Proposta de teste de avaliação

Transcrição

1 Matemática 11. O NO DE ESOLRIDDE Duração: 90 minutos Data: MIO 019

2 aderno 1 (é permitido o uso de calculadora) Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identificam a opção escolhida. 1. Fiado um referencial ortonormado do espaço, considere a pirâmide quadrangular regular DV. V Sabe-se que: o ponto tem coordenadas 0,1,5 ; para determinados valores de a, b e c, os pontos V e têm coordenadas a, b,4 e, c,, respetivamente; a reta r, que passa no ponto V e é perpendicular ao plano, D pode ser definida pela equação vetorial, y, z 1,0,0 k,,1, kr 1.1. Determine uma equação cartesiana do plano. 1.. Mostre que a 7, b 8 e c. 1.. Determine um valor aproimado à décima do grau da amplitude do ângulo V Determine o volume da pirâmide.. onsidere o triângulo [] representado na figura. Sabe-se que: 51º 46º 46º 51º Qual é o valor de, arredondado às centésimas? () 7,8 () 7,5 () 7,4 (D) 6,91

3 . onsidere, para um certo número real k, a função f, de domínio R, definida por: f se 0 k 1 1 se 0.1. Determine k sabendo que a função f é contínua em 0... Estude a função f quanto à eistência de assíntota ao respetivo gráfico em. 4. Na figura, está representado um triângulo. Sabe-se que: 60 área do triângulo é igual a: () 0 () 5 () 40 (D) 45 Fim do caderno 1 OTÇÕES (aderno 1) Item otação (em pontos)

4 aderno (não é permitido o uso de calculadora) Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identificam a opção escolhida. 5. De uma sucessão u n sabe-se que: u u u, para todo nn 500 n1 soma dos primeiros 01 termos de u n é igual a () 0 () 00 () 0 (D) 4004 n 6. Num pequeno país com 00 mil habitantes, sabe-se que 5,5 % da população são imigrantes. Tendo-se verificado, nos últimos anos, um acentuado decréscimo da população, o Governo desse país está a desenvolver uma campanha com vista a receber mais imigrantes. dmita que, em resultado dessa campanha, milhares de novos emigrantes passam a viver nesse país mantendo-se estável a população que já aí residia. Seja P a percentagem de população imigrante, após a campanha desenvolvida Mostre que P, sendo o número de novos imigrantes, em milhares Resolva a equação P e interprete a solução no conteto da situação apresentada. 4π 7. Sabendo que arccoscos () 0 () () (D), o valor de tan sin é 4

5 8. Pretende-se vedar um canto de um terreno aproveitando dois muros perpendiculares já eistentes bem como um poste que dista 1 m e m de cada um dos muros, de acordo com o esquema ao lado. Sabe-se que: o triângulo representa o terreno a vedar; o segmento representa a vedação e os segmentos e representam partes dos muros eistentes, sendo 0 y1 y 0, em metros; e o ponto P, que pertence a, representa o poste que dista 1 m de e m de Justifique que y1 (atenda à semelhança dos triângulos). 8.. Mostre que a área do terreno cercado é dada, em função de, por. 8.. Determine as dimensões, e y, para as quais a área do terreno cercado é mínima. y + 1 Muro m P 1 m + Vedação Muro 9. Na figura está uma representação gráfica de uma função racional f, de domínio R \. s retas de equações e y 1 são as únicas assíntotas f y 1 do gráfico de f. O Sabe-se que a equação 5f k é impossível em R. O valor de k é: () 17 () () 1 (D) Fim da prova OTÇÕES (aderno ) Item otação (em pontos) TOTL (aderno1 + aderno) 00 5

6 Formulário Geometria omprimento de um arco de circunferência: r ( - amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r - raio) Área de um polígono regular: Semiperímetro pótema Área de um setor circular: r ( - amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r - raio) Área lateral de um cone: πrg (r - raio da base; g - geratriz) Área de uma superfície esférica: 4πr ( r raio) Volume de uma pirâmide: 1 Área da base ltura Volume de um cone: 1 Área da base ltura Volume de uma esfera: Progressões 4 π r (r raio) Soma dos n primeiros termos de uma progressão u n : Progressão aritmética: u1 u n n n 1r Progressão geométrica: u1 1 r Trigonometria sin sin sin a b c a b c bccos Regras de derivação uv u v u v u v uv u uvuv v v n n 1 u nu u, nr 6

7 Proposta de resolução 1. 0,1,5 ; Va, b,4;, c, r:, y, z 1,0,0 k,,1, kr aderno Dado que a reta r é perpendicular ao plano, o vetor r,,1, vetor diretor da reta r, também é perpendicular a esse plano. Logo, uma equação do plano é do tipo y zd 0. omo o ponto 0,1,5 pertence ao plano, vem 015 d 0 7 d 0 d 7 Portanto, y z7 0 é uma equação do plano. 1.. Va, b,4 é um ponto da reta r. Então a, b,4 1,0,0 k,,1, kr a b,,4 1 k, k, k, kr V a1k a7 a7 b k b8 b 8 4 k k 4 D, c, é um ponto do plano : y z7 0. Então: c70 c6 c V e,, Portanto, 7,8, ,1,5,, 0,1,5,, 8 V V 7,8, 4 0,1,57,7, V V,, 8 7,7, V 6 cosvcos ɵ, V V 6 11 Se cos V, então V 64,8º. 7

8 1 V Área da base ltura 1.4. pirâmide base da pirâmide é o quadrado D em que, como já vimos,,, 0,1,5,, 8 e Se então a área da base é D Área da base 6 altura da pirâmide é MV 0,1,5 ;,, M 0 1 5,, 1,,1 MV V M 1,,1 7,8,4 6, 6, sendo M o centro da base, ou seja, o ponto médio de MV V pirâmide D V M. 180º 46º 51º 8º 8º Pela lei dos senos, temos: sin 51º sin 8º sin 51º b b sin 8º b 7,8 b 8º 46º 51º a Resposta: (). f se 0 k 1 1 se 0.1. f é contínua em 0 se eistir 0 lim f. 8

9 0 0 lim f lim lim lim k k k k lim f lim f Para que eista lim f é necessário e suficiente que: k0 lim f lim f f 0 k k k Portanto, se a função f é contínua em 0 então k... Seja y m b a assíntota ao gráfico de f em, caso eista f m lim lim lim lim lim1lim lim 1 lim blim f m lim 1 1 lim 11 Logo, não eiste assíntota ao gráfico de f em. Se 0, 4. Seja a projeção ortogonal do ponto na reta. Pela definição de produto escalar, Dado que e 60, vem O triângulo é retângulo em. Logo Resposta: () 9

10 aderno 5. u u500 un 1un, nn u 500 n1 u n, nn u n é uma progressão aritmética de razão r, sendo u500 u u 5001 u 00 u 00 u01 u S u u Resposta: () u u nr n 1 1 u1 un Sn n População após a campanha: 00 milhares População imigrante após campanha: 0, , em milhares Total da população P Imigrantes P P P Para que % da população seja constituída por imigrantes, devem aderir à campanha milhares de imigrantes.

11 7. 4π arccoscos, 0, 4π π 1 cos coscos 1 1 arccos cos0, tansin tan sintansin tan sin Resposta: () 8. m e y 1m 8.1. Os triângulos e RP são semelhantes (são triângulos retângulos com um ângulo agudo comum). Logo,. RP R Q m R P 1 m omo y 1, RP 1, e R, temos y 1 y Área do triângulo y1 y1 y1 y11 y y1 y1 1 Portanto,, com 0. 11

12 Se, ց ր y 1. Mín. área é mínima para e y f 5 k 5f k k f 5 O contradomínio de f é R \ 1. Se a equação é impossível, então k 1 k 5 k 5 Resposta: (D) k