FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano de escolaridade Versão 5

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 3.º Teste 0.º Ano de escolaridade Versão 5 Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 0/0/07 É permitido o uso de calculadora científica Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato, na sua forma mais simples. Nota: Evite alterar a ordem das questões. BOM TRABALHO Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /8 Versão 5

2 Considere o polinómio x x x x x x 4 B. QT Polinómios (0).. Indique, justificando, qual é o resto da divisão de x (A) 0 (B) 4 (C) (D) 4 8 O resto da divisão de x B por B por x. x é, pelo Teorema do Resto, Temos B = 4 4 = 4 B. = 8 = 4 8 Opção D (0).. Mostre que é uma raiz simples de B x. é um zero simples de B x se e só se divisão de B x por x, Ou, é um zero simples de x e não é divisível por x B 0 e Q 0, sendo B x se e só se Q x o quociente da B x é divisível por Vamos aplicar a Regra de Ruffini, para, simultaneamente, determinarmos o resto e o quociente = R Como o segundo resto é diferente de zero, Assim, x é uma raiz simples de B x. B x não é divisível por x. (5).3. Decomponha o polinómio B x em fatores do menor grau possível. Da questão anterior ficamos a saber que Bx x x 4 x Q x x x tem zeros: Vejamos se 4 x x 0 x x 0 é uma equação biquadrada 4 x x x x x uma fatorização: Bx x x x 4 x eq. impossível x x Q x x x tem apenas dois zeros reais: - e são zeros do binómio O polinómio 4 Como x não tem zeros reais, a fatorização de B x é x x x x x Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /8 Versão 5

3 (5).4. Resolva, em, a inequação x 0 B. Da questão anterior ficamos a saber que B x x x x x Construamos uma tabela para estudar o sinal de cada um dos fatores que compõem como do seu produto: x x 0 + x x x B x x,, Assim, B x 0 B x, assim (0).5. Escreva um polinómio C x, de grau 3, tal que: QT Polinómios seja divisível por x ; - e sejam raízes de C x; o termo independente seja 3. Como C x é divisível por x, temos Portanto, as raízes de C x são -, e. C 0, isto é, é uma raiz de x Assim, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, o nosso polinómio é da forma:, com a \ 0 C x a x x x Como o pretendemos que o termo independente seja 3, temos C 0 3. C. Assim, C 0 3 a a 3 a4 3 3 a Portanto, C x x x x Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 3/8 Versão 5

4 . Num referencial ortonormado xoy, os pontos, um losango. A e, B são vértices opostos de (0).. Escreva a equação reduzida da circunferência com centro em B e que passa por A. A circunferência tem centro no ponto, B. Assim, o seu raio r AB A equação da circunferência é x y x y 0 0 (5).. Justifique que os restantes vértices do losango pertencem à reta de equação y x. Como A e B são vértices opostos do losango, sabemos que os outros dois vértices pertencem à mediatriz de [AB], pois estão à mesma distância dos vértices A e B (o losango é um quadrilátero com os lados iguais). NOTA: Um esboço do losango ajuda a perceber o problema. Portanto, os outros vértices estão na reta de equação x y x y Simplificando, vem x x y y x x y y x y 4x y 4y 8x y x c.q.m. (5).3. Sabendo que o losango tem 0 unidades de perímetro, determine as coordenadas dos restantes vértices do losango. Sendo Plosango 0, cada lado do losango tem 5 unidades de comprimento. Assim, pretendemos os pontos da reta y x que distam 5 unidades de A e de B. Sendo P um ponto de y x Como PA 5 ou 5 Assim, para, sabemos que as suas coordenadas são da forma Px, x AP vem, x x 5 x x x x x x x 5 5 x temos o ponto 4 para C, ; x temos o ponto D 4,, Sendo estas as coordenadas dos restantes vértices do losango. k (0).4. Considere o ponto E k,. 5 x 4 x Indique, justificando, o valor de k para o qual os vetores AB e BE são colineares. (A) k (B) k (C) k (D) k. k k Temos: AB B A,, 4, e BE E B k,, k, k k Assim, AB e BE são colineares se e só se 4 k k k k k k opção B 4 4 Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 4/8 Versão 5

5 3. Num referencial ortonormado xoy, a equação 75 0 define uma elipse com centro na origem do referencial e vértices nos eixos coordenados. QT GAPlano3 (0) 3.. Diga, justificando, qual das seguintes representa a equação reduzida da elipse. (A) (C) x y (B) 5 5 x y (D) Passemos à equação reduzida: y 5 y x y opção C 5 5 (0) 3.. Determine as coordenadas dos vértices e dos focos da elipse. Temos a 5 b, portanto o semieixo maior é horizontal e a 5 5. Assim, os vértices associados ao eixo maior são A 50, e 50 Como b 5, o semieixo menor é 5 b. B,. Portanto, os vértices associados ao eixo menor são C 0, 5 e 0 5 D,. Para descobrir as coordenadas dos focos, determinemos o valor de c (semidistância focal) Como a b c, vem 5 5 c c 0 c 0 Assim, os focos têm coordenadas F 0, 0 e 0 0 F,. (0) 3.3. No referencial ortonormado xoy da figura do lado está representada a elipse dada. F e F são os focos e P e Q são dois pontos da elipse. Indique, justificando, o perímetro do quadrilátero PFQF. (A) 0 (B) 0 (C) 5 (D) 4 5 Perímetro PFQF PF PF QF QF. Temos, Como se trata de uma elipse de eixo maior horizontal, e P e Q são pontos da elipse, sabemos que PF PF a 5 0, assim como QF QF a 0 Portanto, Perímetro PFQF opção B Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 5/8 Versão 5

6 (0) 3.4. Considere a condição: 75 0 xy 0 Diga, justificando, qual das opções seguintes corresponde à representação desta condição num referencial ortonormado. A condição 75 0 xy 0 representa os pontos do plano que verificam simultaneamente as condições 75 0 e xy 0. Ora, Já xy x 0 y 0 x 0 y 0 x y representa os pontos interiores à elipse. 5 5, isto é, pontos com as duas coordenadas de sinais contrários ou nulas, quer dizer,.º Quadrante e semieixos ou 4.º Quadrante e semieixos. Assim, só a opção B representa a condição dada. 4. Num referencial ortonormado xoy, considere o trapézio [ABCD]. 4p0 Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 6/8 Versão 5

7 (5) 4.. Indique, justificando, o valor lógico de cada uma das proposições. p : k : AB kcd q : A condição que contém o ponto A. r : Se CE PA PB representa o semiplano fechado definido pela mediatriz de [AB] e AB, então AC BE p : k : AB kcd é FALSA Os vetores AB e CD são colineares (as bases do trapézio são paralelas), mas têm sentidos opostos, pelo que k. q : PA PB representa o semiplano fechado definido pela mediatriz de [AB] e que contém o ponto B, pois tal semiplano é formado pelos pontos que estão mais próximos de B. Logo, q é FALSA r : Se CE AB, então AC BE é VERDADEIRA Sendo E um ponto tal que CE AB, temos AC AB BC CE BC BC CE BE (0) 4.. De acordo com o valor lógico encontrado para cada uma das proposições anteriores, Como p indique, apresentando os raciocínios efetuados, o valor lógico da proposição: ~ p r q ~ r F, q F e r V, temos: ~ F V F ~ V ~ F F F V F F (0) 4.3. Seja M o ponto médio de [BC]. Usando cálculo vetorial, mostre que AM DM AB DC. Ad9p07 Temos: AM DM AB BM DC CM = AB DC BM CM = AB DC BM MB pois CM MB (M é o ponto médio de [BC]) = AB DC 0 pois BM MB 0 (vetores simétricos) = AB DC c.q.m. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 7/8 Versão 5

8 (5) 5. Nota: responda apenas a uma das duas questões seguintes, à sua escolha. 5.A. Mostre que os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer são os vértices de um paralelogramo. Seja [ABCD] um quadrilátero qualquer e sejam P, Q, R e S os pontos médios dos lados [AB], [BC], [CD] e [DA], respetivamente, tal como sugere a figura do lado. Pretendemos mostrar que os lados opostos do quadrilátero [PQRS] são paralelos. Usando vetores, isto equivale a mostrar que PQ PS p0 SR e PS QR. Mas, se PQ SR então QR (ver proposição r, alínea 4.), portanto é suficiente mostrar que PQ SR ou PS QR. Traçando a diagonal [AC] do quadrilátero dado temos: PQ = PB BQ = AB BC = AB BC = AC Da forma análoga, mostra-se que SR AC Assim, PQ SR e [PQRS] é um paralelogramo. 5.B. Um polinómio O resto da divisão de P x dividido por x tem quociente Q x por x é. Q x e resto 3. Determine o resto da divisão de P x por x x. p46 Do algoritmo da divisão sabemos que Px x Qx Assim como, Qx x T x, 3, Substituindo Q x na primeira igualdade, vem, Px x x T x 3 Ou seja, Px x x T x x 3 P x x x T x x 3 P x x x T x x Portanto, o resto da divisão de P x por x x é Rx x Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 8/8 Versão 5