Matemática A. Previsão 2. Duração do teste: 180 minutos º Ano de Escolaridade. Previsão Exame Nacional de Matemática A 2013

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1 Previsão Exame Nacional de Matemática A 0 Previsão ª ase Matemática A Previsão Duração do teste: 80 minutos 7060 º Ano de Escolaridade Resoluções em vídeo em wwwexplicamatpt Previsão de Exame página/9

2 GRUPO I Os oito itens deste grupo são de escolha múltipla, em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correcta Escreva na sua olha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que seleccionar para responder a esse item Não apresente cálculos, nem justiicações Se apresentar mais do que uma opção, a resposta será classiicada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita or elegível O código de um core é composto por cinco dígitos, sabe-se que: Os três primeiros dígitos são algarismos de zero a nove inclusive a, b, c, d Os dois últimos dígitos são letras do conjunto { } Por exemplo, 0aa ou 55bc são dois códigos possíveis para o core Quantos códigos existem constituídos por dois e só dois algarismos iguais e as duas letras também iguais? (A) 0 9 (B) A 0 9 () 9 (D) A 9 Seja Ω o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória Sejam A e B dois acontecimentos possíveis ( A Ω B Ω) Sabe-se que: P ( A B) + P( B) = ( A B) + P( A B) P( A) e Qual das opções seguintes é necessariamente verdadeira? (A) A e B são independentes () A eb são contrários (B) A e B são incompatíveis (D) ( B) = P( A) P Previsão de Exame página /9

3 Um saco contém 0 bolas indistinguíveis ao tacto, duas bolas com o número, três bolas com o número e cinco bolas com o número Retiram-se simultaneamente e ao acaso, duas bolas do saco Seja X a variável aleatória X : «Quadrado da dierença dos números das bolas retiradas» Qual a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X? (A) X = x i 0 () X = x i ( X ) x i 9 ( X ) x i (B) X = x i 0 (D) X = x i ( X ) x i ( X ) x i De uma unção de domínio assintota do seu gráico y é + IR, sabemos que a reta de equação = x Qual das opções abaixo é o valor de lim ( x) ( x) ( x) x + x (A) (B) () (D) Previsão de Exame página /9

4 5 onsidera as unções e g cujas representações gráicas estão parcialmente representadas nas iguras e respetivamente As unções e g têm domínio IR e, tal como as iguras sugerem, são descontínuas no ponto de abcissa 0 igura y igura y k g k O x O x omo é possível observar nas representações acima, ( 0) = k e ( 0) k g = Sabendo que a unção + g é contínua no ponto de abcissa 0, Qual das opções abaixo é uma relação verdadeira entre k e k? (A) k = + k (B) k = k () k = + k (D) k = k 6 Na igura está, em reerencial on xoy, parte do gráico da unção tem primeira e segunda derivada initas em IR y igura Tal como a igura sugere, a unção anula-se parax =, tem máximo relativo para x =, mínimo absoluto em x = dois pontos de inlexão (um de abcissa positiva e outro para x =0 ) O x Qual das opções abaixo pode ser o valor de ' '' ( ) + ( 5) ( ) '' ' ( 0) (A) 0,05 (B) 0 () 0, 05 (D) Previsão de Exame página /9

5 7 Em, conjunto dos números complexos, seja z = cisθ, em que θ é um número real pertencente ao intervalo, onsidera w = z z z A que quadrante do plano complexo pertence a imagem geométrica de w? (A) º Quadrante (B) º Quadrante () º Quadrante (D) º Quadrante 8 Na igura, estão representadas, no plano complexo, a sombreado, duas regiões limitadas pela reta r, por duas linhas de circunerência centradas no ponto e pelo eixo dos imaginários r Im( z) igura O Re( z) Sabe-se que: a reta r é a bissetriz dos quadrantes pares; o centro das duas circunerências tem cordenadas (,) ; a circunerência menor é tangente ao eixo dos imaginários; a circunerência maior é tangente ao eixo dos reais Qual das opções seguintes pode deinir, em duas regiões a sombreado? (A) (B) () (D), conjunto dos números complexos, as ( z) 0) ( arg( z) z + - i ) ( z + i Re ( z) 0) ( arg( ) z + + i ) ( z + i Re z ( z) 0) ( arg( ) z + - i ) ( z + i Re z ( z) 0) ( arg( z) z + - i ) ( z + i Re Previsão de Exame página 5/9

6 GRUPO II Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de eectuar e todas as justiicações necessárias ATENÇÃO: quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, apresente sempre o valor exacto Seja o conjunto dos números complexos, i designa a unidade imaginária Resolve os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora Sejam z, z e z três soluções distintas da equação z z = i Mostra quez z z 7i = onsidera os complexos ρcis z = ( ρ representa o módulo dez), w = i z Sejam A e B as imagens geométricas, no plano complexo, de z e w respectivamente Sabendo que a área do triângulo [ OAB ] é igual a 6, determina, na orma algébrica, o complexo z Na igura podemos ver a representação de um dado equilibrado e na igura uma planiicação do mesmo Figura Figura Lança-se duas vezes o dado onstrói a tabela de distribuição de probabilidades para a variável aleatória X, sendo X : soma dos números saídos nos dois lançamentos Previsão de Exame página 6/9

7 onsidera duas caixas que designaremos por aixa e aixa Sabe-se que: A caixa tem cinco bolas numeradas de a 5, as bolas com número par são brancas e as bolas com número ímpar são pretas A caixa tem três bolas brancas e quatro bolas pretas Realiza-se a seguinte experiência: ao acaso, tiram-se duas bolas da aixa e colocam-se na aixa ; em seguida, tiram-se simultaneamente duas bolas da aixa Sejam A e B os acontecimentos: A : «O produto dos números das bolas retiradas da aixa é par» B : «As duas bolas retiradas da aixa são da mesma cor» Determina o valor de P ( B A) sem utilizar a órmula da probabilidade condicionada Deves justiicar a tua resposta abordando os seguintes pontos: O signiicado de P ( B A) no contexto do problema; As possíveis ocorrências na aixa após realização do acontecimento A ; A explicação do número de casos possíveis; A explicação do número de casos avoráveis Apresenta o resultado em ração irredutível Admite agora que a aixa está na sua constituição inicial onsidera a experiência que consiste em tirar, ao acaso, uma bola da aixa registar a sua cor e voltar a colocar a bola na aixa Eectua-se esta experiência 0 vezes Qual a probabilidade de serem registadas, no máximo, sete bolas pretas? Apresenta o resultado arredondado às centésimas onsidera a unção deinida em IR por x ( x) = + x e Estuda a unção quanto à existência de assintotas do seu gráico Existem dois pontos do gráico de onde as retas tangentes são horizontais Determina as coordenadas desses pontos recorrendo a processos analíticos Previsão de Exame página 7/9

8 5 Num determinado dia ocorreu um acidente na cidade aquiaolado O acidente oi testemunhado por um determinado número de pessoas e, com o passar do tempo, o número de pessoas que sabe do acidente tende a aproximar-se do total de habitantes dessa cidade onsidera que o número de pessoas que sabem do acidente (em milhares), t horas após a sua ocorrência, é dado por 5 + e ( t) = 0, t Resolve todas as alíneas por processos exclusivamente analíticos, a calculadora só pode ser utilizada para cálculos intermédios 5 Determina o número de pessoa que testemunhou o acidente 5 Quanto tempo passou até que o número de pessoas que teve conhecimento do acidente osse o quíntuplo das pessoas que o testemunharam? (apresenta o resultado em horas e minutos, minutos aproximados às unidades) 5 Quantos habitantes existem na cidade aquiaolado? 6 onsidera a unção, de domínio + IR, deinida por 0 ( x) tanx +, = x lnx se se 0 x x > Utilizando métodos exclusivamente analíticos estuda a unção quanto ao sentido da concavidade do seu gráico e existência de pontos de inlexão, no,+ intervalo ] [ Mostra que a equação ( x) = + tem solução no intervalo ],[ ' Utilizando a deinição de derivada num ponto, determina ( ) Previsão de Exame página 8/9

9 7 Na igura está representada a pirâmide quadrangular regular [ ABDE ] E x D A igura B Sabe-se que: a altura da pirâmide é 0; o lado da base da pirâmide é variável de acordo com a amplitude x, em radianos, do ângulo AE 7 Mostra que o volume da pirâmide é dado, em unção de x, por: ( x) 000 cos x = x sen x 0, V 7 ( x) ' 000 sen Prova que V ( x) = e estuda a unção V quanto à monotonia e sen x existência de extremos no intervalo 0, 7 Estuda a unção ( x) assintotas 000 cos x = de domínio sen x V 0, quanto à existência de FIM Previsão de Exame página 9/9