Proposta de Exame Final de Matemática A 12.º ano

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1 Proposta de Eame Final de Matemática A.º ano Nome da Escola Ano letivo 0-0 Matemática A.º ano Nome do Aluno Turma N.º Data Professor GRUP I s cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta. Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionar para responder a esse item. Não apresente cálculos nem justificações. Se apresentar mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.. Considere uma turma do.º ano com 8 rapazes e raparigas. Nesta turma vão ser escolhidos rapazes e raparigas para desempenharem funções distintas. De quantas maneiras pode ser feita a escolha dos 5 alunos e a distribuição das respetivas funções? A A () 8 8 A A 5! (D) C C 8 8 C C 5!. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte: i 0 P( X i ) 6 6 Qual é o valor de P( X 0 X )? () 4 (D) 5 Página

2 Proposta de Eame Final de Matemática A.º ano. Na figura estão representadas graficamente uma função f, de domínio da função f., e, a tracejado, parte de uma reta r, assíntota do gráfico f r A reta r interseta o eio no ponto de abcissa e o eio no ponto de ordenada 4. eio também é uma assíntota do gráfico de f. Em qual das figuras seguintes pode estar a representação gráfica da função g, de domínio, definida por g f? -4 Figura () (D) Página

3 Proposta de Eame Final de Matemática A.º ano 4. Seja a um número real positivo diferente de. valor de log log a a é igual a: () 4 (D) 4 5. De uma função f, de domínio, sabe-se que: a função f, segunda derivada de f, também tem domínio ; f( ) 0, qualquer que seja ; (0) 0 0. f f Qual pode ser o valor de f? () 0 (D) 6. Qual das epressões seguintes é o termo geral de uma progressão geométrica decrescente? n a e n n () bn e log n cn (D) d n log n 7. Relativamente a, conjunto dos números compleos, indique qual das seguintes afirmações é verdadeira. () Se dois números compleos têm módulo igual a, então o módulo da sua soma é diferente de. Se é um argumento de um número compleo z, então é um argumento do número compleo z. i é o único número compleo cujo inverso é igual ao simétrico. (D) número compleo cis é o conjugado do número compleo cis. 6 6 Página

4 Proposta de Eame Final de Matemática A.º ano 8. Sabe-se que, no plano compleo, estão marcados dois pontos, A e, tais que o ponto A é a imagem de um determinado número compleo z e o ponto é a imagem do número compleo z. Na figura está uma representação geométrica do ponto A no plano compleo. A Figura Qual das figuras seguintes pode ser a representação geométrica do ponto no plano compleo? () (D) Página 4

5 Proposta de Eame Final de Matemática A.º ano GRUP II Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. A calculadora gráfica apenas pode se usada em eventuais cálculos numéricos. Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato.. Uma caia tem bolas brancas e bolas pretas, em igual número. Uma caia tem apenas bolas brancas. Uma caia está vazia. As bolas são indistinguíveis ao tato... Considere a eperiência que consiste em retirar, ao acaso, uma bola de cada uma das caias e, colocá-las na caia e, em seguida, retirar, também ao acaso, uma bola da caia. Sejam A e os acontecimentos: A: «A bola retirada da caia é branca.» : «A bola retirada da caia é branca.» Determine o valor da probabilidade condicionada P( A )... Admita agora que todas as bolas são colocadas num saco. Sabe-se que: Na etração, ao acaso, de uma bola do saco, a probabilidade de esta ser branca é 4 5. Na etração, simultânea e ao acaso, de duas bolas do saco, a probabilidade de serem ambas pretas é 55. Determine o número de bolas pretas que estão no saco. Página 5

6 Proposta de Eame Final de Matemática A.º ano. Seja S o espaço de resultados associado a uma certa eperiência aleatória. Sejam A e dois acontecimentos ( A Se S). Sabendo que os acontecimentos A e são independentes, prove que: P A P A P P A P A. A figura representa o esquema de um lago circular, de centro, com km de raio e diâmetro [A]. P A km Figura Ale pretende deslocar-se do ponto A para o ponto no menor tempo possível. Para tal pode usar um barco a remos desde o ponto A até um ponto P, na margem do lago, e, em seguida, deslocar-se caminhando a pé, ao longo da margem do lago, do ponto P até ao ponto. Sabe-se que o Ale consegue remar a uma velocidade de km/h e caminhar a uma velocidade de 6 km/h. Seja T o tempo, em horas, gasto pelo Ale para se deslocar de A até e a amplitude, em radianos do ângulo AP. 4cos... Mostre que T.. Estude a função T quanto à monotonia, no intervalo 0,, e conclua qual deve ser a estratégia do Ale para minimizar o tempo gasto na deslocação. Página 6

7 Proposta de Eame Final de Matemática A.º ano 4. Considere a função f, de domínio, definida por f k e se 0 ln se 0 (k é um número real) 4.. Sabe-se que a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa interseta o eio no ponto de ordenada 5. Determine o valor de k. 4.. Verifique se o gráfico da função f admite uma assíntota quando. 4.. Considere, num referencial, o gráfico da restrição da função f ao intervalo 0,. Recorrendo à calculadora gráfica determine as abcissas dos pontos do gráfico em que uma das coordenadas é o quadrado da outra. Na sua resposta deve equacionar o problema; reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções que visualizar na calculadora, devidamente identificado(s); indicar os valores pedidos com aproimação às milésimas. 5. Em, conjunto dos números compleos, considere z cis 0,. 5.. Na figura 4 está representado, no plano compleo, o paralelogramo [AC]. Sabe-se que: o ponto A é a imagem geométrica do número compleo z; o ponto C é a imagem geométrica do número compleo z ; o ponto é a imagem geométrica de um número compleo w. C A Mostre que w sin. Figura Eprima z na forma algébrica sabendo que i z é um número real negativo. Página 7

8 Proposta de Eame Final de Matemática A.º ano 6. Na figura 5 está representada, num referencial o. n. z, a pirâmide quadrangular regular [ACDE]. z C D E F Sabe-se que: o ponto F é o centro da base da pirâmide; os pontos A e E têm coordenadas,, e,, 4 ; o plano AC é definido pela equação z 0. A Figura Determine as coordenadas do ponto P pertencente ao eio tal que o triângulo [AP] é retângulo em A. 6.. Determine as coordenadas do ponto F. FIM Página 8

9 Proposta de Eame Final de Matemática A.º ano CTAÇÕES GRUP I.a 8. (8 5 pontos) 40 pontos GRUP II... 0 pontos.. 5 pontos. 0 pontos... 5 pontos.. 5 pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos 60 pontos Total 00 pontos Página 9

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