Proposta de teste de avaliação

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1 Matemática A 0. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data: MAIO 09

2 Grupo I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na olha de respostas, o número do item e a letra que identiica a opção escolhida.. Considere, ixado um reerencial o. n. Oxyz, o prisma quadrangular regular [ABCDEFGH]. E F B A H G Sabe-se que: D C os pontos D, E e G pertencem aos semieixos positivos; a área do quadrado [ADHE] é igual a 4; o volume do prisma [ABCDEFGH] é igual a 0. Qual das opções seguintes não pode representar as coordenadas de um dos vértices do prisma? (A) (C) 0,0, (B) 0,5,0,5,0 (D),5,5. Na igura seguinte, o gráico de descreve a trajetória de um projétil, lançado de um ponto coincidente com a origem do reerencial. y km H O A xkm No gráico, relaciona-se o deslocamento do projétil (x) com a respetiva altura y x, ambos expressos em quilómetros (km). Sabendo que x x x, a altura máxima, H, e o alcance, A, do projétil são, 00 5 respetivamente, iguais a: (A) 0 e (B) e 40 (C) 0 e 40 (D) e 0

3 . Na igura ao lado, estão representados dois vetores (x e y ). Qual é a norma do vetor xy? (A) (B) 4 (C) 5 (D) 6 4. Na igura está representado, num reerencial o. n. xoy, o gráico cartesiano da unção. Em qual das opções seguintes se apresenta o domínio de? (A) (B) 7,0 0,, R \ 0, (C), (D) 7, x x 5. Considere a unção, real de variável real, deinida em R por A unção é par se: (A) k 0 (B) k k (D) k 0, (C) ( k) x, com kr.

4 Grupo II Na resposta aos itens deste grupo apresente todos os cálculos que tiver de eetuar e todas as justiicações necessárias. 6. Considere o gráico cartesiano da unção, de domínio R, representado num reerencial o. n. xoy. 6.. Escreva uma expressão algébrica que deina a unção. 6.. Determine: a) 5 b) o conjunto-solução da equação x. y 4 O 4 5 x 6.. Indique: a) os intervalos onde é decrescente em sentido lato; b) os máximos relativos de e os respetivos maximizantes. 7. Na igura, está representada, num reerencial o. n. xoy, parte da parábola que é o gráico de uma unção. Sabe-se que: a parábola contém o ponto de coordenadas,5; y 5 os zeros de são 0 e 4. O 4 x 7.. Mostre que a unção é deinida por x x Determine os valores de x que satisazem a condição x 5. Apresente o conjunto-solução na orma de intervalo ou reunião de intervalos. 7.. Considere a unção g deinida por gx x Determine: a) o contradomínio de g ; b) os zeros de g.. 4

5 8. Considere a unção g, de domínio 5,5, deinida por gx x 8.. Exprima g sem usar o símbolo de módulo. 8.. Indique: a) o contradomínio de g ; b) os zeros de g ; c) os intervalos de monotonia de g Utilizando processos exclusivamente analíticos, resolva a inequação gx Considere a unção, deinida em R por xaxb c, com abcr,,, cujo gráico cartesiano está parcialmente representado no reerencial xoy da igura que se segue. y O 4 5 x Resolva a equação x g x. FIM COTAÇÕES Grupo I Total Grupo II a) 6..b) 6..a) 6..b) a) 7..b) a) 8..b) 8..c) Total

6 Proposta de resolução Grupo I. Por exemplo: A, 0, ; B, 5, ; C, 5, 0 ; D, 0, 0 E0, 0, ; F0, 5, ; G0, 5, 0 ; H 0, 0, 0 Resposta: (D). Zeros da unção : 0 e 40 x x x x x 00 5 x x40 0x0x Vértice da parábola: 0, 0 V, ou seja V 0, Assim, H e A 40. Resposta: (B). Seja a a medida da norma do vetor xy. Aplicando o Teorema de Pitágoras: a 4 a 5 a 5 a 5 Como a 0, então a 5. Resposta: (C) a 4 4. Por observação do gráico cartesiano. Resposta: (D) e x x 5. A unção é par se x D, x D x x k x x k x. Assim, x xkk k 4k Resposta: (B) 6.. Para x Para x Para x, 0 : y, : y 0, : y x 4 m 0 b Assim, se x0 x x se 0x se x Grupo II 6

7 6.. a) 5, b), logo x x x x ; C.S. 6.. a) Em, 0 e em,. b) Máximos relativos de : e Maximizantes: Todos os números reais dos intervalos, 0 e, 7.. Sabe-se que 0 e 4 são zeros de. Assim, a unção pode ser escrita como x ax 0x 4 Como 5 tem-se que: 5a04 5 a5 5 5a 5 a x x0 x 4 ou seja, Então, xxx4 x 4x x x x x Determinam-se os zeros do polinómio e az-se um esboço da parábola: x x 90 9 x 9 x x x x 5 Assim, x 5 x, 5,. a) ComoD 4,, então x x x4 gx, xr Assim, D g,. b) Zeros de g: xr : gx0 8.. D g 5, 5. gx 4 4 g x 0 x 0 x x 4 x 0x x x x Zeros de g: e x se x0xd x se x0xd x4 se xxd gx x se x x D x se x 5, gx x 4 se x, 5 7

8 8.. a) g, g 55 e D, g b) gx0x 0x x xx x 4x Zeros de g: e 4 g 5 5 c) g é estritamente crescente em 5, e estritamente decrescente em 8.. gx0x0x5,5 x x5,5 x x5,5 xxx5,5 xx4x5,5 x5, 4,5 gx0x5, 4, Por observação do gráico cartesiano de, sabe-se que b e c 0. 0 a 0 aa Assim x se x x x x. x se x D D 5, 5 por: Seja h a unção deinida em g hx x gx x h x x,5. Pode recorrer-se a uma tabela para auxiliar na determinação da expressão algébrica da unção h. x 5 5 x 7 x x 0 x x x x 4 x 4 x h x x 0 x x 6 4 Então, hx x se x 5, se x, x6 se x, 5. x os zeros de h são dados por x 0 x 0 Para 5, x60x6x. h x x x e para, 5 Assim, 0 0 e, consequentemente, x gx C.S. 0, x os zeros de h são dados por 0 x g x x0x. Nota: Esta questão oi resolvida recorrendo a um processo analítico. No entanto, também pode ser resolvida por outros processos (por exemplo, pela determinação da interseção dos gráicos das duas unções). 8