Proposta de teste de avaliação

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1 Proposta de teste de avaliação Matemática A 0. AN DE ESLARIDADE Duração: 90 minutos Data:

2 Grupo I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na olha de respostas, o número do item e a letra que identiica a opção escolhida.. Para determinado valor real de a, o polinómio ( ) 3 P = 3 + a + b + é divisível por +. Então, pode airmar-se que: (A) a b = (B) a + b = 8 () a b = 5 (D) a = b. Em qual das iguras pode estar, num reerencial ortonormado, uma representação geométrica do conjunto deinido pela seguinte condição? (A) (B) () (D) 3. Na igura estão representados a circunerência de centro e raio 5 cm e o triângulo [ ] AB inscrito na circunerência. Sabe-se que [ ] AB é um diâmetro da circunerência e que A B A = cm. A área do triângulo [ ] AB, em centímetros quadrados, é igual a: (A) (B) 4 () 6 (D) 5 Proposta de teste de avaliação Matemática A, 0. o ano Página

3 4. onsidere a unção representada graicamente na igura seguinte. Qual dos gráicos seguintes pode ser o da unção g deinida por g ( ) =? (A) (B) () (D) 5. Acerca de uma unção quadrática, deinida por ( ) = a + b + c, sabe-se que o seu contradomínio é [, + [. Qual das airmações seguintes é alsa? (A) a > 0 (B) A unção tem dois zeros. () Se a [, + [, a equação ( ) = a tem duas soluções distintas. (D) gráico da unção num reerencial ortonormado interseta o eio. Proposta de teste de avaliação Matemática A, 0. o ano Página 3

4 Grupo II. onsidere as unções e g, de domínio R, deinidas, para determinado número real a, por: ( ) = + 0 e g ( ) = a +.. Determine, caso eista, o valor de a para o qual: a) o ponto de coordenadas ( 5, ) pertence ao gráico da unção inversa de g ; b) ( )( ) g = c) g ( 4) = ( ).. No reerencial cartesiano da igura estão representadas parte do gráico da unção bem como a reta de equação =. Sabe-se que: o ponto A é a interseção da reta de equação = com o eio ; B e são os pontos de interseção do gráico de com o eio e com a reta de equação =, respetivamente; o ponto P desloca-se sobre o segmento de reta [ ] B, nunca coincidindo com o ponto B nem com o ponto ; o ponto Q desloca-se sobre o segmento de reta [ ] A, de orma que os segmentos [ QP] e [ AB ] são paralelos. a) Mostre que a área do trapézio [ ABPQ ] é dada, em unção de, por: ( ) A = b) Determine os valores de para os quais a medida da área do trapézio [ ABPQ ] é superior a. Proposta de teste de avaliação Matemática A, 0. o ano Página 4

5 . onsidere, iado um reerencial cartesiano do espaço, o cubo [ABDEFGH]. Sabe-se que os vértices B, E e H têm coordenadas (,, ), (,, 3) e ( 3, 0, 4) Determine:, respetivamente... as coordenadas do ponto ;.. uma equação vetorial da reta B e veriique se o ponto de coordenadas ( 4, 7, 4) pertence a essa reta;.3. a medida do volume da pirâmide de base [ ] EGH e vértice B. 3. Na igura estão representados, num reerencial cartesiano, parte do gráico da unção, de domínio [, + [, deinida por ( ) =, assim como os pontos A, B e. A Sabe-se que: o gráico da unção interseta o eio no ponto B ; o ponto A, de abcissa maior do que a abcissa de B, pertence ao gráico da unção ; é o ponto do eio tal que o triângulo [ ] AB é retângulo em. onsidere a unção d que associa a cada valor de do domínio de a distância entre os pontos A e B. B 3.. Mostre que d ( ) =. 3.. Determine o perímetro do triângulo [ ] AB sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a Determine o valor de sabendo que o triângulo [ ] AB é isósceles. FIM Grupo I Grupo II otações Total a).. b).. c).. a).. b) Total Proposta de teste de avaliação Matemática A, 0. o ano Página 5

6 Proposta de resolução. Se ( ) 3 Grupo I P = 3 + a + b + é divisível por 3 ( ) ( ) ( ) ( ) +, então ( ) P = a + b + = a b + = 0 a b = 0 a b = Resposta: (A) P = Semiplano limitado pela reta = e que contém o semieio positivo ( ) írculo de centro (, 0) e raio onjunto deinido pela condição dada: ( ) + + = 0 = Resposta: (A) 3. ângulo AB é reto por ser inscrito numa semicircunerência. AB = 5 A = B = A 5 B ( ) + = = 4 5 = 0 4 = 6 = 4 > 0 A B 4 Área[ ] = = = 4 AB Resposta: (B) 4. ( ) Dilatação horizontal de coeiciente (A) ou (D) Dilatação vertical de coeiciente (A) = ( ) g Resposta: (A) Proposta de teste de avaliação Matemática A, 0. o ano Página 6

7 5. Se o contradomínio da uma unção quadrática é [, + [ então o gráico de é uma parábola com a concavidade voltada para cima sendo a ordenada do vértice. A equação ( ) = tem uma e uma só solução. omo [, + [, então a airmação () é alsa. Resposta: (), Grupo II. ( ) = + 0 e g ( ) = a +. a) Se o ponto de coordenadas ( 5, ) pertence ao gráico da unção inversa de g, então g ( 5) = pelo que ( ) ( ) ( ) g = 5. g = 5 a + = 5 a = 5 a = 3 b) ( g )( ) g ( ) ( a ) = = + = ( a ) = a = a = 6 a = 8 a = 4 c) ( ) ( ) ( ).. a) A (, 0) g 4 = a 4 + = + 0 a 4a + = + 0 a = a = a = a = 4a + = 0 4a = 8 a = ( ) = = 0 = 0 = 5 B ( 5, 0) (, 0) P P +, com < < 5 (, + 0) AB + PQ Área [ ABPQ ] = AQ AB = 5 = 4 PQ = com < < 5 AQ = + 0 com < < Área[ ] = + ( + 0) = ( 3 + ABPQ ) + = ( ) ( ) = = = A = Portanto, ( ) Proposta de teste de avaliação Matemática A, 0. o ano Página 7

8 b) ( ) A > > < < > 0 < < > 0 < < 5 ], 3[ ], 5[ ], 3[ + 3 álculos auilares = 0 ± = ± 4 = = = 3. B(,, ) ; E (,, 3) e H ( 3, 0, 4).. EH = H E = ( 3, 0, 4) (,, 3) = (,, ) = B + B = B + EH = + = ( 4,, 0) (,, ) (,, ) ( 4,, 0).. A reta B passa em B (,, ) e tem a direção do vetor EH = (,, ) ( ) ( ) ( ) B :,, z =,, + k,,, k R ( 4, 7, 4) (,, ) k (,, ) = + ( 4, 7, 4) ( k, k, k ) = + 4 = k k = 4 k = 6 7 = k k = 7 k = 6 k = 3 4 k k 4 = + = + k = 3 omo eiste k R tal que ( 4, 7, 4) (,, ) k (,, ) que o ponto de coordenadas ( 4, 7, 4) pertence à reta B. = +, podemos concluir EH = + + = = 9 = 3.3. ( ) ( ) A base da pirâmide é o triângulo retângulo isósceles de base [ ] EH e altura [ ] HG cuja medida é igual a 3. A medida da altura da pirâmide também é igual a 3, ou seja, é igual à medida da aresta do cubo. V pirâmide 3 = A 3 9 base altura = 3 = V pirâmide = u.v. Proposta de teste de avaliação Matemática A, 0. o ano Página 8

9 3. ( ) =, D = [, + [ 3.. ( ) = 0 = 0 = 0 = B (, 0) A(, ) ( ) ( ) ( 0) d = AB = + = A = + + = Temos, portanto, d ( ) =. B 3.. d ( ) = 3 = 3 ( ) = 3 = = 0 ± + 4 = ± 7 = = 3 = 4 omo >, temos = 4. Veriicação: 4 4 = 3 = 3 (verdadeiro) Se = 4, então B = = 4 = 3 e A = = 3. Perímetro do triângulo [ AB ] : AB + B + A = = Se o triângulo [ AB ] é retângulo em e isósceles, então A = B, ou seja, = ( ) = = ( ) ( ) = 0 ( )( ) = 0 ( )( ) = 0 = 0 = 0 = = omo >, temos =. Veriicação: = = (verdadeiro) Logo, =. Proposta de teste de avaliação Matemática A, 0. o ano Página 9