FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 6

Transcrição

1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 6 Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato. 1. Considere, em, os seguintes conjuntos definidos em compreensão. A x : x 3 B x : x 5 9 x é par C x : x x 6 (15) 1.1. Represente em extensão cada um dos conjuntos. A = x : x 3 =, 1, 0, 1, = 4 6 B = x : x 7 x é par C = x : x x 6 = 3,,, c.a. x 5 9 x 14 x 7 c.a.: x x 6 x 1 14 x6 0 x (15) 1.. Defina, em extensão, cada um dos conjuntos: 1 5 x x 3 x a) A C R: A C b) B C \ A R: B C =, 1, 0, 1,, 3 = =, 4, 6, 3 =,, 3, 4, 6 B C \ A=,, 3, 4, 6\, 1, 0, 1, = 3, 4, 6 c) A\C R: A\C =, 1, 0, 1, \, 3 = 1, 0, 1, Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 1/5 Versão 6

2 (10) 1.3. Indique, justificando, qual das proposições seguintes é verdadeira: (A) x, xb x A Falsa, pois B A (B) x, xc x B Falsa, pois C B (C) x, xb x C Falsa, pois B C (D) x : xc x A Verdadeira, pois C e A. Considere as três proposições seguintes: a: O Vasco pratica voleibol; b: O Vasco não pratica surf; c: O Vasco pratica ténis (10).1. Traduza simbolicamente cada uma das seguintes proposições: a) O Vasco pratica pelo menos um dos desportos: voleibol e surf. R: a ~ b b) O Vasco não pratica surf se e somente se não pratica ténis e pratica voleibol. R: b ~ c a ou b ~ c a (15).. Sabe-se que a proposição a b a c é falsa. Indique o valor lógico das proposições a, b e c, e diga qual ou quais são as modalidades que o Vasco pratica. Explique todos os raciocínios efetuados. Como a b a c é Falsa, sabemos que Mas, se a b F, então, a V e b F. Assim, a c V c só é Falsa se c F. Portanto, a V, b F e c F Logo, o Vasco pratica voleibol e surf (porque b é falsa). Outro processo: Construir uma tabela de verdade a b F e a c F ; (10).3. Diga, justificando, qual é a negação da proposição: «O Vasco pratica voleibol e não pratica ténis». (A) Se o Vasco pratica voleibol, então não pratica ténis; (B) O Vasco não pratica voleibol e pratica ténis; (C) O Vasco pratica voleibol ou não pratica ténis; (D) O Vasco não pratica voleibol ou pratica ténis. Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página /5 Versão 6

3 Simbolicamente, a proposição dada corresponde a a ~ c. Queremos saber qual é a proposição ~ a ~ c. Ora, esta proposição equivale a ~ a c (lei de De Morgan). Assim, a negação da proposição dada é «O Vasco não pratica voleibol ou pratica ténis», opção D 3. Considere as proposições: a: Há números reais que são maiores do que o seu dobro. b: Qualquer número racional é negativo ou o seu quadrado é positivo. (15) 3.1. Escreva em linguagem simbólica cada uma das proposições e indique o seu valor lógico. a: x : x x b:, é uma proposição verdadeira, pois 1 1 x, x 0 x 0 é uma proposição falsa, pois 0 quadrado é positivo., por exemplo. x não é negativo nem o seu (15) 3.. Escreva a negação de cada uma das proposições dadas, em linguagem simbólica e em linguagem natural, sem utilizar o símbolo ~, nem a expressão «Não é verdade que». ~ a : ~ x : x x x, x x Qualquer número real é menor ou igual ao seu dobro. ~ b : ~ x, x 0 x 0 x,~ x 0 x 0 x, x x 0 0 Há números racionais não negativos cujo quadrado é não positivo. (15) 3.3. Sem recorrer a tabelas de verdade, mostre que a proposição seguinte é uma contradição: a a b b ~ a Temos de mostrar que a proposição dada é Falsa, recorrendo às propriedades estudadas, independentemente dos valores lógicos das proposições elementares. a a b b ~ a a ~ a b ~ b ~ a a ~ a a b ~ b ~ a F a b ~ b ~ a a b ~ b ~ a a b ~ b a b ~ a a F b F F F F c.q.m. Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 3/5 Versão 6

4 4. Dados o conjunto U 3, 6, 9, 18 e as condições a x, b x e c x, definidos por: a x : x b x : x x (10) 4.1. Indique, justificando, qual das proposições seguintes é falsa. (A) x, bx ax c x : x 4 (B) x, ax cx (C) x, cx bx (D) x : bx ax As condições b x e cx são equivalentes em também é solução da outra. Logo, a opção C é verdadeira. Assim, qualquer número que satisfaça Todos os números interiores a - transformam D é verdadeira. Portanto, A é falsa., pois qualquer número real que satisfaz uma a x também satisfaz b x e (15) 4.. Classifique, em U, as condições: c x, b x e ~ cx a x c x, ou seja, B é verdadeira. ax em proposições verdadeiras. Logo,. c x é universal em U, pois o quadrado de qualquer elemento de U é superior a 4. b x x x ~ cx ax ~ x 4 x x 4 x, é universal em U, pois toso os seus elementos estão entre - e. elemento de U verifica pelo menos uma das condições. é impossível em U, pois nenhum (15) 4.3. Indique, justificando, o valor lógico das proposições: p : x U : ~ b x q : x U, ~ a x Como ~ b x x é impossível em U, então a proposição p é falsa. Como ~ x x é universal em U, então a proposição q é verdadeira. ~ ax (10) 4.4. Indique, justificando, qual das proposições abaixo não é equivalente à proposição: x U, ~ cx ax Temos x U, ~ cx ax (A) x U, x 4 x (B) x U, x 4 x (C) x U, ~ x 4 x opção A x U, x 4 x opção B x U, x x 4 x U, ~ x ~ x 4 opção C (D) x U, x 4 x só D é Falsa (negação da proposição dada) Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 4/5 Versão 6

5 (10) 5. Sejam p x e q x duas condições possíveis definidas num universo U. Justifique que a condição px qx Como a condição qual pode ser impossível em U. p x é possível em U então existe pelo menos um elemento a de U para o pa é uma proposição verdadeira. Da mesma forma, se a condição de U para o qual q x é possível em U então existe pelo menos um elemento b qb é uma proposição verdadeira. Contudo, a proposição pc qc verdadeiras, pois V V V. só é verdadeira quando as duas proposições elementares são Assim, se não existir em U pelo menos um elemento c que transforme simultaneamente as condições U. p x e qx em proposições verdadeiras a condição px qx é impossível em 6. Considere a proposição seguinte, definida no conjunto dos números naturais. «Se o quadrado de um número natural n é par, então n é par.» (5) 6.1 Escreva a proposição dada em linguagem simbólica. Temos n, n é par n é par (15) 6. Indique o valor lógico da proposição dada, apresentando um contraexemplo, no caso de ser falsa, ou provando-a por contrarrecíproco, caso seja verdadeira. Esta implicação só é falsa se houver algum número ímpar (não par) cujo quadrado seja par, pois só V F F. Por exemplo, 3 é ímpar, mas também 3 é ímpar (3 não é contraexemplo) 7 é ímpar, mas também 7 é ímpar (7 não é contraexemplo) Estes exemplos apontam para a veracidade da proposição dada. Vejamos se a contrarrecíproca é verdadeira: Queremos provar que n, n é ímpar n é ímpar Ora, se n é ímpar então nk 1, para algum k. Assim, n k k k k k e Como, k k k k 1 k k. é um número par, por ser o dobro de k é ímpar (porque está uma unidade acima de um número par). Portanto, a contrarrecíproca é verdadeira, ou seja, a proposição dada é verdadeira. k, sabemos que BOM TRABALHO Prof. José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 5/5 Versão 6