MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - 2 a Derivada (concavidades e pontos de inflexão)

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1 MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - 2 a Derivada (concavidades e pontos de inleão) Eercícios de eames e testes intermédios 1. Na igura ao lado, está representada, num reerencial o.n., parte do gráico de uma unção, polinomial do terceiro grau. Tal como a igura sugere, a unção tem um máimo relativo para = 2 e tem um mínimo relativo para = 2 A origem do reerencial é ponto de inleão do gráico de 2 2 Sejam e a primeira e a segunda derivadas da unção, respetivamente. Qual é o conjunto solução da condição () ()? (A) [ 2,] [2,+ [ (B) ], 2] [,2] (C) ],] [2,+ [ (D) ], 2] [,+ [ 2. Seja a unção, de domínio ]1 π, + [, deinida por 2 2 sen ( 1) se 1 π < < 1 () = 2 se = 1 e ln( 1) se > 1 Eame 217, Ép. especial gráico da unção tem um único ponto de inleão, cuja abcissa pertence ao intervalo ]1,2[ Determine, recorrendo à calculadora gráica, a abcissa desse ponto. Na sua resposta: reproduza, num reerencial, o(s) gráico(s) da(s) unção(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver o problema; apresente a abcissa do ponto de inleão arredondada às centésimas. Eame 217, Ép. especial Página 1 de 2

2 3. Seja uma unção de domínio R A tabela de variação de sinal da unção, segunda derivada de, é a seguinte Seja g a unção deinida por g() = ( 5) Em qual dos intervalos seguintes o gráico de g tem concavidade voltada para baio? (A) ] 15, 5[ (B) ],1[ (C) ] 5,5[ (D) ]5,15[ Eame 217, 2 a Fase 4. Na igura ao lado, está representada, num reerencial o.n., parte do gráico de uma unção polinomial Sabe-se que o único ponto de inleão do gráico de tem abcissa Seja a segunda derivada da unção Qual das airmações seguintes é verdadeira? (A) (1) + (2) < (B) ( 2) + ( 1) > (C) ( 1) ( 2) < (D) (1) (2) > Eame 217, 1 a Fase 5. Seja uma unção, de domínio R, cuja derivada,, de domínio R, é dada por ( () = e ( ) Resolva o item seguinte recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Estude a unção quanto ao sentido das concavidades do seu gráico e quanto à eistência de pontos de inleão. Na sua resposta, apresente: - o(s) intervalo(s) em que o gráico de tem concavidade voltada para baio; - o(s) intervalo(s) em que o gráico de tem concavidade voltada para cima; - a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inleão do gráico de Eame 216, 1 a Fase Página 2 de 2

3 6. Na igura ao lado, está representada, num reerencial o.n., parte do gráico de uma unção polinomial Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráico da unção, segunda derivada da unção? (A) (B) (C) (D) Eame 215, Ép. especial Página 3 de 2

4 7. Seja : R R uma unção tal que: tem derivada inita em todos os pontos do seu domínio; () > () <, para qualquer ],[ Nenhum dos gráicos a seguir apresentados é o gráico da unção Gráico A Gráico B Gráico C Elabore uma composição na qual apresente, para cada um dos gráicos, uma razão pela qual esse gráico não pode ser o gráico da unção 8. Seja a unção, de domínio R, deinida por e e se < () = ( + 1) ln se 1 2 Eame 215, 2 a Fase Estude, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, a unção quanto ] ao sentido [ das 1 concavidades do seu gráico e quanto à eistência de pontos de inleão, no intervalo 2, + Na sua resposta, apresente: o(s) intervalo(s) em que o gráico de tem concavidade voltada para baio; o(s) intervalo(s) em que o gráico de tem concavidade voltada para cima; as coordenadas do(s) ponto(s) de inleão do gráico de Eame 215, 1 a Fase Página 4 de 2

5 9. Seja uma unção de domínio ] 5,5[ Sabe-se que o gráico da unção tem eatamente dois pontos de inleão. Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráico da unção, unção? segunda derivada da (A) (B) (C) (D) Eame 214, Ép. especial 1. Na igura seguinte, está representada, num reerencial o.n., parte do gráico de uma unção polinomial, de grau 3 Sabe-se que: 2 e 3 são os únicos zeros da unção a unção tem um etremo relativo em = 2 h, primeira derivada de uma unção h, tem domínio R e é deinida por h () = () e 2 lim + h() = 3 Considere as airmações seguintes. 2 3 I) A unção h tem dois etremos relativos. II) h ( 2) = III) + 3 = é uma equação da assíntota do gráico da unção h quando tende para + Elabore uma composição, na qual indique, justiicando, se cada uma das airmações é verdadeira ou alsa. Na sua resposta, apresente três razões dierentes, uma para cada airmação. Eame 214, 2 a ase Página 5 de 2

6 11. Na igura ao lado, está representada, num reerencial ortogonal, parte do gráico da unção g, segunda derivada de uma unção g g Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráico da unção g? (A) (B) (C) (D) Eame 214, 2 a ase 12. Seja uma unção, de domínio R +, com derivada inita em todos os pontos do seu domínio. A sua derivada,, é deinida por () = ln Quantos pontos de inleão tem o gráico da unção? (A) Zero (B) Um (C) Dois (D) Três 13. Seja uma unção cuja derivada,, de domínio R, é dada por () = (4 + ) 2 Qual das airmações seguintes é verdadeira? (A) gráico da unção tem a concavidade voltada para cima em R (B) A unção tem um máimo relativo em = 4 (C) gráico da unção não tem pontos de inleão. (D) gráico da unção tem um ponto de inleão de coordenadas ( 4, ( 4)) Teste Intermédio 12 o ano Eame 213, Ép. especial Página 6 de 2

7 14. Sejam e, de domínio R, a primeira derivada e a segunda derivada de uma unção, respetivamente. Sabe-se que: a é um número real; P é o ponto do gráico de de abcissa a () (a) lim = a a (a) = 2 Qual das airmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) a é um zero da unção (B) (a) é um máimo relativo da unção (C) (a) é um mínimo relativo da unção (D) P é ponto de inleão do gráico da unção 15. Seja g uma unção, de domínio R +, cuja derivada, g, de domínio R +, é dada por g () = ln(e + 6e + 4) Eame 213, 2 a ase Estude a unção g quanto ao sentido das concavidades do seu gráico e quanto à eistência de pontos de inleão, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 16. Seja uma unção de domínio R e seja a segunda derivada da unção Sabe-se que tem domínio R e é deinida por () = e 2 ( 1) Qual das airmações seguintes é verdadeira? (A) gráico da unção tem eatamente quatro pontos de inleão. (B) gráico da unção tem eatamente três pontos de inleão. (C) gráico da unção tem eatamente dois pontos de inleão. (D) gráico da unção tem eatamente um ponto de inleão. Eame 213, 2 a ase Teste Intermédio 12 o ano Página 7 de 2

8 17. Na igura ao lado, está representada, num reerencial o. n., parte do gráico de h, segunda derivada de uma unção h, de domínio R Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráico da unção h? h (A) (B) (C) (D) Eame 212, Ép. especial Página 8 de 2

9 18. Considere, num reerencial o. n., o gráico de uma unção h, de domínio R Sabe-se que: a, b e c são números reais positivos e a < b < c h tem um mínimo relativo em ]a,c[ h é crescente em ],[ lim (h() 1) = a segunda derivada, h, da unção h é tal que h () > para > b Apenas uma das opções seguintes pode representar uma parte do gráico da unção h (I) (II) (III) (IV) Elabore uma composição na qual: indique a opção que pode representar h apresente três razões para rejeitar as restantes opções, uma por cada opção rejeitada. Eame 212, Ép. especial 19. Considere a unção, de domínio R, deinida por sen 1 se < 1 3 () = 1 e k+1 se = com k R 1 e 4 se > Seja g uma unção, de domínio R +, cuja derivada, g, de domínio R +, é dada por g () = () 1 Estude, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, a unção g quanto ao sentido das concavidades do seu gráico e quanto à eistência de pontos de inleão. Eame 212, 2 a Fase Página 9 de 2

10 2. Na igura ao lado, está representada, num reerencial o.n., parte do gráico de uma unção, de domínio R Sejam e, de domínio R, a primeira derivada e a segunda derivada de, respetivamente. Qual dos valores seguintes pode ser positivo? (A) (1) (B) ( 3) (C) ( 3) (D) (1) Eame 212, 1 a Fase 21. De uma certa unção sabe-se que: o seu domínio é ]1, + [ a sua derivada é dada por () = ln( 2 1) Na igura ao lado, está representada parte do gráico da unção. Tal como a igura sugere, o gráico da unção tem um ponto de inleão. Determine a abcissa desse ponto, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. r A B 2 b s Teste Intermédio 12 o ano Para um certo número real a, seja a unção, de domínio R, deinida por () = a 2 1 Na igura ao lado, está representada, num reerencial o. n., parte do gráico da unção, segunda derivada da unção Qual dos valores seguintes pode ser o valor de a? (A) (B) π (C) 3 (D) 3 Eame 211, Ép. especial ] 23. De uma unção g sabe-se que tem domínio 2π 3, π [, e g, primeira derivada de g, tem domínio, ] 3 2π 3, π [; e é deinida por g () = log 3 2 ( π6 ) Estude a unção g quanto ] ao sentido das concavidades do seu gráico e quanto à eistência de pontos de inleão no intervalo 2π 3, π [ 3 Eame 211, Ép. especial Página 1 de 2

11 24. Na igura ao lado, está representada, num reerencial ortogonal, parte do gráico de uma unção polinomial, de grau 4 Qual das epressões seguintes pode deinir a unção, segunda derivada de? (A) ( 3) 2 (B) ( + 3) 2 (C) 9 2 (D) 2 9 Eame 211, 2 a ase 25. Na igura ao lado, está representada, num reerencial ortogonal, parte do gráico da unção g Sabe-se que: g g é uma unção contínua em R g não tem zeros a segunda derivada de uma certa unção tem domínio R e é deinida por () = g() ( ) (1) (4) > Apenas uma das opções seguintes pode representar a unção (I) (II) (III) (IV) Elabore uma composição na qual indique a opção que pode representar indique as razões que o levam a rejeitar as restantes opções Apresente três razões, uma por cada gráico rejeitado. Eame 211, 1 a ase Página 11 de 2

12 26. Na igura ao lado, está o gráico de uma unção cujo domínio é o intervalo ]1,3[ A unção tem primeira derivada e segunda derivada initas em todos os pontos do seu domínio. Seja ]1,3[ Qual das airmações seguintes é verdadeira? (A) () > () > (B) () < () > (C) () > () < (D) () < () < 1 3 Teste Intermédio 12 o ano Na igura ao lado, está representada, num reerencial o.n., parte do gráico da unção, primeira derivada de Seja a R + um ponto do domínio de, tal que (a) = Qual das airmações seguintes é verdadeira? (A) A unção tem um mínimo para = a (B) A unção tem um ponto de inleão para = a (C) A unção é crescente em ], a[ (D) A unção é decrescente em R a 28. Na igura ao lado, está representada, num reerencial o.n., parte do gráico de uma unção aim, de domínio R Seja h a unção deinida por h() = () + e Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráico da unção h, segunda derivada de h? Eame 21, 2 a ase (A) (B) (C) (D) 1 1 Eame 21, 1 a Fase Página 12 de 2

13 29. Na igura ao lado, está parte da representação gráica de uma unção polinomial ponto de abcissa 2 é o único ponto de inleão do gráico da unção Qual das epressões seguintes pode deinir, segunda derivada da unção? (A) ( 2) 2 (B) (2 + ) 2 (C) 2 (D) De uma unção, de domínio R, sabe-se que a sua derivada,, é deinida por () = (2 + 4)e Teste Intermédio 12 o ano Sem recorrer à calculadora, estude a unção quanto ao sentido das concavidades do seu gráico e quanto à eistência de pontos de inleão. 31. Na igura ao lado está representada parte do gráico de uma unção h, de domínio R +. Em cada uma das iguras abaio está representada parte do gráico de uma unção de domínior +. Teste Intermédio 12 o ano Uma das unções representadas é h, primeira derivada de h, e a outra é h, segunda derivada de h. a b c b a c Gráico A Gráico B Numa pequena composição, eplique em qual das iguras está representado o gráico da primeira derivada e em qual está representado o gráico da segunda derivada. Na sua composição, deve reerir-se à variação de sinal das unções h e h, relacionando-a com características da unção h(monotonia e sentido das concavidades do seu gráico). Eame 27, 2 a ase Página 13 de 2

14 32. De uma certa unção, de domínio R, sabe-se que a sua segunda derivada é dada por () = ( 2 1)( 2 + 5)( + 6) 2 Quantos pontos de inleão tem o gráico de? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 Eame 26, Ép. especial 33. Na igura ao lado está parte do gráico de uma unção h, de domínio R. Sejam h e h a primeira e a segunda derivadas de h, respetivamente. Admita que estas duas unções também têm domínio R. Qual das epressões seguintes designa um número positivo? (A) h() + h () (B) h() h () (C) h () h () (D) h () h () Eame 26, 2 a Fase 34. Na igura ao lado está representada parte do gráico de uma unção polinomial. Tal como a igura sugere, o gráico de tem a concavidade voltada para cima em ],] e voltada para baio em [, + [. r A reta r, tangente ao gráico de no ponto de abcissa, é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares e interseta o eio no ponto de abcissa 2. Sabendo que e designam, respetivamente, a primeira e a segunda derivadas de, indique o valor de () + () + ()? 2 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 Eame 26, 1 a Fase 35. De uma certa unção, de domínio R, sabe-se que a sua derivada é dada por () = Em qual dos conjunto seguintes, o gráico de tem a concavidade voltada para baio? (A) ] 1,1[ (B) ], 1[ (C) ],3[ (D) ], + [ 36. Seja uma unção, de domínio R +, tal que a sua derivada é dada por () = 2 + ln, R + Eame 25, Ép. especial (cód. 435) Sem recorrer à calculadora, estude a unção quanto ao sentido das concavidades do seu gráico e quanto à eistência de pontos de inleão. Eame 25, 1 a Fase (cód. 435) Página 14 de 2

15 37. Na igura ao lado está parte da representação gráica de uma unção, polinomial do terceiro grau. Seja a segunda derivada de Qual dos valores seguintes pode ser solução da equação () =? (A) (B) 1 (C) 2 (D) Eame 24, Ép. especial (cód. 435) 38. Considere, para cada α ],1[, a unção, de domínio R +, deinida por () = α Prove que, qualquer que seja o valor de α ],1[, o gráico da unção tem a concavidade voltada para baio. Eame 24, 2 a Fase (cód. 435) 39. Na igura ao lado está parte da representação gráica de uma unção polinomial h. ponto de abcissa 1 é o único ponto de inleão do gráico de h. h Qual das epressões seguintes pode deinir h, segunda derivada, da unção h? 1 (A) ( 1) 2 (B) (1 + ) 2 (C) 1 (D) 1 Eame 24, 1 a Fase (cód. 435) 4. Considere a unção, de domínio R, deinida por () = ( 5) 3. Qual das airmações seguintes é verdadeira? (A) A unção tem um etremo relativo para = 5 (B) A unção tem um etremo relativo para = 5 (C) gráico da unção tem um ponto de inleão para = 5 (D) gráico da unção tem um ponto de inleão para = De uma unção, de domínio R, sabe-se que a sua derivada é dada por () = ( + 1)e 1 Eame 23, Prova para militares (cód. 435) Seja A o único ponto de inleão do gráico de. Recorrendo às capacidades gráicas da sua calculadora, determine a abcissa do ponto A, arredondada às décimas. Eplique como procedeu. Inclua, na sua eplicação, o(s) gráico(s) que obteve na calculadora. Eame 23, 1 a ase - 2 a chamada (cód. 435) Página 15 de 2

16 42. Seja uma unção de domínio R. Sabe-se que a primeira e a segunda derivadas de são negativas em R. Em qual das iguras seguintes pode estar representada parte do gráico da unção? (A) (B) (C) (D) 43. Seja uma unção de domínio R e a um ponto do domínio de tal que (a) = Qual das airmações seguintes é necessariamente verdadeira? Eame 23, 1 a ase - 1 a chamada (cód. 435) (A) a é zero de (C) (a,(a)) é ponto de inleão do gráico de (B) (a) é etremo relativo de (D) A reta de equação = (a) é tangente ao gráico de Eame 22, Prova para militares (cód. 435) 44. Seja uma unção de domínio R Na igura ao lado está representada parte do gráico de, segunda derivada da unção. Relativamente ao gráico da unção, qual das airmações seguintes é verdadeira? a b c (A) ponto de abcissa a é um ponto de inleão. (B) ponto de abcissa c é um ponto de inleão. (C) A concavidade está virada para baio no intervalo [,b] (D) A concavidade está sempre virada para cima Eame 22, 2 a ase (cód. 435) Página 16 de 2

17 45. Na igura ao lado está representada parte do gráico de uma unção, de domínio R. Numa das alternativas seguintes estão os quadros de sinais de e de, respetivamente primeira e segunda derivadas de. Em qual delas? a b c d e (A) (B) (C) (D) a c e () + + a c e () + + a c e () + + a c e () + + b d () + + b d () + b d () + + b d () + Eame 22, 1 a ase - 1 a chamada (cód. 435) Página 17 de 2

18 46. Seja uma unção de domínio [, + [ Na igura 1 está parte da representação gráica da unção e, na igura 2, parte da representação gráica da unção, respetivamente primeira e segunda derivadas de. Figura 1 Figura 2 Em qual das iguras seguintes pode estar parte da representação gráica da unção? (A) (B) (C) (D) Eame 21, Prova para militares (cód. 435) Página 18 de 2

19 47. Seja g uma unção, de domínio R, tal que a sua segunda derivada é deinida por g () = 1 2 Em qual das iguras seguintes pode estar parte da representação gráica da unção g? (A) (B) (C) (D) 48. Seja g uma unção cujo gráico tem um ponto de inleão de abcissa 1. Qual dos seguintes gráicos poderá ser o da segunda derivada da unção g? Eame 21, 1 a ase - 1 a chamada (cód. 435) (A) (B) (C) (D) Eame 2, 1 a ase - 2 a chamada (cód. 435) 49. Considere a unção, de domínio R, deinida por () = e ( 2 + ) Sabendo que () = e ( ) e recorrendo eclusivamente a processos analíticos, estude quanto ao sentido das concavidades do seu gráico e quanto à eistência de pontos de inleão. Eame 2, 1 a ase - 1 a chamada (cód. 435) Página 19 de 2

20 5. Na igura ao lado está parte da representação gráica de g, segunda derivada de uma certa unção g Qual dos gráicos seguintes pode ser o da unção g? g (A) (B) (C) (D) Eame 2, Prova modelo (cód. 435) 51. De uma certa unção, de domínio R +, sabe-se que a sua derivada,, é deinida por () = 1 + ln Mostre que () = ln e estude quanto ao sentido das concavidades do seu gráico e à eistência de pontos de inleão. 2 Eame 1998, 1 a ase - 2 a chamada (cód. 135) Página 2 de 2