FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano Versão 3

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A º Ano Versão Nome: Nº Turma: Aprete o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias Quando, para um resultado, não é pedida uma aproimação, pretende-se sempre o valor eato Sabe-se que, é uma solução da equação (0) Relativamente ao ângulo, diga, justificando, qual das afirmações seguintes é verdadeira (A) e tan (B) (C) (D) Como º Q (o negativo), o seu o também é negativo Portanto, opção (B), donde Nota: 9 6 (0) Indique, justificando, qual das epressões seguintes repreta uma solução da equação (A) (B) (C) (D) Como é uma solução da equação, sabemos que Agora só temos de verificar qual das epressões dadas é equivalente a Ficha de avaliação da Matemática A º Ano Página /6 Versão

2 (A) Falsa (B) Falsa (C) (D) Falsa Verdadeira (0) Escreva a epressão geral das soluções da equação Efetue os arredondamentos para casas decimais Para descobrir um ângulo com o recorremos à função inversa do o (calculadora), 0 6 (cd) é o maior ângulo negativo que é solução da equação (ver figura ao lado) Portanto, a epressão de todas as soluções da equação é: 0, 6 k 0, 6 k, k 0, 6 k, 98 k, k, em radianos Na figura seguinte estão repretados o círculo trigonométrico e um triângulo [OBC] O ponto B desloca-se sobre a circunferência, no primeiro quadrante C é o ponto de interseção do círculo trigonométrico com o referencial () Sendo a amplitude, em radianos, do ângulo AOB, mostre que a área do triângulo é dada por A A A área do triângulo é dada por OCh Temos OC raio e h CB, do C o pé da altura Portanto, A cqm, do h a altura em relação à base [OC] Ficha de avaliação da Matemática A º Ano Página /6 Versão

3 (0) Sabendo que tan, determine a área do triângulo Como A, para calcular a área precisamos de conhecer Efetuando a redução de tan, obtemos, ou seja, tan Para descobrir o o temos de recorrer a uma fórmula secundária tan Dividindo por obtemos, Portanto, 6 Como º Q, temos Assim, A = = = 68 unidades de área (0) Determine o perímetro do triângulo [OBC] para Como o triângulo é isósceles ( OB OC raio ), o seu perímetro é BC OC Como estamos no círculo trigonométrico, OC OC Para calcular BC BC podemos usar o T Pitágoras ou calcular diretamente a distância entre B e C: 9 BC = = = Assim, 0 6 Portanto, o perímetro do triângulo BC OC unidades de medida () Partindo de um triângulo equilátero de lado, mostre que 6 Nota: Eplique detalhadamente todos os raciocínios efetuados até chegar à conclusão pretendida Sendo ABC um triângulo equilátero, os seus ângulos internos também são todos iguais Neste caso, cada ângulo interno tem 80 º 60º ou radianos Ficha de avaliação da Matemática A º Ano Página /6 Versão

4 Traçando uma das alturas do triângulo, dividimo-lo em dois triângulos retângulos congruentes (a altura é sempre perpendicular ao lado oposto) Assim, cada um destes 60 triângulos tem ângulos de 0º, 60º e 90º, do º 6 0º Como já temos triângulos retângulos podemos usar as definições de razões trigonométricas Estamos interessados em conhecer Para isso necessitamos de conhecer a medida 6 do cateto adjacente a este ângulo Pelo teorema de Pitágoras temos h h h h h h Como h é um comprimento, só nos interessa h Assim, 6 cqm Na figura seguinte está repretado um triângulo ABC, cujos ângulos têm amplitudes, e + () Partindo da relação entre os ângulos internos do triângulo, prove que: Como a soma dos ângulos internos do triângulo é 80º, sabemos que Portanto, Assim, aplicando a razão o temos Simplificando, cqm () Mostre que, qualquer que seja o ângulo k, k, é válida a igualdade: tan Ficha de avaliação da Matemática A º Ano Página /6 Versão

5 Este eercício pode ser resolvido, pelo menos, por dois processos: º processo: Partir do primeiro membro para o segundo (ou vice-versa) tan cqm (pois º processo: Trabalhar ambos os membros e ) tan tan PV Portanto a igualdade inicial é verdadeira º processo: Partir da fórmula fundamental da trigonometria tan tan cqm dividindo por ; simplificando; isolando tan (0) Indique, justificando, a afirmação verdadeira para todo o número real (A) (B) (C) (D) Simplifiquemos cada uma das epressões (até obter a verdadeira): (A) Falsa (B) Falsa (C) Falsa Verdadeira (D) Nota: (A) e (C) nunca seriam verdadeiras porque o sinal entre as parcelas não está ao quadrado A seguir encontra-se uma repretação gráfica da função f, de domínio, definida por f Ficha de avaliação da Matemática A º Ano Página /6 Versão

6 () Mostre, usando a definição de função periódica, que f tem período Se f tem período p, então f p f, Df (Definição) Ora, f p f p p p p Como o período da função o é temos, ou seja, p Portanto, f tem período (0) Determine, analiticamente, a epressão geral dos zeros de f Para descobrir os zeros temos de resolver a equação f 0 0 k, k k, k A epressão geral dos zeros de f é k, k () Determine, analiticamente, as soluções da equação, f f que estão no intervalo Graficamente, vemos que esta equação tem apenas duas soluções no intervalo dado Analiticamente, a equação pode ser resolvida por dois processos: º processo: simplificar a epressão f f º processo: Começar por calcular f f f k, k k, k f f k, k k, k Para determinar as soluções que estão em, damos valores a k, até obtermos soluções neste intervalo k k 9 7 k As soluções da equação no intervalo, são apenas e BOM TRABALHO! Prof José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A º Ano Página 6/6 Versão