FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 1

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 1 Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato. 1. Considere as três proposições seguintes: a: O João joga futebol; b: O João estuda guitarra; c: O João não pratica natação. (10) 1.1. Escreva em linguagem natural cada uma das seguintes proposições: a) ~ a b O João não joga futebol e estuda guitarra. b) b ~ a c O João estuda guitarra se e só se não joga futebol ou pratica natação: b ~ a ~ c O João estuda guitarra se e só se não é verdade que joga futebol e não pratica natação. (10) 1.. Diga, justificando, qual das proposições abaixo é equivalente à proposição: «Se o João joga futebol, então não pratica natação» (A) O João não joga futebol ou pratica natação. (B) O João joga futebol e pratica natação. (C) Se o João não pratica natação, então joga futebol. (D) Se o João pratica natação, então não joga futebol. Simbolicamente, a proposição dada corresponde a a c. Sabemos que a c ~ a c, mas não está representada. Como a c ~ c ~ a, isto corresponde à proposição D. Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 1/5 Versão 1

2 (15) 1.3. Sabe-se que a proposição a b a c é falsa. Indique o valor lógico das proposições a, b e c, e diga qual ou quais são as atividades que o João pratica. Explique todos os raciocínios efetuados. Como a b a c é Falsa, sabemos que a b F e a c F ; Mas, se a c F, então temos a V e c F. Portanto, a b V b só é Falsa se b F. Assim, a V, b F e c F Outro processo: Construir uma tabela de verdade, pelo que o João joga futebol e pratica natação.. Considere as proposições: a: O quadrado de qualquer número racional é positivo. b: Há pelo menos um número inteiro entre 5 e. (15).1 Escreva em linguagem simbólica cada uma das proposições e indique o seu valor lógico. a:, x 0 é uma proposição falsa, pois 0 0. b:, 5 x, é uma proposição verdadeira, pois 53. (15). Escreva a negação de cada uma das proposições dadas, em linguagem simbólica e em linguagem natural, sem utilizar o símbolo ~, nem a expressão «Não é verdade que». ~ a : ~ x, x 0, x Existe pelo menos um número racional cujo quadrado é não positivo. ~ b : ~, 5 x x, ~ 5 x x 0, x 5 x Todos os números inteiros são menores ou iguais 5 e maiores ou iguais a. (10).3 Usando as propriedades das operações lógicas, mostre que Comecemos por simplificar ~ b ~ b a, até obtermos a proposição b. ~ b ~ b a b. Temos: ~ b ~ b a ~ b ~ ~ b a ~ b b ~ a ~ ~ b b ~ a b b ~ a b V b ~ a b V ~ a b V b c.q.m. Nota: Construir uma tabela de verdade para mostrar que as colunas ~ b ~ b a e b são equivalentes é um método válido. No entanto, a questão diz para usar as propriedades. Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página /5 Versão 1

3 3. Dado o conjunto U 3, 5, 7, 9, 11 e as condições a x e a x : x é múltiplo de 3. b x : O valor absoluto de x é menor do que 3. (15) 3.1 Classifique, em U, as condições a x, b x e a ~ b x a x é possível em U porque a 3 e 9. a são verdadeiras em U. b x, definidos por: b x é impossível em U porque nenhum objeto de U tem valor absoluto inferior a 3. ~ b a x com uma universal, a x é possível em U, porque a conjunção de uma condição possível, ~ b, é uma condição possível. a x, (15) 3. Indique, justificando, o valor lógico das proposições: p : U : ~ a x U : x não é multiplo de 3 é verdadeira, pois 5, 7 e 11 não são múltiplos de 3. q : U, a b U : x é múltiplo de 3 x 3 é falsa pois todos os elementos de U que são múltiplos de 3 têm valor absoluto superior ou igual a 3 (V F F). (10) 3.3 Indique, justificando, qual das condições abaixo é a contrarrecíproca da proposição q. (A) U, x 3 x é múltiplo de 3 (B) U, x é múltiplo de 3 x 3 (C) U, x 3 x não é múltiplo de 3 (D) U: x 3 x não é múltiplo de 3 A contrarrecíproca da proposição U, x é múltiplo de 3 x 3 é 3 3 U, ~ x ~ x é múltiplo de, isto é, U, x 3 x não é múltiplo de 3 ou, escrevendo a implicação como disjunção, U, x 3 x não é múltiplo de 3 opção C (10) 3.4 Escreva na forma de uma proposição quantificada em U Como temos a conjunção da comparação de cada elemento de U com a sua terça parte, uma x proposição quantificada em U é U, x. 3 Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 3/5 Versão 1

4 4. Considere os seguintes conjuntos definidos em compreensão. A x : ~ x 4 B x x : 16 C x : 5 x 4 (10) 4.1. Represente em extensão cada um dos conjuntos dados. : 4 = 1,, 3, 4 c.a. A x x 4 = 44, B x : x c.a. 5 4 = 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4 C x : x ~ x 4 x 4 x 16 x 4 (15) 4.. Defina, em extensão, cada um dos conjuntos: a) A C R: AC 1,, 3, 4 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4 1,, 3, 4 b) A B \C R: A B \C 4, 1,, 3, 4\ 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4 c) C\ A R: C\ A 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4\ 1,, 3, 4 4, 3,, 1, 0 (10) 4.3. Indique, justificando, qual das proposições seguintes é falsa: (A), xb x c.a. B, Verdadeira (B), xc x B c.a. 0 C e 0 B, Falsa c.a. 44 (C) x, x B x C (D), x A x C c.a. A C, Verdadeira, C, temos B C, Verdadeira (10) 4.4. Sejam D e E dois subconjuntos diferentes de tais que D E, com E. Diga, justificando, qual das proposições seguintes é falsa: (A) DE D (B) DE E (C) E\ D (D) D E E\ D Como D E, temos DE D, DE E e D E E\ D, apenas C é Falsa. Ou, E\ D, pois D E e D E, isto é, E tem mais elementos. Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 4/5 Versão 1

5 (10) 5. Sejam p x e Sabe-se que a condição q x duas condições definidas num universo U. p x é possível. Justifique que a condição p q Como a condição verdadeira. Assim, a proposição pa qa é possível em U. p x é possível, existe em U um objeto a tal que pa é uma proposição também é verdadeira, pois V q V, qualquer que seja o valor lógico de q (V é o elemento absorvente da disjunção). Como existe em U pelo menos um objeto a tal que pa qa podemos concluir que a condição p q é possível em U. é uma proposição verdadeira, 6. Considere a proposição seguinte, definida no conjunto dos números naturais. «Se o triplo de um número natural n é ímpar, então n é ímpar.» (5) 6.1 Escreva a proposição dada em linguagem simbólica. Temos n, 3n é impar n é impar (15) 6. Indique o valor lógico da proposição dada, apresentando um contraexemplo, no caso de ser falsa, ou provando-a por contrarrecíproco, caso seja verdadeira. Esta implicação só é falsa se houver algum número par cujo triplo seja ímpar, pois só V F F. Por exemplo, 4 é par, mas 1 também é par (4 não é contraexemplo) 6 é par, mas 18 também é par (6 não é contraexemplo) Estes casos apontam para a veracidade da proposição dada. Vejamos se a contrarrecíproca é verdadeira: Queremos provar que n, n é par 3n é par Ora, se n é par então n k, para algum k. Assim, 3n 3k 3k e 3k. Portanto, 3n é par (porque é o dobro de 3k ). Como a contrarrecíproca é verdadeira então a condição dada é verdadeira. BOM TRABALHO Prof. José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 5/5 Versão 1