Teste de Matemática A 2016 / 2017

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1 Teste de Matemática A 2016 / 2017 Teste N.º 5 Matemática A Duração do Teste: 90 minutos 11.º Ano de Escolaridade Nome do aluno: N.º: Turma:

2 Grupo I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro alternativas de resposta, das quais só uma está correta. Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à alternativa que selecionar para responder a esse item. Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. zero pontos, o Não apresente cálculos nem justificações. 1. Na figura está representado um paralelogramo. Sabe-se que: 5 u.c. 3,2 u.c. 3,8 u.c. Seja α a amplitude do ângulo α 0, 90. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) sin90 α (B) cos180 α (C) sin180 α (D) cos90 α 2. De dois vetores e, sabe-se que: 3 u.c. 5 u.c. 1 Qual é o valor de? (A) 8 u.c. (B) 6 u.c. (C) 4 u.c. (D) 2 u.c. Expoente 11 Daniela Raposo e Luzia Gomes

3 3. Considere uma sucessão tal que: é uma progressão geométrica de razão positiva; 8 e 64. Qual é a soma dos 10 primeiros termos desta sucessão? (A) (B) (C) (D) Na figura está desenhada parte da representação gráfica de uma função racional, cujo domínio é \2. A reta de equação 2 é assíntota vertical ao gráfico de. Considere a sucessão de termo geral Qual dos seguintes é o valor de lim? (A) 2 (B) 0 (C) (D). Sej ja. 5. Na figura está representada parte dos gráficos de duas funções e, sendo uma função polinomial de grau 3 e uma função racional. O gráfico de interseta o eixo nos pontos de abcissas 0, 1 e 2. As retas de equações 1 e 0 são assíntotas ao gráfico de. Qual das seguintes afirmações é falsa? (A) lim (B) lim (C) lim (D) lim 0

4 Grupo II Nas respostas aos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: Quando para um exato. resultado não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor 1. Na figura encontra-se representada a circunferência trigonométrica e um triângulo. O ponto pertence à circunferência e o ponto é o ponto de interseção da circunferência com o semieixo positivoo. A reta é tangente à circunferência no ponto. Seja α a amplitude do ângulo α 0, Mostre que a área do triângulo é dada, em função de α, por α tan α Considere o ponto que se obtém para α 0, tal que cos α. Determin e uma equação reduzida da reta. 2. Considere, num eferencial o..n., os pontos 1,2,2, 2, 3, 1 e 1, 2, Determine os valores de tais que o vetor 1,, 1 é perpendicular ao vetor Mostre que os pontos, e definem um plano e escreva uma equação vetorial desse plano. 3. Considere a sucessão definida por 2 2, Recorrendo ao método de indução matemática, mostre que 2, Considere a sucessão de termo geral Prove que é uma progressão geométrica e indique a sua razão Estude a sucessão quanto à monotonia Seja. Determine lim.. Expoente 11 Daniela Raposo e Luzia Gomes

5 4. Seja a função de domínio \2 definida por: Determine, sabendo que a função é contínua em Considere agora 0. Estude a função quanto à existência de assíntotas horizontais ao seu gráfico Resolva, em \2, a inequação A equação 3 tem exatamente duas soluções no intervalo 0, 2. Utilizando a calculadora, determine-as graficamente. Apresente os valores arredondados às centésimas. Apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora. 5. Seja uma função, de domínio e contradomínio, tal que a reta de equação 32 é assíntota ao seu gráfico. Seja a função, de domínio, definida por. Mostre que a reta de equação é assíntota ao gráfico de. FIM

6 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa Cada resposta errada... 0 Cada questão não respondida ou anulada... 0 Grupo II TOTAL

7 TESTE N.º 5 Proposta de resolução Grupo I 1. Opção (B) Pela Lei dos Cossenos: 3,8 5 3,2 253,2cosα 2510,24 14,4432cosα Logo, cos 180 α cosα. cosα, cosα 2. Opção (B) Opção (A) % & %' 648& ( & ( 8 ) Como a razão desta progressão geométrica é positiva, então & 8 & ' 8 * 2+ 4 Então:, 4 '* +-. ' 4 ' ' 124 ' / / 124 / ' 124* Edições ASA 2017

8 4. Opção (D) lim3 4 lim 4' 4 lim ' Assim, lim 4 lim 7 9:3. 5. Opção (C) lim 7 /< >7 '< 9 lim 7? 0 e lim >7 '< 7 9 0, logo lim >7 /< 7 lim 7? >7 > 9 e lim 7 9 >7 lim 7 >7. lim >7 7 9 >? >7 0. >? pois g0a0, logo não existe Grupo II Seja F a projeção ortogonal de G sobre o eixo H3. HF IIIIcosα GF IIIIsinα GKLH M α tan*gklh+ PQ IIII QR IIII tan5m FK IIII STUV WXY5 Z [ 9\6 α6 STUV QR IIII ]^W5 Z [ 9\6 Assim: FK IIII STUVSTUV _`SV FK IIII STU[ V _`SV IIIIPQ G aprbc br d_`sv/wxy[\ ]^W\ estuv _`S[ V/STU [ V sinα _`SV _`SV sinα tanα Edições ASA 2017

9 1.2. sin α1 5 f 6 sin α1 % ( sin α g ( Como α i0, M j, tem-se que sinα g f Assim, G5 f, g f 6. k1,0 O declive da reta Gk é ' l m ' n m 7. A equação reduzida da reta Gk é do tipo p 73q. Como o ponto k pertence à reta Gk, vem que : 0 7q q 7 Logo, a equação reduzida da reta Gk é p GK 2, 3, 1 1,2, 21, 5,1 1, 5,1 r 1,r,1 r0 r 1 5r1 r GK 1, 5,1 r 6r0 rr 60 r0 r6 Gk 1, 2,3 1,2, 2 2, 4,5 Como t 'u t, os vetores GK e Gk não são colineares, ou seja, os pontos G, K e k não são ' 'f u colineares, pelo que definem um plano. GKk: 3,p,31,2, 2v1, 5,1w 2, 4,5,v,w x Seja yz: y1: 2 22 Logo, y1 é uma proposição verdadeira. Seja z tal que yz é uma proposição verdadeira. Hipótese: Tese: 4/ 2 4/ Demonstração: 4/ / Edições ASA 2017

10 Provámos que y1 é uma proposição verdadeira e que, para todo o z, se yz é uma proposição verdadeira, então yz1 é uma proposição verdadeira. Fica assim provado, usando o método de indução matemática, que 4 2 4, z ~ 5 64?- 5 [ n 6?- 5 64/'4, z 5 [ n 6 Como é uma constante, 4 é uma progressão geométrica de razão Como 4 é uma progressão geométrica de razão & e primeiro termo, isto é, 0E&E1 e A0, então 4 é uma sucessão decrescente , 4 ƒ 4 ' ' '5[ n 6 ' [ n lim, 4 limj i lim 7 9:3lim 7 95r 6r 2:0 7' lim 7?:3lim 7? 7[ 'u7/( 7' [ ( f Para que : seja contínua em 30, tem de se verificar lim 7 9:3lim 7?:3:0. Assim: r 2 rg lim 7 '< :3lim 7 '< 7' '< 0 A reta de equação p0 é assíntota horizontal ao gráfico de : quando 3. 7 lim 7 /< :3lim [ 'u7/( 7 /< lim 7[ 5' /) [6 7' [ 7 /< 7 [ 5' m /m[61 A reta de equação p1 é assíntota horizontal ao gráfico de : quando 3. Edições ASA 2017

11 4.3. Em x / \ˆ2 : :3A 0 7[ 'u7/( 7' [ A0 7'7' 7' [ A0 7' 7' A n.d. 0 + Logo, C.S. c0,2a c3, a As soluções da equação :333, no intervalo c0,2a, são 0,57 e 1, Como a reta de equação p33 2 é assíntota ao gráfico de :, tem-se que lim 7 /< 7 3 e lim 7 /< a:3 33c 2. Assim: lim 7 /< >7 7 lim 7 /< e: [ lim 7 /< 5@3 36lim 7 /<5 7[ lim /< lim 7 /< 36lim 7 /< 7 [ '7 lim 7 /< 7*7'+ lim 7 /<j 7 :3 33i d 2e Portanto, a reta de equação p 3 é assíntota ao gráfico % % Edições ASA 2017