( x) = +. Qual dos seguintes. x = (B) o contradomínio é ],2] f é uma função par

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2 Ficha de Trabalho n.º 7 página 5. Indique quantos são os pontos comuns aos gráficos das funções f e g definidas por f ( x) = x e g( x) = x (A) 0 (B) 1 (C) (D) 3 6. Pretende-se desenhar um retângulo com 80 cm de perímetro. Qual das expressões seguintes permite obter a área (em cm ) do retângulo, em função do comprimento x (em cm ) de um dos seus lados? (A) A( x) = x. ( x 40) (B) A( x) = x.80 ( x) (C) A( x) = x.40 ( x) (D) A( x) = ( x 80) 7. De uma função f, de domínio IR, sabe-se que: f ( 5) = 0 f é uma função par Seja g a função, de domínio IR, definida por g( x) f ( x 3) pode ser o conjunto dos zeros de g? = +. Qual dos seguintes (A) { 0,3 } (B) { 3,5 } (C) { 8, } (D) {,8 } 8. Relativamente à função real de variável real definida em R por: podemos afirmar que: 1 f ( x) = x 3 +, 4 (A) tem um máximo para x = (B) o contradomínio é ],] (C) não tem zeros (D) é crescente em [ 3, + [. 9. Considere o gráfico da função h, representado na figura ao lado. A expressão analítica de h é: (A) h ( x) = x (B) h ( x) = x (C) h ( x) = x (D) h ( x) = x 3 + 1

3 10. Considere o polinómio ( ) Ficha de Trabalho n.º 7 página 3 P x = x 7x + 3kx+ 5, com k R. O valor de k para o qual o polinómio é dividido por x + 1 dá resto é: (A) (B) 4 (C) 0 (D) Na figura 1 está representada graficamente a função f. Na figura está representada graficamente a função g. Qual das igualdades seguintes é verdadeira? (A) g ( x) = f ( x +1) 1 (B) g ( x) = f ( x 1) 1 (C) g ( x) = f ( x +1) 1 (D) g ( x) = f ( x 1 ) Na figura estão representadas: parte do gráfico de uma função afim f ; parte do gráfico de uma função quadrática g. Qual dos seguintes conjuntos pode ser o conjunto solução da inequação f ( x) g( x) 0? (A) ] 4, ] ] 0, + [ (B) [ 4, ] [ 0, + [ (C) ], 4] [, 0 ] (D) ], 4[ ], 0 [ 13. Na figura está o gráfico de uma função, de domínio R, f x = a x + b, em que a e b designam definida por ( ) dois números reais. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) a> 0 b> 0 (B) a> 0 b< 0 (C) a< 0 b> 0 (D) a< 0 b< 0 Figura

4 Ficha de Trabalho n.º 7 página Considere a função g, de domínio R, definida por g( x) x 4 inequações seguintes é impossível? =. Qual das (A) g( x) 0 (B) g( x) 4 (C) g( x) 7 (D) g( x) Na figura 3 estão representadas, em referencial o.n. xoy, duas parábolas geometricamente iguais, que são os gráficos de duas funções quadráticas, f e g. Os vértices das duas parábolas têm a mesma abcissa. A ordenada de um dos vértices é igual a 3 e a ordenada do outro vértice é igual a 4. Qual das expressões seguintes define a função f? (A) g( x) 1 (B) g( x) + 7 (C) g( x) 1 (D) g( x) Numa certa localidade, o preço a pagar por mês pelo consumo de água é a soma das seguintes parcelas:,5 pelo aluguer do contador; 1 por cada metro cúbico de água consumido até 10 3 m ; por cada metro cúbico de água consumido para além de 10 Indique qual das funções seguintes traduz corretamente o preço a pagar, em euros, em função do número x de metros cúbicos consumidos. 3 m. (A) a( x) (C) c( x) 3, 5 x se x 10 =,5 + x se x> 10,5 + x se x 10 = 1,5 + x se x> 10 (B) b( x) (D) d( x),5 + x se x 10 =,5 + x se x> 10,5 + x se x 10 = 1,5 + ( x 10 ) se x> 10 P x = x x + kx, com k R. O valor de k para o qual o polinómio é divisível por x + é: 17. Considere o polinómio ( ) 7 (A) (B) - 3 (C) - 7 (D) De uma função quadrática h, de domínio R, sabe-se que: h 0 = ; ( ) h é estritamente decrescente no intervalo [ 0, + [ ; h é uma função par Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) h( ) h( ) = 0 (B) h tem um mínimo absoluto para x = 0 (C) h é injetiva (D) h tem exatamente dois zeros

5 Ficha de Trabalho n.º 7 página Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, polinomial do terceiro grau. é um máximo relativo da função f. Seja g a função, de domínio R, definida por g( x) f ( x ) = + 5. Quantos são os zeros da função g? (A) um (B) dois (C) três (D) quatro 0. Na figura está representada, num referencial o.n. xoy, parte da parábola que é o gráfico de uma função f. Sabe-se que o ponto V, vértice da parábola tem coordenadas ( 4, ). Seja g a função definida por ( ) ( ) g x = f x + 5. Qual é o contradomínio de g? (A) [ 3, + [ (B) [ 5, + [ (C) ],7] (D) ],4] 1. Considere a função h, de domínio R, definida por h( x) x 1 4 equações seguintes tem duas soluções distintas? (A) h( x ) = 0 (B) h( x ) = (C) h( x ) = 4 (D) h( x ) = 6. Considere o polinómio ( ) de P( x ) por x + 1 é 4. Qual é o valor de k? (A) 4 (B) = +. Qual das P x = 3x kx + 6x+ 1 k, com k R. O resto da divisão 3. Na figura está representada, num referencial o.n. xoy, parte do gráfico de uma função polinomial f de grau 3, de domínio R. Seja g a função, de domínio R, definida por ( ) ( 3) g x = f x+. Qual dos seguintes pode ser o conjunto dos zeros de g? (A) { 5, 1, } (B) { 1, 5,8} (C) {,,5} (D) { 5,, } 8 3 (C) (D) 4

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7 Ficha de Trabalho n.º 7 página 7 1. Considere os polinómios: GRUPO II A ( x) = 3x x + B ( x) = 3x 3 5x + 3 ( x) = x 1.1. Efetue as seguintes operações: AC + B C A C. 1.. Determine o quociente e o resto da divisão inteira de B ( x) por ( x) A. P x = x x x um polinómio de grau 3.. Seja ( ) Calcule o quociente e o resto da divisão de ( x).. Sem recorrer à calculadora e sabendo que ( x) a inequação P ( x) < Resolva em R a equação suas raízes. x x 5x 0 P por x x 4. P é divisível por x + 1, resolva + + = sabendo que - é uma das 3. Considere a função cúbica definida em R por ( x) = ( x 3x + 1)( x 4) f. Resolva por processos exclusivamente analíticos as seguintes questões: 3.1. Calcule ( 3) f. 3.. Determine os zeros de f Estude o sinal da função. 4. Considere a função polinomial h, do terceiro grau, cujo gráfico está representado na figura abaixo. Sabe-se que 3, 1 e são os zeros da função e que h ( 0 ) = Indique: um intervalo onde a função é decrescente e positiva; os valores de x para os quais h x ; ( ) os valores de x para os quais h( x ) < 0 ; os valores de x para os quais ( x) 0 h. 4.. Escreva uma expressão algébrica que defina a função h Represente graficamente a função h ( x ).

8 5. Considere as funções reais de variável real definidas em IR por: 5.1. Defina a função g por ramos. f( x) = 3 x+ 4 e gx ( ) = x Determine os zeros de cada uma das funções. Ficha de Trabalho n.º 7 página Indique o eixo de simetria e o vértice do gráfico de cada uma das funções e o seu contradomínio Tendo em consideração a informação das alíneas anteriores, represente graficamente a função g Resolva, em IR, as inequações: f( x ) < gx ( ) 5 6. Durante os ensaios de um motor, a velocidade de rotação do seu eixo variou, ao longo dos primeiros oito minutos da experiência, de acordo com a função: ( ) vt = t 15t + 63t onde t designa o tempo (medido em minutos), contado a partir do início da experiência, e vt ( ) designa a velocidade de rotação do eixo do motor (medida em centenas de rotações por minuto). Recorrendo às capacidades da gráfica da calculadora, determine: 6.1. A velocidade atingida ao fim de 150 segundos. 6.. Qual foi a velocidade máxima atingida nos primeiros oito minutos da experiência. Apresente o resultado em centenas de rotações por minuto Determine durante quanto tempo é que, nos primeiros oito minutos da experiência, a velocidade de rotação do eixo do motor foi superior a 6000 rotações por minuto. Escreva o resultado final em minutos e segundos (com o número de segundos arredondado às unidades). Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico obtido, bem como as coordenadas dos pontos relevantes para a resolução do problema (apresente as abcissas com duas casas decimais). P x = x + x + x Considere o polinómio ( ) Mostre que P( x ) é divisível por x Sabendo que P ( 1) = 0, determine o conjunto-solução da inequação P( x) 0.

9 Ficha de Trabalho n.º 7 página 9 8. Na figura estão representados os gráficos de duas funções polinomiais f e g, respetivamente do 3º grau e do º grau, de domínio R Recorrendo somente aos gráficos das funções, indique o conjunto solução das condições: f ( x ) > f ( x) g( x) 8.. Esboce o gráfico da função f ( x 1) Defina analiticamente cada uma das funções. 9. Considere a função h real de variável real definida em R por: ( ) h x 9.1. Calcule o valor de h( 3) h( 5) +. x+ 3 se x 1 =. 4 x x se x> Determine os zeros de h Represente graficamente a função h e indique o seu contradomínio. 10. Decomponha em fatores, do menor grau possível, o polinómio 4 3 P x = 3x + 3x + 6x, sabendo que 1 e P x. ( ) 1 são zeros de ( ) P x = x x x um polinómio de grau Seja ( ) Calcule o quociente e o resto da divisão de ( x) 11.. Sem recorrer à calculadora e sabendo que ( x) a inequação P ( x) < 0. P por x x 4. P é divisível por x + 1, resolva

10 1. Seja f a função, de domínio R definida por ( ) 3 Ficha de Trabalho n.º 7 página 10 f x = x 13x Sem recorrer à calculadora, resolva a inequação f ( x) 0, sabendo que um dos zeros de f é 3. Apresentação o conjunto solução utilizando a notação de intervalos de números reais. 1.. Sejam Q e R os pontos do gráfico de f cujas abcissas são 5 e 0, respetivamente. A reta QR intersecta o gráfico de f em mais um ponto. Designemos esse ponto por P. Determine as coordenadas do ponto P, percorrendo as etapas indicadas a seguir: determine a equação reduzida da reta QR ; recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, visualize o gráfico de f e a reta QR, escolhendo uma janela que lhe permita visualizar também o ponto P ; reproduza, na sua folha de prova, o que visualiza na calculadora, assinalando também os pontos QRe, P ; recorrendo à ferramenta adequada da calculadora, determine as coordenadas do ponto P e indique-as no gráfico que desenhou (as coordenadas do ponto P são números inteiros). 13. A Carla está a participar num concurso de lançamento de papagaios de papel. Admita que a altura, em metros, do papagaio da Carla ao solo, x segundos após o instante indicado pelo júri, é dada por: ax ( ) = 0,001x + 0,08x 0,9x+ 6, com 0 x. Note-se que, a partir do instante em que o papagaio atinge o solo, a altura do papagaio ao solo deixa de ser dada por esta expressão, uma vez que passa a ser (naturalmente) igual a zero Após meio minuto do início da prova, a que altura do solo se encontrava o papagaio da Carla? 13.. No regulamento do concurso, estão as condições de apuramento para a final, que se reproduzem a seguir. Após um certo instante, indicado pelo júri: O papagaio não pode permanecer no ar mais do que um minuto; O papagaio tem de permanecer, pelo menos durante dezoito segundos seguidos, a uma altura superior a dezasseis metros; O papagaio tem de ultrapassar os vinte metros de altura. Deverá a Carla ser apurada para a final? Utilize a calculadora para investigar esta questão. Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explicite as conclusões a que chegou, justificando-as devidamente. Inclua, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilização da calculadora: gráficos e coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas às décimas).

11 Ficha de Trabalho n.º 7 página Considere as funções reais de variável real, f e g, de domínio R, definidas por: f ( x) = x e ( ) g x = x 7x 4. Sem recorrer à calculadora gráfica, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, resolva as três alíneas seguintes: Determine analiticamente os zeros de cada uma das funções. f x g 0. Apresente o conjunto solução utilizando a 14.. Resolva a inequação ( ) ( ) notação de intervalos de números reais Represente graficamente a função f e indique o seu contradomínio. 15. Na figura 4 está representado, num referencial o.n. xoy, o gráfico de uma função 5 f, de domínio [ 3,3], cujos zeros são, 0 e. Figura Indique um intervalo onde a função f seja injetiva, positiva e decrescente Considere a função g definida por g( x) f ( x ) = Descreva as transformações efetuadas no gráfico de f para se obter o gráfico de g Indique o domínio e o contradomínio de g Quais são os zeros da função definida por y= f ( x)? Considere a função h definida por h( x) = f ( x). Relativamente a esta função: Represente-a graficamente Indique os extremos absolutos e os zeros de h.

12 Ficha de Trabalho n.º 7 página Considere a função g, definida em R por: ( ) x 3 4 g x = Determine, por processos analíticos, os zeros de g Determine, sem recorrer à calculadora, o conjunto dos números reais que são soluções da inequação g( x) 6. Apresente a sua resposta na forma de união de intervalos de números reais. 17. Considere os polinómios: 4 3 ( ) = ; B( x) = 4x + 5x 3x 6 e C( x) x 6 A x x x x Calcule A( x) B( x) C( x) =. e escreva o resultado na forma canónica de polinómio reduzido e ordenado Calcule o quociente e o resto da divisão de A( x ) por ( ) Mostre que o polinómio B( x ) é divisível por 3 produto de fatores de grau não superior ao 1º. C x. x + e decomponha-o num 18. Uma bola de ténis é lançada verticalmente, com uma velocidade inicial de 30 metros m/ s. por segundo ( ) As funções a e v dão-nos, respetivamente, a altura e a velocidade instantânea da bola, t segundos após ter sido lançada: ( ) = 4, e vt ( ) 9,8t 30 at t t = +. Resolva os dois itens seguintes, usando exclusivamente métodos analíticos. Nota: a calculadora pode ser utilizada em cálculos numéricos A que altura está a bola ao fim segundos? Qual é a sua velocidade nesse momento? 18.. Qual a altura máxima atingida pela bola? Apresente o resultado aproximado às décimas. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 19. Considere: a função f, de domínio R, definida por f ( x) = x 3 + 5; g x = x 9x + 4x 9. a função g, de domínio R, definida por ( ) Usando exclusivamente métodos analíticos, determine o conjunto dos números reais que são soluções da inequação f ( x) 7. Apresente a sua resposta utilizando a notação de intervalos de números reais.

13 Ficha de Trabalho n.º 7 página Na figura 4, está representada, num referencial o.n. xoy, parte do gráfico da função g. Os pontos A e B pertencem ao gráfico da função g, sendo as suas ordenadas, respetivamente, o máximo relativo e o mínimo relativo desta função. Os pontos C e D pertencem ao eixo Ox. A abcissa do ponto C é igual à do ponto B e a abcissa do ponto D é igual à do ponto A. Figura 4 Utilizando as capacidades gráficas da sua calculadora indique as coordenadas dos pontos,, OAC. ABC e D e determine a área do triângulo [ ] 0. Seja h a função de domínio R definida por ( ) 4 1. h x = x + x 7x x+ 6. O gráfico da função h interseta o eixo das abcissas em quatro pontos, sendo 3 e 1 as abcissas de dois deles. Recorrendo a processos exclusivamente analíticos resolva os dois itens seguintes: Decomponha o polinómio x + x 7x x+ 6 num produto de três polinómios, sendo dois deles do primeiro grau e um do segundo grau. 0.. Determine o conjunto dos valores de x para os quais a função h é negativa. Apresente a sua resposta utilizando a notação de intervalos de números reais.

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