Proposta de teste de avaliação

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1 Proposta de teste de avaliação Matemática 10. O NO DE ESOLRIDDE Duração: 90 minutos Data:

2 Grupo I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. 1. Na figura está representado o triângulo [ ] inscrito numa circunferência de centro O e raio. Sabe-se que [ ] é um diâmetro da circunferência e que = O. O medida da área do triângulo [ ] é igual a: () 3 () 6 () (D) 1. Para cada valor real de p, a epressão: 3 P = 4 + p + é um polinómio do 3.º grau. Sabendo que o polinómio é divisível por +, o valor de p é: () 17 () 15 () (D) O resto da divisão inteira do polinómio P( ) = + 1 pelo polinómio ( ) 1 () 1 () 1 () 0 (D) 3 = + é: 4. Sejam ( ), ( ), Q( ) e R( ) polinómios na variável, tais que Q( ) e R( ) são, respetivamente, o polinómio-quociente e o polinómio-resto da divisão inteira de ( ) por ( ). Sabe-se que o polinómio tem grau 8 e o polinómio Q tem grau.? Qual é o grau do polinómio () 5 () 6 () 8 (D) 10 Proposta de teste de avaliação Matemática, 10. o ano Página

3 5. onsidere, num referencial ortonormado Oy, o ponto P de coordenadas ( 1, k ). Sabe-se que o ponto P pertence ao 4.º quadrante e que a distância de P à origem do referencial é igual a. O valor de k é: () 3 () 3 () 1 (D) 1 Grupo II 1. Na figura está representado o retângulo [ D ]. D Q P Sabe-se que: a medida da área do retângulo [ D ] é igual a ; os pontos P e Q pertencem aos lados [ ] e [ D ], respetivamente, de tal forma que P = e [ PQ ] é um quadrado Mostre que D = Determine. presente o resultado na forma a b com a, b N. 4. onsidere os polinómios ( ) = e = Determine o polinómio-quociente e o polinómio-resto da divisão inteira de ( ) por ( )... De um polinómio P( ), sabe-se que da sua divisão por ( ) se obtém o polinómio-quociente Q( ) = 1 e o polinómio-resto R( ) 4 Determine P( ) na forma de um polinómio reduzido. =. Proposta de teste de avaliação Matemática, 10. o ano Página 3

4 3. onsidere o polinómio Verifique que P = Fatorize P( ). P = Resolva, em R, a inequação P( ) Na figura está representado o triângulo [ ]. Sabe-se que: M = M é o ponto médio de [ ]. 3 s epressões ( ) = e ( ) 1 = + representam, para determinados valores de, a medida da área do triângulo [ ] e a medida do lado [ ], respetivamente. Determine uma epressão H ( ) que represente a medida de [ M ]. FIM otações Grupo I Total Grupo II Total Proposta de teste de avaliação Matemática, 10. o ano Página 4

5 Proposta de resolução Grupo I 1. Um ângulo inscrito numa semicircunferência é um ângulo reto. Logo, o triângulo [ ] é retângulo em. = O = = Pelo Teorema de Pitágoras: = + = + 8 = + = 6 O omo > 0, então = Área[ ] = = = = = = 3 Resposta: () 3. P( ) p = ( ) + = P 1 = p 1 + = p + = 0 p = Resposta: () P( ) = + 1; ( ) = + 1 O resto da divisão inteira de P( ) por + 1 é igual a ( 1) P. 100 P 1 = = = 3 Resposta: (D) 4. Seja a o grau do polinómio ( ) e b o grau de ( ). Se o polinómio tem grau 8, então a + b = 8. Se o polinómio-quociente da divisão inteira de ( ) por a + b = 8 + b + b = 8 b = 6 b = 3 a b = a = + b a = + b a = 5 Se ( ) tem grau 5 e ( ) tem grau 3, então o polinómio Logo, ( ) ( ) ( ) Resposta: (D) = tem grau: = 10 tem grau, então a b =. tem grau 5. Proposta de teste de avaliação Matemática, 10. o ano Página 5

6 5. O ponto P pertence à circunferência de centro na origem do referencial e raio igual a. Uma equação que define a circunferência é Substituindo as coordenadas de P( 1, ) 1 + k = k = 4 1 k = 3 k = ± 3 + y =. k nesta equação, temos: omo o ponto P pertence ao 4.º quadrante, a sua ordenada é negativa. Logo, k = 3. Resposta: () Grupo II Seja P = omo [ PQ ] é um quadrado temos D Q D = = P =. Sabe-se que P =. medida da área do retângulo [ D ], que sabemos ser igual a, é dada por: D = + = = + = omo ± 4 4 ( ) ± ± 1 = = = ± 4 3 ± 3 1± 3 = = = = 1± 3 = P, vem > 0. Logo, = D = = 3 1 P 1.. Pelo Teorema de Pitágoras: = + = = = = 3 1 ( 3 1) ( 3 1) = + + = + = = = 8 Dado que > 0, = 8 =. Proposta de teste de avaliação Matemática, 10. o ano Página 6

7 ( ) = ; = Polinómio-quociente: Polinómio-resto: Q( ) = 1 ; R( ) = 4 ( ) Q( ) P R P( ) = ( ) Q( ) + R( ) ( 4 ) ( 1) ( 4 ) P = + = = = = 4 P 3. 3 P = P = = = omo P = 0, P( ) é divisível por. Usando a regra de Ruffini: = ( )( + 1) = ( )( 1) P Proposta de teste de avaliação Matemática, 10. o ano Página 7

8 3.3. P( ) ( )( ) = 0 = 1 = 0 = ( 1) P( ) { 1} [, + [ P S = { 1} [, + [ 3 4. ( ) = ; ( ) = + 1 M Área de [] = = H ( ) 3 1 ( + ) H ( ) = 3 ( 1) H ( ) ( 3 4) + = + ( 3 + ) 3 4 H ( ) = H ( ) = + 1 ( 4 4) H = + H = M Proposta de teste de avaliação Matemática, 10. o ano Página 8