Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo.

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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. Trabalho de casa nº Um cilindro como o da figura tem 10 cm de altura. Qual deve ser o raio da base para que o volume seja igual ao de uma esfera com o mesmo raio?. Pretende-se construir uma caixa, como a da figura, a partir de uma folha de cartolina com 10 cm de comprimento por 60 cm de largura. Para tal é necessário cortar dois quadrados em dois cantos da folha, de acordo com o molde da figura. a. Qual é a expressão que define o volume da caixa em função do lado x dos quadrados cortados? b. Qual deve ser o lado dos quadrados cortados de modo que a caixa tenha cm 3 de volume? Nesse caso, com que dimensões fica a caixa? 3. Na figura está representado, num referencial o.n. xoy, o gráfico da função f, de domínio [ 0,3 ], definida por f ( x) 4 ( x 1) =. A cada ponto Q pertencente ao gráfico da função f, com abcissa diferente de zero e diferente de três, correspondem um ponto P, no eixo Ox, e um ponto R, no eixo Oy, tais que [OPQR] é um rectângulo. a. Determine as coordenadas do ponto Q para o qual o rectângulo [OPQR] é um quadrado. b. Seja OP = b. Mostre que a área A do rectângulo [OPQR] pode ser dada, em função de b, 3 por A ( b) = b + b + 3b ( b ] 0,3[ ) c. Determine as coordenadas do ponto Q a que corresponde o rectângulo de maior área. Use a calculadora gráfica e apresente as coordenadas arredondadas às centésimas. Professora: Rosa Canelas 1 Ano Lectivo 009/010

2 Nota: sempre que arredondar um valor intermédio, conserve, no mínimo, quatro casas decimais. d. O número irracional ouro ou número da divina proporção. Seja D o ponto do gráfico da função f cuja abcissa é φ é usualmente representado por φ e tem o nome de número de Sejam B e C os pontos do gráfico de f que pertencem aos eixos coordenados. Mostre que o triângulo [BCD] é rectângulo. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 009/010

3 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. Trabalho de casa nº 14 Proposta de Resolução 1. Um cilindro como o da figura tem 10 cm de altura. Qual deverá ser o raio da base para que o volume seja igual ao de uma esfera com o mesmo raio? Teremos de exprimir o volume do cilindro e o da esfera em função do raio R: volume do cilindro = π R volume da esfera = π R. 3 E agora vamos igualar os dois volumes: π R = πr 30R = 4R 4R + 30R = 0 3 ( ) R 4R + 30 = 0 R = 0 4R = 30 R = 0 R = 7,5 O raio da base deve então ser 7,5 cm para que o cilindro e a esfera tenham o mesmo volume.. A nossa caixa vai ter tampa e observando a planificação verificamos que o valor de x que representa o lado dos quadrados que vamos cortar só pode tomar valores no intervalo [0,30] por o lado menor da folha medir 60 cm. a. Observando a planificação podemos concluir quais as dimensões da caixa. A altura é x, a largura é 60 x e o comprimento é 10 3x. Então a expressão que dá o volume em 10 3x =. função de x é V x ( 60 x) b. Para calcular o valor x do lado do quadrado cortado de modo que o volume seja cm 3 vamos resolver a equação ( ) usando a calculadora: 10 3x x 60 x = Vamos fazê-lo graficamente Professora: Rosa Canelas 3 Ano Lectivo 009/010

4 O problema tem duas soluções. Com aproximação às centésimas a primeira solução é 6,3 cm e as dimensões da caixa serão: 6,3 cm; 47,54 cm e 50,66 cm, a segunda solução é 17,6 cm e as dimensões da caixa serão: 17,6 cm; 5,48 cm e 34,11cm. 3. Na figura está representado, num referencial o.n. xoy, o gráfico da função f, de domínio [ 0,3 ], definida por f ( x) 4 ( x 1) =. A cada ponto Q pertencente ao gráfico da função f, com abcissa diferente de zero e diferente de três, correspondem um ponto P, no eixo Ox, e um ponto R, no eixo Oy, tais que [OPQR] é um rectângulo. a. Se [OPQR] é um quadrado então OP = OQ. Por isso, ( ) ( ) ( ) OQ = OP f x = x 4 x 1 = x 4 x x + 1 = x ( ) ( ) 1± x + x 1= x x + x + 3 = 0 x = x = x = x = x = Como x > 0 temos que o comprimento do lado do quadrado mede x = As coordenadas do ponto Q são Q, b. Como OP = b Então a área A do rectângulo [OPQR] pode ser dada, em função de b, por ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A b = b f(b) = b 4 b 1 = b 4 b b + 1 = b 4 b + b 1 3 ( ) ( ] [) = b b + b + 3 = b + b + 3b b 0,3 c. Pretendemos e determinar as coordenadas do ponto Q a que corresponde o rectângulo de maior área e para tal vamos usar a calculadora gráfica. Professora: Rosa Canelas 4 Ano Lectivo 009/010

5 A área é máxima quando x 1,8685. Como ( ) ( ) f 1,8685 = 4 1, , 5 O ponto Q a que corresponde o rectângulo de maior área tem coordenadas Q( 1,87;3,5 ). Estas coordenadas podem obter-se na calculadora se desenharmos logo as duas funções como mostram as figuras acima. d. O número irracional ouro ou número da divina proporção. é usualmente representado por φ e tem o nome de número de Seja D o ponto do gráfico da função f cuja abcissa é φ. Vamos determinar as coordenadas de D f = 4 1 = 4 = = = = Logo D, Sejam B e C os pontos do gráfico de f que pertencem aos eixos coordenados. Como f ( 0) = 4 ( 0 1) = 3 então B( 0,3 ) e f ( 3) = 4 ( 3 1) = 0 então C( 3,0 ) Pretendemos mostrar que o triângulo é rectângulo, por isso vamos mostrar que os comprimentos dos lados do triângulo verificam o Teorema de Pitágoras Vamos começar por determinar o comprimento dos lados do triângulo DB = = = + = = CD = = = + = = ( ) ( ) CB = = 18 O triângulo [BCD] é rectângulo porque verifica o Teorema de Pitágoras: DB + CD = CB = = Professora: Rosa Canelas 5 Ano Lectivo 009/010

6 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. Trabalho de casa nº 14 Critérios de correcção Escrever o volume do cilindro em função do raio.. Escrever o volume da esfera em função do raio Escrever a equação Resolver a equação 8 Dar a resposta a Exprimir as dimensões da caixa em função de x... 5 Exprimir o volume em função de x 10 b Escrever a equação 5 Resolver a equação graficamente 5 Calcular as dimensões da caixa a Identificar as coordenadas de Q em função da abcissa de P. Escrever a equação f ( x) = x Resolver a equação 8 Escolher a solução. Escrever as coordenadas de Q 1 b Escrever as dimensões do rectângulo em função de b Calcular a área do rectângulo em função de b.. 8 c Apresentar o gráfico de A 10 Calcular as coordenadas de Q.. 5 d Calcular as coordenadas de D 4 Calcular as coordenadas de B e de C Professora: Rosa Canelas 6 Ano Lectivo 009/010

7 Calcular DB 3 Calcular DC 3 Calcular BC Concluir que o triângulo é rectângulo. 1 Total 100 Professora: Rosa Canelas 7 Ano Lectivo 009/010

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