x + h) f(x) (x) = lim h 0 h c c = lim h 0 h 0 = lim h 0 h = 0

15 Derivada de uma função constante Se f(x) = c, para c uma constante, então f (x) = 0. Exemplos Se f(x) = 5 então f (x) = 0. Se f(x) = 1 3 então f (x) = 0.

16 Iremos apresentar a derivada de várias funções sem fazer a respectiva demonstração. Regra da potência Se n for um número real qualquer, então para f(x) = x n vem f (x) = nx n 1. Exemplos Se f(x) = x então f (x) = 1x 0 = 1 Se f(x) = x 2 então f (x) = 2x 1 = 2x Se f(x) = x 3 então f (x) = 3x 2 Se f(x) = x 1 3 então f (x) = 1 3 x( 1 3 1) = 1 3 x 2 3 Se f(x) = 1 x 2 então f(x) = x 2 logo f (x) = 2x ( 2 1) = 2x 3

17 Função exponencial f(x) = e x Se f(x) = e x então f (x) = e x. Função exponencial f(x) = a x, com a > 0 e a 1 Se f(x) = a x então f (x) = a x lna. Exemplos Se f(x) = 2 x então f (x) = 2 x ln2 Se f(x) = ( 2 3 )x então f (x) = ( 2 3 )x ln 2 3

18 Função logaritmo neperiano f(x) = ln x Se f(x) = lnx então f (x) = 1 x. Função logaritmo de base a f(x) = log a x, com a > 0 e a 1 Se f(x) = log a x então f (x) = 1 xln a. Exemplos Se f(x) = log 3 x então f (x) = 1 x ln3 Se f(x) = log 1 x então f (x) = 1 4 xln 1 4

19 Função seno Se f(x) = sinx então f (x) = cos x. Função cosseno Se f(x) = cos x então f (x) = sinx. Quando uma função é formada a partir de outras funções (das quais sabemos a sua derivada) por adição, multiplicação ou divisão, a sua derivada pode ser calculada em termos das derivadas dessas funções, pelas regras que se seguem.

20 Constante c a multiplicar por uma função g Se f(x) = cg(x) então f (x) = cg (x). Exemplos Se f(x) = 3x então f (x) = (3x) = 3(x) = 3 1 = 3 Se f(x) = 2sinx então f (x) = (2sin x) = 2(sinx) = 2cos x Se f(x) = 4x 3 então f (x) = (4x 3 ) = 4(x 3 ) = 4(3x 2 ) = 12x 2

21 Soma de funções Se f(x) = g(x) + h(x) então f (x) = g (x) + h (x), i.e, Exemplos [g(x) + h(x)] = g (x) + h (x) a derivada da soma é igual à soma das derivadas Se f(x) = x 2 + lnx e g(x) = 2x 4 + cos x e x então f (x) = (x 2 + lnx) = (x 2 ) + (ln x) = 2x + 1 x g (x) = (2x 4 + cos x e x ) = (2x 4 ) + (cos x) + ( e x ) = 2(x 4 ) sinx + ( 1)(e x ) = 2(4x 3 ) sinx + ( 1)e x = 8x 3 sinx e x

22 Multiplicação de funções Se f(x) = g(x)h(x) então f (x) = g (x)h(x) + g(x)h (x), i.e, Exemplo [g(x)h(x)] = g (x)h(x) + g(x)h (x) a derivada do produto é igual à derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda Se f(x) = x 3 sinx então f (x) = (x 3 sinx) = (x 3 ) sinx + x 3 (sinx) = 3x 2 sinx + x 3 cos x

23 Quociente de funções Se f(x) = g(x) h(x) então f (x) = g (x)h(x) g(x)h (x) [h 2, i.e, (x)] [ g(x) ] = g (x)h(x) g(x)h (x) h(x) [h 2 (x)] a derivada do quociente é igual à derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo a dividir pelo quadrado do denominador

24 [ g(x) ] = g (x)h(x) g(x)h (x) h(x) [h 2 (x)] Exemplo Se f(x) = cos x [ 2x então cos x ] f (x) = 2x = (cos x) (2x) (cos x)(2x) [2x] 2 ( sinx)(2x) (cos x)(2) = 4x 2xsinx 2cos 2 x = 4x 2 2(xsinx + cos x) = 4x 2 (xsinx + cos x) = 2x 2

25 Composição de funções Se f(x) = g(x) h(x) então f (x) = g (h(x)).h (x), i.e, Exemplos Se f(x) = sin(3x 5 ) então ] u = 3x 5 vem cos(3x 5 ) f (x) = [sin(3x 5 )] = [cos(3x 5 )].(3x 5 ) = [cos(3x 5 )].[3(x 5 ) ] = [cos(3x 5 )].[3(5x 4 )] = [cos(3x 5 )].(15x 4 ) = 15x 4 cos(3x 5 ) [g(x) h(x)] = g (h(x)).h (x) [ (sin(u)) = d du sin(u) = cos u, fazendo

26 Tabela de Derivadas f = f(x), g = g(x) funções, c =constante e α =uma constante não nula (c) = 0 (e f ) = f e f (x) = 1 (a f ) = f a f lna, a > 0,a 1 (cf) = cf (lnf) = f f (f + g) = f + g (log a f) = f f ln a, a > 0,a 1 (fg) = f.g + f.g ( f g ) = f.g f.g g 2 (sinf) = f cos f (cos f) = f sinf (f α ) = αf f α 1

27 Exercícios 1 Determine uma equação da recta tangente à parábola y = x nos pontos indicados. (a) (0,1) (b) ( 1,2) (c) Faça um esboço da parábola y = x e das rectas obtidas nas aĺıneas anteriores. 2 Um projéctil é lançado verticalmente do solo com uma velocidade inicial de 112 metros por segundo. Após t segundos, a sua distância ao solo é de 112t 4,9t 2 metros. Determine: (a) a velocidade do projéctil para t = 2. (b) o instante em que o projéctil atinge o solo. (c) a velocidade em que o projéctil atinge o solo.

28 Monotonia de uma função Se uma função f f(x) tiver derivada num intervalo (a,b) e se cada recta tangente à curva nesse intervalo tiver declive positivo, então a curva está a subir no intervalo e a função é crescente. Mas, o declive da recta tangente a f em x é dado pela derivada de f em x, f (x), logo, se f (x) > 0 num intervalo, então f(x) é crescente nesse intervalo. Se uma função f f(x) tiver derivada num intervalo (a,b) e se cada recta tangente à curva nesse intervalo tiver declive negativo, então a curva está a descer no intervalo e a função é decrescente. Mas, o declive da recta tangente a f em x é dado pela derivada de f em x, f (x), logo, se f (x) < 0 num intervalo, então f(x) é decrescente nesse intervalo.

29 Extremos de uma função Máximo Uma função f f(x) tem um máximo local (ou máximo relativo) em c se f(c) f(x) quando x estiver nas proximidades de c. Exemplo A função f(x) = x 2 tem um máximo local em 0 pois f(0) f(x) para valores de x próximos de c

30 Mínimo Uma função f f(x) tem um mínimo local (ou mínimo relativo) em c se f(c) f(x) quando x estiver nas proximidades de c. Exemplo A função f(x) = x 2 tem um mínimo local em 0 pois f(0) f(x) para valores de x próximos de c

31 Os valores máximos e mínimos locais de uma função f são chamados extremos locais. A derivada f (x) pode mudar de sinal somente nos valores de x onde f (x) = 0 ou f (x) não está definida. Ponto crítico Um valor crítico de uma função f é um número c no domínio de f onde f (c) = 0 ou f (c) não existe. O ponto correspondente ao valor crítico c designa-se por ponto crítico. Se f tiver um máximo ou um mínimo local em c então f (c) = 0 ou f (c) não está definida, isto é, c é um valor crítico.

32 Exemplo Esta função tem dois máximos locais, um em x = a e outro em x = c. Em x = a a derivada é zero e em x = c a derivada não existe. Esta função tem um mínimo local em x = b e f (b) = 0.

33 Como determinar máximos e mínimos locais de uma função f 1 Calcular f (x). 2 Determinar os valores críticos de f, isto é, determinar os x tais que f (x) = 0 ou f (x) não existe. 3 Calcular f (x) em alguns valores de x à esquerda e à direita de cada valor crítico (fazendo um quadro de sinais). (a) se f (x) > 0 à esquerda e f (x) < 0 à direita do valor crítico, então f tem um máximo local nesse valor crítico. (b) se f (x) < 0 à esquerda e f (x) > 0 à direita do valor crítico, então f tem um mínimo local nesse valor crítico.

34 Exemplo Determinar os máximos e mínimos locais de f(x) = 1 3 x3 x 2 3x Calculemos f (x). f (x) = x 2 2x 3 2 Determinemos os valores críticos de f. Como f (x) existe para todo o x em R, basta determinar os x tais que f (x) = 0. f (x) = 0 x = 2 ± 4 2 x 2 2x 3 = 0 x = 2 ± x = 2 ± 16 2 Os valores críticos de f são x = 1 e x = 3. x = 2 2 x = 6 2 x = 1 x = 3

35 Exemplo (cont.) 3 Calculemos f (x) em alguns valores de x à esquerda e à direita de cada valor crítico (fazendo um quadro de sinais). f ( 2) = 5 > 0 f (0) = 3 < 0 f (4) = 5 > f f ր Máx ց min ր Como f (x) > 0 à esquerda e f (x) < 0 à direita do valor crítico x = 1, então f tem um máximo local em x = 1. Como f (x) < 0 à esquerda e f (x) > 0 à direita do valor crítico x = 3, então f tem um mínimo local em x = 3.

36 Exemplo (cont.) Pela análise gráfica podemos confirmar a localização do máximo e do mínimo.

37 Se a primeira derivada de f for zero no valor crítico c mas não mudar de positiva para negativa ou de negativa para positiva conforme x passa por c, então f não tem nem máximo nem mínimo local em c. Exemplo Os valores críticos da função f(x) = 1 4 x4 2 3 x3 2x 2 + 8x + 4 são x = 2 e x = 2. A função f tem mínimo local em x = 2 e não tem nem máximo nem mínimo em x = 2.

38 Aplicação: Rectângulo de área máxima Suponhamos o seguinte problema. Pretende-se determinar as medidas dos lados de um rectângulo, de perímetro igual a 100 metros, de modo ao rectângulo ter área máxima. Designemos os comprimentos dos lados do rectângulo por x e y

39 A área é dada por A = xy e o perímetro por P = 2x + 2y Observemos que podemos ter rectângulos distintos com o mesmo perímetro e áreas distintas. Por exemplo: para x = 10 e y = 40 vem P = 100 e A = 400 para x = 20 e y = 30 vem P = 100 e A = 600 O que se pretende aqui, é determinar os valores de x e de y para se ter P = 100 e obter o valor máximo para A.

40 Vamos escrever a função área como uma função de uma só variável. Como o perímetro é 100 metros, temos 2x + 2y = 100 x + y = 50 y = 50 x Substituindo y por 50 x em A = xy obtemos A = x(50 x) que é uma função na (única) variável x.

41 Determinemos o(s) máximo(s) da função área A(x) = x(50 x) = x x Comecemos por determinar a sua derivada. A (x) = 2x + 50 Determinemos os valores críticos de A. Como A (x) existe para todo o x em R, basta determinar os x tais que A (x) = 0. A (x) = 0 2x + 50 = 0 x = 25 O (único) valor crítico de A é x = 25.

42 Calculemos A (x) em valores de x à esquerda e à direita de x = 25 (fazendo um quadro de sinais). A (24) = 2 > 0 A (26) = 2 < 0 25 A + 0 A ր Máx ց Como A (x) > 0 à esquerda e A (x) < 0 à direita do valor crítico x = 25, então A tem um máximo local em x = 25. Uma vez que y = 50 x, vem y = = 25.

43 Concluímos que os quatro lados têm o mesmo comprimento e a área máxima é atingida se o rectângulo for um quadrado. O valor máximo da área rectangular que é possível conter dentro do perímetro 100 metros será A = = 625m 2

44 Aplicação: Rectângulo de perímetro mínimo Suponhamos agora o seguinte problema. Pretende-se determinar as medidas dos lados de um rectângulo, de área igual a 100 m 2, de modo ao rectângulo ter perímetro mínimo. Designemos os comprimentos dos lados do rectângulo por x e y

45 A área é dada por A = xy e o perímetro por P = 2x + 2y Observemos que podemos ter rectângulos distintos com a mesma área e perímetros distintos. Por exemplo: para x = 2 e y = 50 vem A = 100 e P = 104 para x = 5 e y = 20 vem A = 100 e P = 50 O que se pretende aqui, é determinar os valores de x e de y para se ter A = 100 e obter o valor mínimo para P.

46 Vamos escrever a função perímetro como uma função de uma só variável. Como a área é 100 metros, temos xy = 100 y = 100 x (É claro que x 0, caso contrário a área seria nula. É também óbvio que 0 < x 100 e 0 < y 100) Substituindo y por 100 x em P = 2x + 2y obtemos P = 2x x que é uma função na (única) variável x. = 2x x

47 Determinemos o(s) mínimo(s) da função perímetro P(x) = 2x x Comecemos por determinar a sua derivada. P (x) = (2x+200x 1 ) = 2+200( 1)x ( 1 1) = 2 200x 2 = x 2 Determinemos os valores críticos de P. Como P (x) existe para todo o x em causa (0 < x 100), basta determinar os x tais que P (x) = 0. P (x) = x 2 = 0 2x2 200 x 2 = 0 Assim 2x = 0, logo x 2 = 100, e portanto x = 10. Mas x = 10 não faz sentido (uma vez que x representa um comprimento). Assim, o único candidato a valor mínimo de P, que nos interessa, é x = 10.

48 Calculemos P (x) em valores de x à esquerda e à direita de x = 10 (fazendo um quadro de sinais). P (9) = < 0 P (11) = > 0 10 P 0 + P ց mín ր Como P (x) < 0 à esquerda e P (x) > 0 à direita do valor crítico x = 10, então P tem um mínimo local em x = 10. Uma vez que y = x, vem y = 10 = 10.

49 Concluímos que os quatro lados têm o mesmo comprimento e o perímetro mínimo é atingido se o rectângulo for um quadrado. O valor mínimo do perímetro rectangular que é possível delimitar uma área de 100 metros quadrados será P = = 40m

50 Exercício A receita semanal de um filme lançado recentemente é dada por R(t) = 50t t , t 0 onde R está em milhões de euros e t em semanas. 1 Determine os extremos locais. 2 Durante quantas semanas a receita semanal aumentará?

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