GRUPO I. controlo antidoping. De quantas maneiras pode ter sido feita essa escolha sendo o Cristiano Ronaldo e o Rúben Micael dois dos escolhidos?

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1 PREPRR EXME O NCIONL NCIONL PROV-MODELO GRUPO I Na resposta a cada um dos itens deste grupo, selecione a única opção correta. Escreva, na folha de respostas: o número do item; a letra que identifica a única opção escolhida. Não apresente cálculos, nem justificações. Duração: 150 min 1. No final de maio de 01 foram escolhidos 10 jogadores ao acaso, de entre os 3 da seleção nacional, para um controlo antidoping. De quantas maneiras pode ter sido feita essa escolha sendo o Cristiano Ronaldo e o Rúben Micael dois dos escolhidos? () (B) (C) (D) No triângulo de Pascal, considere: o número p 1, segundo elemento da linha 3; o número p, segundo elemento da linha 9; o número p 3, segundo elemento da linha 7; o número p n, segundo elemento da linha 3 n ; Sabe-se que p 1 + p + p p n = Qual é o valor de n? () 8 (B) 10 (C) 1 (D) Considere a função f, de domínio IR +, definida por f() = ln. No referencial da Figura 1 está parte do gráfico da função g, também de domínio IR +. g Tal como sugere a figura, g(e) = 1 e a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa e é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares. Qual é o valor de g f (e)? 1 O 1 e () 1 + ln e (B) + ln e Figura 1 (C) e 1 (D) e 1 304

2 4. Seja h uma função contínua no seu domínio IR. Sabe-se que: lim h() = 5 lim 0 h() = + lim 5 h() = 0 Em qual das opções seguintes as equações definem duas assíntotas do gráfico de h? () = 5 e = 0 (B) = 5 e = 5 (C) = 0 e = 5 (D) = 0 e = 5 5. De uma função quadrática f, sabe-se que: a concavidade do seu gráfico está voltada para cima; 0 e são zeros de f. Qual pode ser o valor de lim f ()? 0 sen () (B) (C) 0 (D) 6. Na Figura está representado o quadrado [BCD]. B D Figura C Qual é o valor de B BD? () B (B) B (C) BD (D) BD 7. Num referencial o.n Oz, os planos definidos pelas equações + 4z = 1 e m + z = m são coincidentes, sendo m um número real. Indique o valor de m. () 1 (B) 1 (C) 3 1 (D) Qual deve ser o valor do número real k de modo que o número compleo 3 i seja também real? k + 3i () 9 (B) 7 (C) 5 (D) 3 305

3 PREPRR O EXME NCIONL GRUPO II Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. tenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato. 1. Considere a Figura 3 no plano compleo. Sabe-se que: Im (z) o ponto é a imagem geométrica do número compleo z 1 = 3i ; o ponto B é a imagem geométrica do número compleo z = 1 + i ; m é a mediatriz do segmento [B] ; m s O B Re (z) s é a semirreta de equação rg (z) = θ, sendo θ o argumento de uma das soluções da equação z 3 + z 1 = 5i. Figura 3 Indique uma condição, em CI, para a zona colorida, incluindo as fronteiras.. No conjunto dos números compleos, CI, é dado um compleo z tal que a sua imagem geométrica está na reta de equação Im (z) = 3 e cujo argumento é. 3 Considere os seguintes números compleos: 6 cis 4 10 w 1 = 3 + 3i w = + 6 i w 3 = cis α 3 i, α 0, w 4 = penas um dos números compleos anteriores pode representar z. Sem usar a calculadora, elabore uma composição na qual: indique a opção correta; apresente as razões que o levam a rejeitar as restantes opções. presente três razões, uma por cada opção rejeitada. 3 cis Numa certa região, 4 em cada 5 habitantes foram vacinados contra a gripe. Sabe-se que a probabilidade de uma pessoa nessa região ficar infetada com a gripe é igual a 5% se for vacinada e é igual a 90% se não for vacinada. Suponha que se escolhe um qualquer habitante dessa região não infetado com a gripe. Qual é a probabilidade de ele ter sido vacinado? presente o valor em percentagem, arredondado às décimas. 3. Num grupo de controlo com n habitantes, apenas dois deles não estão infetados com a gripe. Vai ser escolhido, aleatoriamente, um desses n habitantes para uns testes. Seja X a variável aleatória «número de infetados». Sabendo que o valor médio de X é 1 0, calcule n

4 4. Considere a função definida por f() = + log ( + ). 4.1 Seja um ponto do gráfico de f de abcissa,4. reta tangente ao gráfico de f no ponto interseta a sua assíntota num certo ponto B. Recorrendo à sua calculadora, determine a ordenada desse ponto B. Na sua resposta, deve: reproduzir o gráfico da função f, devidamente identificado, incluindo o referencial; reproduzir a assíntota do gráfico de f ; reproduzir a reta tangente pedida, com os parâmetros arredondados às centésimas; assinalar os pontos e B e indicar a ordenada do ponto B com arredondamento às centésimas. 4. Para um certo valor de k, positivo mas log ( ) se k inferior a, é contínua em IR a função definida por: h() = f() se > k Resolva, recorrendo eclusivamente a métodos analíticos, os itens seguintes Determine o valor de k. 4.. Mostre que a equação h() = 3 tem pelo menos uma solução em ] 1, 6[. 5. Considere a função g, de domínio [0, ], definida por g() = sen + cos. O gráfico de g interseta a reta de equação = em alguns pontos. 4 Recorrendo eclusivamente a métodos analíticos, determine as suas abcissas. 6. Na Figura 4 estão representados: parte do gráfico da função f, de domínio IR, definida por f() = 4 e ; um triângulo retângulo [OPQ], em que: O é a origem do referencial; P é um ponto do gráfico de f ; P Q pertence ao eio das abcissas. Considere que o ponto P se desloca no primeiro quadrante (eios não O f incluídos), ao longo do gráfico de f. O ponto Q acompanha o movimento do ponto P, deslocando-se ao longo do eio das abcissas, de tal modo que o triângulo [OPQ] é sempre retângulo no ponto Q. Q Figura 4 Seja a função, de domínio IR +, que faz corresponder, à abcissa do ponto P, a área do triângulo [OPQ]. 6.1 Mostre que, para cada IR +, se tem () = e. 6. Sem usar a calculadora, estude a função quanto à monotonia e determine as coordenadas do ponto P quando a área do triângulo [OPQ] for máima. 7. Na Figura 5 está representada, num referencial o.n. O, a circunferência de centro C e equação = 0 e a reta t, tangente à circunferência no ponto, de coordenadas (4, 5). reta t interseta o eio O num ponto B. Sem usar a calculadora, determine a sua abcissa. O C t FIM Figura 5 307

5 PREPRR O EXME NCIONL Prova-modelo págs. 304 a 307 Grupo I (8 5 pontos = 40 pontos) 1. Se o C. Ronaldo e o R. Micael já lá estão, então restam 1 jogadores para 8 lugares: 1 C 8.. Os segundos elementos das linhas do triângulo de Pascal são 3, 9, 7, etc n = n = (soma de n termos de uma progressão geométrica de primeiro termo = 3 = razão) 3 (3n 1) = n 1 = n = 3 8 n = 8 f 3. g ' f (e)g(e) f(e)g (e) (e) = [g(e)] f(e) = 1 f'() = In (ln )' = g(e) = 1 = g'(e) D C B B D ln e f'(e) = e g f ' (e) = = e lim 0 h() = +, logo = 0 é a equação da.v. lim h() = 5, logo = 5 é a equação da.h. ( ) 0 5. lim = (ind.) 0 s fe n 0 Seja f() = a( ), a > 0 (pois a parábola tem a concavidade voltada para cima). ( ) lim = a lim lim ( ) = 0 s fe n 0 sen 0 = a 1 ( ) = n.º negativo (porque a > 0 ) 6. B BD = B BD cos 135º = = B B = B z = z = 1 3 i 8. k 3i = 6k 9i ki 3 k + 3i k 3i 4k + 9 Para ser um número real, tem-se 9 k = 0 k = 9 BD 135 B Grupo II (160 pontos) pontos Sabe-se que a condição é algo do género: z 3i z (1 + i) θ rg (z) sendo θ o argumento de uma das soluções da equação dada. z1 = 3i... 1 z 3 + z 1 = 5i z 3 = 8i z = 3 8 c is... z = cis + k, k {0, 1, }... 3 k = 0 cis k = 1 cis Concluir que θ = Condição pedida: z 3i z 1 i 5 rg (z) pontos Há quatro tópicos a eplicar: indicar a opção correta; B indicar uma razão para rejeitar w 1 ; C indicar uma razão para rejeitar w ; D indicar uma razão para rejeitar w 3. Eplicação correta dos quatro tópicos (ou B, C e D) Eplicação correta de três tópicos ( incluído)... 1 Eplicação correta de dois tópicos ( ecluído)... 9 Eplicação correta de dois tópicos ( incluído)... 6 Eplicação correta de um tópico ( ecluído)... 3 Eplicação correta do tópico... 1 penas w 4 pode representar o compleo z. O número w 1 não pode representar o compleo z porque o seu argumento é 3 4 e devia ser 3. O número w também não pode ser o compleo z porque a sua imagem geométrica está na reta de equação Im (z) = 6 (e devia estar em Im (z) = 3 ). Finalmente, também o número w 3 não pode ser o compleo z já que w 3 = cis (α + ) 3 i =3 cis α + + = 3 cis α + 3, ou seja, o seu argumento está no 4.º quadrante pontos Sejam os acontecimentos: V: «O habitante foi vacinado.» : «O habitante tem a gripe.» Habitante Vacinado (P(V) = 0,8) Não vacinado (P(V) = 0,) Tem gripe (P( V) = 0,05) Não tem gripe (P( V) = 0,95) Tem gripe (P( V) = 0,9) Não tem gripe (P( V) = 0,1)

6 RESOLUÇÕES E CRITÉRIOS DE CORREÇÃO DS PROVS-MODELO Identificar o pedido com P(V )... P(V ) P(V ) =... 1 P( ) P(V ) = 0,8 0,95 = 0,76... P()= P( V) + P(V)... = 0,8 0,05 + 0, 0, = 0,... 1 P() = 1 0, = 0,78... P(V ) 97,4% pontos P(X = 0) = n... 3 n P(X = 1) =... 3 n μ = 0 P(X = 0) + 1 P(X = 1) n = n n = pontos Gráfico de f... B O ssíntota do gráfico de f... Reta tangente... 3 Equação da reta tangente: 0,33 + 3, Pontos e B assinalados... Ordenada de B : 0,33 ( ) + 3,35, pontos lim k h() = lim h() = h(k) k log (5k + k + 1) = + log (k + )... 1 log (5k + k + 1) = log [4(k + )] k + k + 1 = 4(k + )... 3 k = 5 7 k = 1... f pontos g() =... 4 sen + cos =... 4 sen + cos = sen + 4 = = 6 + k + 4 = + k, k Z = 1 + k = 7 + k, k Z... 1 Soluções em [0, ] : k = 0 = 1 = 7 1 k = 1 = 1 + = = 3 1 = k = = = bcissa pedidas: 7 3 e pontos OQ PQ () =... 1 Base =... ltura = 4 e... 6 () = e pontos '() = 4e + ( 1)e... 1 = (4 )e... '() = 0 4 = 0... ( ) = 0 =... (pois > 0)... 1 Quadro de sinal e monotonia ' + 0 Resposta: k = Má pontos Considerar uma função j assim definida:... log ( ) 3 + j() = f() 3 + se k se > k Referir que j é contínua em [ 1, 6]... j( 1) = log =... j(6) = + log = 8... j( 1) j(6) < 0... Referir que, pelo teorema de Bolzano, j tem pelo menos um zero em ] 1, 6[... 3 Conclusão... abcissa que maimiza a área é... f() = 4 e 8 =... e Coordenadas pedidas:, 8 e pontos = 0 ( 3) + ( + ) = Coordenadas de C : (3, )... 1 C (1, 3)... Dado um ponto qualquer P(, ) de t, P ( 4, + 5)... P C = = = 0 =