EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO. 12. Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n. 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos

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1 Eames Nacionais Duração da prova: 0 minutos EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO. Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n. 86/8, de de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos.ª FASE 007 VERSÃO PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA Grupo I Os sete itens deste grupo são de escolha múltipla. Para cada um deles, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas apenas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para responder a cada questão. Se apresentar mais do que uma letra, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos, nem justificações. Cotações. Considere um rectângulo cuja área é igual a. Qual das seguintes epressões representa o perímetro deste rectângulo, em função do comprimento,, de um dos seus lados? (A) + (B) + (C) + (D) +. Seja f : [0, p] " R a função definida por f () = - cos. Indique o valor de para o qual f () é máimo. p (A) 0 (B) (C) p (D) p. Na figura, está representada parte do gráfico de uma função f, real de variável real. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) lim = 0 (B) " f() lim " f() = (C) lim (D) Não eiste f() =- " lim " f()

2 Eames Nacionais 4. Na figura, está representada parte do gráfico de uma função g, real de variável real. Tal como a figura sugere, a recta de equação = é assimptota do gráfico da função g. Seja h : R " R a função definida por h () = -. h() O valor do lim " g() é: (A) -? (B) +? (C) 0 (D). Dois cientistas, que vão participar num congresso no estrangeiro, mandam reservar hotel na mesma cidade, cada um sem conhecimento da marcação feita pelo outro. Sabendo que nessa cidade eistem sete hotéis, todos com igual probabilidade de serem escolhidos, qual é a probabilidade de os dois cientistas ficarem no mesmo hotel? (A) 7 (B) 7 (C) 7 (D) Lançaram-se dois dados, ambos com as faces numeradas de um a seis. Sabe-se que a soma dos números saídos foi quatro. Qual é a probabilidade de ter saído o mesmo número, em ambos os dados? (A) (B) 4 (C) (D) 7. Em C, conjunto dos números compleos, seja i a unidade imaginária. Seja n um número natural tal que i n =-i. Indique qual dos seguintes é o valor de i n + : (A) (B) i (C) - (D) - i

3 .ª fase 007 Grupo II Nos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, pretende-se sempre o valor eacto.. Em C, conjunto dos números compleos, sejam: z = + yi e z = 4iz (i é a unidade imaginária e y designa um número real)... Considere que, para qualquer número compleo z não nulo, Arg (z) designa o argumento de z que pertence ao intervalo [0, p[. p Admitindo que Arg (z ) = a e que 0 < a < de a... Sabendo que Im (z ) = Im (z ), determine z. Apresente o resultado na forma algébrica., determine o valor de Arg (- z ) em função. De um baralho de cartas, seleccionaram-se 6 cartas (4 ases, 4 reis, 4 damas e 4 valetes). Dividiram-se as 6 cartas em dois grupos: um com os ases e os reis e outro com as damas e os valetes. Retiraram-se, ao acaso, duas cartas de cada grupo (sem reposição). Qual é a probabilidade de obter um conjunto formado por um ás, um rei, uma dama e um valete, não necessariamente do mesmo naipe? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.. Considere um espaço de resultados finito, W, associado a uma certa eperiência aleatória. A propósito de dois acontecimentos X e Y (X ƒ W e Y ƒ W), sabe-se que: P (X) = a P (Y) = b X e Y são independentes.. Mostre que a probabilidade de que não ocorra X nem ocorra Y é igual a - a - b + a * b... Num frigorífico, há um certo número de iogurtes e um certo número de sumos. Tiram-se do frigorífico, ao acaso, um iogurte e um sumo. Sabe-se que a probabilidade de o iogurte ser de pêssego é e a probabilidade de o sumo ser de laranja é. Admita que os acontecimentos «tirar um iogurte de pêssego» e «tirar um sumo de laranja» são independentes. Utilizando a epressão mencionada em.., determine a probabilidade de, ao tirar, ao acaso, um iogurte e um sumo do frigorífico, o iogurte não ser de pêssego e o sumo não ser de laranja. Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

4 Eames Nacionais sin + ln 4. Considere a função g, definida no intervalo ], 7[ por g () =. (ln designa logaritmo na base e) 8 Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, visualize o gráfico da função g e reproduza-o na sua folha de prova. Com base nesse gráfico e utilizando as ferramentas adequadas da sua calculadora, resolva o seguinte problema: Seja g' a função derivada de g. O conjunto-solução da inequação g' () < 0 é um intervalo aberto ]a, b[. Determine os valores de a e de b. Apresente os resultados arredondados às centésimas. Justifique a sua resposta.. Na figura está representada parte do gráfico de uma função h, de domínio R 0 +. Figura Em cada uma das figuras abaio está representada parte do gráfico de uma função de domínio R 0 +. Uma das funções representadas é h', primeira derivada de h, e a outra é h'', segunda derivada de h. Figura Figura Numa pequena composição, eplique em qual das figuras está representado o gráfico da primeira derivada e em qual está representado o gráfico da segunda derivada. Na sua composição, deve referir-se à variação de sinal das funções h' e h'', relacionando-a com características da função h (monotonia e sentido das concavidades do seu gráfico).

5 .ª fase Considere a função f, de domínio R \ {0}, definida por f () = - ln ( ). Recorrendo a métodos eclusivamente analíticos: 6.. Determine os pontos de intersecção do gráfico de f com o eio O. 6.. Estude a função quanto à monotonia e à eistência de etremos relativos Na figura seguinte está representada uma artéria principal do corpo humano, cuja secção é um círculo com raio R, e uma sua ramificação, mais estreita, cuja secção é um círculo com raio r. 7 A secção da artéria principal tem área A e a da ramificação tem área a. Seja q å 4 0, p a amplitude, em radianos, do ângulo que a artéria principal faz com a sua ramificação (medida relativamente a duas geratrizes complanares dos dois cilindros). Sabe-se que a = A œcos q. Admitindo que o modelo descrito se adequa com eactidão à situação real, determine q no 4 caso em que os raios referidos verificam a relação R = œr. FIM

6 Sugestão de resolução. Grupo I CAESMA Porto Editora Área = * y = y = Perímetro = + y = + * = + Resposta: (A).. Se 0 p então - cos. - cos - -cos - - cos - - cos + f () é o valor máimo de f em [0, p]. f () = å [0, p] - cos = å [0, p] cos =- å [0, p] = p Resposta: (C).. Da observação do gráfico da função f verifica-se que eistem os limites laterais de f no ponto = mas que lim f () 0 lim f (). " - " + Logo, lim 0 lim pelo que não eiste lim. " - f () " + f () " f () Resposta: (D). 4. lim g () = +? e lim g () = -? " - Dado que h () = -, lim h () = lim ( - ) = 0. h () 0 = = 0 g ()? Resposta: (C). lim " " + " ". Número de casos possíveis: Os dois hotéis podem ser escolhidos de 7 A' = 7 maneiras diferentes (o primeiro cientista tem sete possibilidades de escolha e o outro cientista tem igualmente sete possibilidades). Número de casos favoráveis: 7 (as sete possibilidades correspondentes aos sete hotéis eistentes). 7 Probabilidade pedida: =. 7 7 Resposta: (A)

7 .ª fase Há três casos possíveis correspondentes à soma igual a quatro: (, ), (, ) e (, ). Entre os casos possíveis apenas um é favorável: (, ). Logo, a probabilidade pedida é. Resposta: (C). 7. i n + = i n * i = (- i) * i = -i =-(- ) = Resposta: (A). Grupo II. z = + yi ; z = 4iz p.. Seja z = r cis a, 0 < a <. p - z =-4iz =-4i * r cis a = 4 cis * r cis a = 4r cis p p p Se 0 < a < então < + a < p p pelo que + a å [0, p[. p Logo, arg (- z ) = + a... z = + yi z = 4iz = 4i ( + yi) = i + 4yi =-4y + i Im (z ) = Im (z ) y = z =-4y + i = -4 * + i = i p + a. Número de casos possíveis: 8 C * 8 C fl fl " Número de maneiras de escolher duas cartas do grupo de damas e valetes fl " Número de maneiras de escolher duas cartas do grupo de ases e reis Número de casos favoráveis: 4 C * 4 C * 4 C * 4 C fl fl fl fl " Número de maneiras de escolher um ás fl fl fl " Número de maneiras de escolher um rei fl fl " Número de maneiras de escolher uma dama fl " Número de maneiras de escolher um valete Probabilidade pedida: CAESMA Porto Editora ( 4 C 4 P = = 4 ) 4 = 6 ( 8 C 8 ) 4

8 Eames Nacionais... A probabilidade de que não ocorra X nem ocorra Y traduz-se por P ( ). P ( ) = P ( ) = Leis de De Morgan X = - P (X Y) = Probabilidade do acontecimento contrário = - (P (X) + P (Y) - P (X Y)) = Probabilidade da união de dois acontecimentos = - P (X) - P (Y) + P (X Y) = = - P (X) - P (Y) + P (X) * P (Y) = X e Y são independentes: P (X Y) = P (X) * P (Y) = - a - b + a * b P (X) = a e P (Y) = b.. Seja X o acontecimento tirar um iogurte de pêssego, P (X) =. Seja Y o acontecimento tirar um sumo de laranja, P (Y) =. Pede-se a probabilidade de X Y. Dado que X e Y são independentes, tem-se, pela alínea anterior: 8 P ( ) = * =. X Y Y X Y X Y CAESMA Porto Editora sin + ln 4. g () =, å ], 7[ Recorrendo à calculadora gráfica foi obtido o gráfico da função g, no intervalo ], 7[. Determinaram-se os etremos da função, tendo-se verificado a eistência de um máimo para ),6 e de um mínimo para ) 4,6. Da análise do gráfico e tendo em conta os valores determinados, é possível concluir que, com duas casas decimais, g é estritamente crescente em ] ;,6[ e em ]4,6 ; 7[ e estritamente decrescente em ],6 ; 4,6[. Consequentemente, g'() < 0 no intervalo aberto ],6 ; 4,6[. Logo, tem-se a ),6 e b ) 4,6.. Observando os gráficos dados, elaborou-se a seguinte tabela onde se apresenta a variação da função h e o correspondente sinal da função h' : 0 a c +? h () Mín. Má. h '()

9 .ª fase 006 Apresenta-se agora a variação do sentido da concavidade do gráfico de h e o correspondente sinal da função h'' : 0 b +? h () 8 PI { h'' () Da análise do sinal e dos zeros das funções h' e h'', é imediato concluir que o gráfico da primeira derivada, h', está representado na figura e o gráfico da segunda derivada, h'', está representado na figura. 6. f () = - ln ( ); D f =R\{0} 6.. Os pontos pedidos correspondem aos zeros da função f : f () = 0 - ln ( ) = 0 ln ( ) = = e =- œe = œe Pontos pedidos: (-, 0) e (, 0) œe ( 6.. f'() = ( - ln ( ))' = 0 - )' =- =- Sinal de f' e variação de f : œe -? 0 +? f ' + - f A função f é estritamente crescente em ]-?, 0[ e estritamente decrescente em ]0, +?[. Dado que f é derivável e f' é sempre diferente de zero, a função f não tem etremos. 7. Área da secção da artéria principal: A = pr ; Área da secção da ramificação: a = pr. CAESMA Porto Editora a = A œcos q pr = pr œcos q pr = p ( œ 4 r) œcos q pr 4 = p œ r œcos q œcos q = pr p œr r 0 0 œcos q = œ cos q = p cos q = q å 4 0, p q =. M R = 4 œr q å 4 0, p ± cos q > 0