FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano de escolaridade Versão 3

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Teste 0.º Ano de escolaridade Versão Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 0/0/07 É permitido o uso de calculadora científica Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato, na sua forma mais simples. Nota: Evite alterar a ordem das questões. BOM TRABALHO Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /8 Versão

2 . Considere os polinómios: Ad9p4CA 4 Bx x x C x x A x x x x (5).. Indique, justificando, o valor lógico de cada uma das proposições seguintes: p : é uma raiz de A x com multiplicidade q : é raiz do polinómio B x r : x : x é raiz de C x p : x está na decomposição de A x, pelo que tem, pelo menos, multiplicidade. Mas também é raiz de Ou, x x x, pois x 0 x x x x Portanto, é uma raiz de multiplicidade, pelo que p é FALSA 0 q : Vejamos se B B = 4 Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /8 Versão = = = 4 4 = 0 Portanto, q é VERDADEIRA r : Vejamos quais são os zeros de C x x 0 x x Portanto, como, r é FALSA (0).. De acordo com o valor lógico encontrado para cada uma das proposições anteriores, Como indique, apresentando os raciocínios efetuados, o valor lógico da proposição: ~ p q ~ q r p F, q V e r F, temos: ~ F V ~ V F ~ F F F V F (0).. Determine um polinómio P x, de grau, tal que: Como P x seja divisível por x ; - e sejam raízes de O termo independente de P x ; P x é divisível por x, temos Portanto, as raízes de P x seja 4. P x são -, e. F P 0, isto é, é uma raiz de P x. Assim, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, o nosso polinómio é da forma: P x a x x x a \ 0, com Assim, P0 4 Portanto, Px x x x P0 4. Ad QTPolinómios Como pretendemos que o termo independente seja 4, temos 4 a a 4 a a 6

3 . Considere o polinómio 5 4 D x x x x. (0).. Indique, justificando, qual é o resto da divisão de D x por x. (A) 0 (B) 4 (C) (D) O resto da divisão de Temos D = D x por x é, pelo Teorema do Resto, 5 4 = = 4 D. Opção B (5).. Decomponha D x em fatores do menor grau possível. Comecemos por calcular os zeros do polinómio. 5 4 x x x 0 x x x x x x x 0 x x 0 x x O polinómio QT Polinómios e 44.4p4 0 Nota: x x x 4 4 x 0 x 0 0 x 0 x x D x tem apenas dois zeros reais: x 0 é um zero triplo x é um zero duplo. Assim, a sua fatorização é Dx x 0 x x x (5).. Resolva a inequação Dx 0. Já sabemos que Dx x x tem apenas dois zeros : 0 e. Construamos uma tabela para estudar o sinal de cada um dos fatores que compõem como do seu produto: D x, assim x 0 x x D x Assim, Dx 0 x 0,, ou S 0, \ Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /8 Versão

4 . Num referencial ortornormado xoy, a equação 0 define uma elipse com centro na origem do referencial e vértices nos eixos coordenados. Ad4p65 (0).. Diga, justificando, qual das seguintes representa a equação reduzida da elipse. (A) (B) (C) (D) 5 0 Passemos à equação reduzida: 0 y 5 opção C 5 0 (0).. Determine as coordenadas dos vértices e dos focos da elipse. Temos a 5 b, portanto o semieixo maior é horizontal e a 5 5. Assim, os vértices associados ao eixo maior são A 50, e 50 Como b 0, o semieixo menor é b. B,. Portanto, os vértices associados ao eixo menor são C 0, 5 e 0 5 D,. Para descobrir as coordenadas dos focos, determinemos o valor de c (semidistância focal) Como a b c, vem 5 0 c c 5 c 5 Assim, os focos têm coordenadas F 50, e 50 F,. (0).. No referencial ortonormado xoy da figura do lado está representada a elipse dada. [PQRS] é um retângulo circunscrito à elipse. Indique, justificando, qual é a área do retângulo [PQRS]. (A) 0 5 (B) 0 (C) 40 5 (D) 40 De acordo com a figura, sabemos que Área PQRS ab 4ab, sendo a e b, respetivamente, os eixos maior e menor da elipse. Logo, Área PQRS u. a. Opção C (0).4. Considere a condição: 0 y x Diga, justificando, qual das opções seguintes corresponde à representação desta condição num referencial ortonormado. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 4/8 Versão

5 A condição 0 y x representa os pontos do plano que verificam simultaneamente as condições 0 e y x. Ora, 0 representa os pontos interiores à elipse. 5 0 Já y x y x 0 y x 0 y x 0 y x 0 y x y x, isto é, retas de coordenadas iguais ou simétricas, quer dizer, as bissetrizes dos quadrantes. Assim, só a opção D representa a condição dada. 4. Num referencial ortonormado xoy, os pontos A, um quadrado. e 4 B, são vértices opostos de (0) 4.. Escreva a equação reduzida da circunferência de diâmetro [AB]. 4 A circunferência tem centro no ponto médio de [AB] M,, 0 Assim, o seu raio AB r ou r AM MB r MB A equação da circunferência é x y 0 0 x y 0. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 5/8 Versão

6 (0) 4.. Justifique que os restantes vértices do quadrado pertencem à reta de equação y x. Como A e B são vértices opostos do quadrado, sabemos que os outros dois vértices pertencem à mediatriz de [AB], pois estão à mesma distância dos vértices A e B (o quadrado tem os lados todos iguais). Portanto, os outros vértices estão na reta de equação x y x 4 y Simplificando, vem x y x y y 8x 6 y 4y x y x c.q.m. (5) 4.. Determine as coordenadas dos restantes vértices do quadrado. Sabemos que tais vértices estão na mediatriz de [AB], reta de equação y x. Mas também são pontos da circunferência de diâmetro [AB], de equação x y 0, pois estão à mesma distância do ponto M, centro do quadrado. Assim, os vértices em falta são os pontos de interseção da mediatriz com a circunferência, que se podem descobrir resolvendo o sistema Substituindo y x y x x y 0 na equação x x x y 0 vem: x x x x x 0x 0 x x x 0 0x 0 x 0 x Portanto, para: x 0 temos 0 y, isto é, o ponto 0, y, ou seja, o ponto, x temos Logo, os restantes vértices do quadrado são os pontos de coordenadas 0 Outro processo: Usar o TPitágoras Sendo, e,. P x, y um ponto da mediatriz, as suas coordenadas são da forma x, x. Assim, resolvendo a equação PA PB AB descobrem-se os valores de x. (5) 4.4. Determine as coordenadas de um vetor v com o mesmo sentido a AB e de norma 5. Um vetor v com o mesmo sentido de AB é da forma v k AB, com k 0. AB B A 4,, 6, Temos Portanto, v k 6, 6k, k v temos k k Como 5 Assim, Portanto, 6 5 k v 6,, 4 4 6k 4k 5 40k 5 5 k 40 Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 6/8 Versão

7 5. Na figura do lado está representado um triângulo [ABC]. 7p0 e 0.p P, Q e R são os pontos médios dos lados a que pertencem. (0) 5.. Diga, justificando, qual das igualdades seguintes é falsa. (A) AB QR PA (B) PQ AP PR (C) AR CQ BP 0 (D) PR QP PC Temos: AB QR AB BP AP PA Falsa PQ AP PQ PA PQ QR PR Verdadeira AR CQ BP AR RP PA AA 0 Verdadeira PR QP PR PQ PR RC PC Verdadeira (0) 5.. Num referencial ortonormado xoy, os pontos P, Q e R têm coordenadas, R, 0. P,, Q e Usando cálculo vetorial, determine as coordenadas dos vértices A, B e C do triângulo. A representação geométrica dá-nos as informações necessárias: Como R, P e Q são os pontos médios dos lados sabemos que formam vetores paralelos ao lado oposto e com metade do seu comprimento. Assim: PA QR e A P QR = P R Q PB RQ e B P RQ = P Q R RC PQ e C R PQ = R P =,, 0, =, =,,, 0 = 4, 0 Q =, 0,, = 0, (5) 6. Nota: responda apenas a uma das duas questões seguintes, à sua escolha. 6.A. Mostre que os pontos médios dos lados de um quadrilátero definem um quadrilátero cujo perímetro é igual à soma das diagonais do quadrilátero dado..p Seja [ABCD] um quadrilátero qualquer e sejam P, Q, R e S os pontos médios dos lados [AB], [BC], [CD] e [DA], respetivamente, tal como sugere a figura. Pretendemos de mostrar que: Perímetro PQRS PQ QR RS SP AC BD Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 7/8 Versão

8 Usando vetores, isto equivale a mostrar que PQ QR RS SP AC BD. Como AC divide o quadrilátero em dois triângulos, sabemos que, PQ = AC e SR AC, pelo facto de P, Q, R e S os pontos médios dos lados. Assim, PQ SR AC AC AC De forma análoga, conclui-se que Portanto, PPQRS AC BD c.q.m. QR PS BD BD BD 6.B. Mostre que o resto da divisão do polinómio Px x x por x R x D x x é. 6p46 Do algoritmo da divisão sabemos que Px DxQx Rx, isto é, sendo Como D x x x x Q x ax b, Rx ax b, pois tem grau inferior ao grau do divisor. x tem dois zeros, e -, sabemos que: 0 P Q R 0 P Q R a b Assim, a b Portanto, Rx x. ab a b b b a b 4 b a b b a Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 8/8 Versão