Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de. Aula 01. Projeto GAMA

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1 Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Funções trigonométricas, eponenciais e logarítmicas Aula 0 Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática 08/

2 Trigonometria no Triângulo Retângulo Considere o triângulo retângulo a seguir Ângulo interno relativo ao vértice B Vértice B Hipotenusa Cateto Oposto ao ângulo α B c β Ângulo reto a Ângulo interno relativo ao vértice C Cateto Adjacente ao ângulo β A b α C Vértice A Cateto Oposto ao ângulo β Cateto Adjacente ao ângulo α Vértice C

3 Trigonometria no Triângulo Retângulo B c β a A b sin α = cos β sin α = cos(90 α) α + β = 90 β = 90 α α C cos α = sin β cos α = sin(90 α) Razão Tangente Divisão do cateto oposto pelo cateto adjacente tan α = c b cot α = b c tan β = b c Razão Cotangente Divisão do cateto adjacente pelo cateto oposto cot β = c b Razão Seno Divisão do cateto oposto pela hipotenusa Razão Secante Divisão da hipotenusa pelo cateto adjacente sin α = c a sin β = b a sec α = a b sec β = a c Razão Cosseno Divisão do cateto adjacente pela hipotenusa Razão Cossecante Divisão da hipotenusa pelo cateto oposto cos α = b a cos β = c a csc α = a c csc β = a b

4 Trigonometria no Triângulo Retângulo Razão Seno Divisão do cateto oposto pela hipotenusa Razão Secante Divisão da hipotenusa pelo cateto adjacente sin α = c a sin β = b a sec α = a b sec β = a c Razão Cosseno Divisão do cateto adjacente pela hipotenusa Razão Cossecante Divisão da hipotenusa pelo cateto oposto cos α = b a cos β = c a csc α = a c csc β = a b Razão Tangente Divisão do cateto oposto pelo cateto adjacente tan α = c b cot α = b c tan β = b c Razão Cotangente Divisão do cateto adjacente pelo cateto oposto cot β = c b B c β a A b sin α = cos β sin α = cos(90 α) α + β = 90 β = 90 α α C cos α = sin β cos α = sin(90 α)

5 Trigonometria no Triângulo Retângulo Eemplo. Considerando o triângulo abaio, determine as razões trigonométricas pedidas B (a) sin α (e) sin β β 5 (b) cos α (f) cos β (c) tan α (g) cot β α (d) sec α (h) csc β A C + = = 5 = = Solução: (a) sin α 5 (e) sin β 5 (b) cos α 5 (f) cos β 5 (c) tan α (g) cot β (d) sec α 5 (h) csc β 5

6 Trigonometria no Triângulo Retângulo Observações Importantes tan α = cot α = sin α cos α cos α sin α pois: pois: sin α cos α = cos α sin α = c a b a b a c a = c a a b = c b = b a a c = b c = tan α = cot α B c A a b α C cot α = tan α pois: tan α = c b = b c = cot α sec α = cos α csc α = sin α pois: pois: cos α = b a sin α = c a = a b = a c = sec α = csc α

7 Trigonometria no Triângulo Retângulo sin α + cos α = pois: Dividindo ambos os lados por a : b a + c a = a a Propriedades das potências: b a Portanto: Ou seja: + c a = cos α + sin α = sin α + cos α = Observações Importantes + tan α = sec α cot α + = csc α Teorema de Pitágoras: b + c = a Dividindo ambos os lados por b : b b + c b = a b Propriedades das potências: Portanto: + c b = a b + tan α = sec α B c A b a b α C Dividindo ambos os lados por c : c + c c = a c Propriedades das potências: b c Portanto: + = a c cot α + = csc α

8 Razões trigonométricas especiais sin 0 = cos 0 = tan 0 = sin 0 = cos 0 = tan 0 = Considere o triângulo equilátero de lado unitário abaio: h = = h + Razões trigonométricas para 0 e h 0 0 h = sin 0 = 0 h = = tan 0 = 0 cos 0 = = = = sin 0 = cos 0 = tan 0 = = = = = =

9 Razões trigonométricas especiais sin 5 = cos 5 = tan 5 = Razões trigonométricas para 5 Considere o triângulo retângulo isósceles abaio: a = 5 a = + a a = Seno Cosseno Tangente 5 (teorema de Pitágoras) a = Tabela das trigonométricas especiais sin 5 = = cos 5 = = tan 5 = =

10 O ciclo trigonométrico Considere uma circunferência de raio unitário (r = ) com centro na origem do plano cartesiano. Fie os pontos O(0,0) e A(,0). Cada ponto P sobre esta circunferência determina um ângulo = AOP. Estes ângulos podem ser medidos no sentido positivo (anti-horário) ou negativo (horário). Assim, a circunferência é chamada de Ciclo Trigonométrico. r = O P Sentido positivo A r = O A Sentido negativo P

11 Arcos e Ângulos no Ciclo Trigonométrico Conversão 80 radianos graus 0 70 Eemplo: Complete a tabela Graus Radianos Graus Radianos

12 Trigonometria no Ciclo Trigonométrico Note que, cada arco está associado a um ponto P(a, b) no plano, chamado de etremidade do arco. r = b O Etremidade do arco P a, b a A Arco O arco de 90 está associado à etremidade (0,) 0 O arco de 0 está associado à etremidade (,0) 0 Abscissa P(a, b) Ordenada O arco de 80 está associado à etremidade (,0) 70 O arco de 70 está associado à etremidade (0, )

13 Imagem dos arcos especiais no ciclo 5 7 Etremidade do arco e de seus correspondentes nos demais quadrantes:,,,,, 5 7, , 0,

14 Imagem dos arcos especiais no ciclo Etremidade do arco e de seus correspondentes nos demais quadrantes:,,, , 0 5 7,, 5, 7,

15 Imagem dos arcos especiais no ciclo Etremidade do arco e de seus correspondentes nos demais quadrantes:,, 5,,,,, , 0

16 Arcos côngruos Note que, no ciclo trigonométrico, nada impede que um arco seja maior que uma volta completa, tanto no sentido positivo quanto no sentido negativo. Por eemplo, o arco de 90 é um arco equivalente a uma volta completa (0 ) mais um arco de 0. Note que os arcos de 0 e de 90 determinam a mesma etremidade no ciclo! Dois arcos α e α são ditos côngruos ou congruentes se ambos possuem a mesma etremidade (mesma abscissa e mesma ordenada) no ciclo trigonométrico. Isto significa, em outras palavras, que α e α se diferenciam apenas por um certo número de voltas completas. 0 90

17 Arcos côngruos Note que, fiando um arco α 0, a epressão geral que define todos os demais arcos congruentes a α 0 é dada por Arcos dados em graus α = α 0 + k (0 ) Arcos dados em radianos α = α 0 + k () Número de voltas completas Número de voltas completas Eemplo. Em cada caso, determine a epressão geral do arco dado. (a) 50 (b) Solução: (a) 50 + k (0 ) (b) + k = + k

18 Menor determinação positiva A menor determinação positiva de um arco α é o menor arco, congruente a α tal que 0 α < 0 (graus) ou 0 α < (radianos). Arco dado em graus α = α 0 + k (0 ) Arco dado em radianos α = α 0 + k () Primeira determinação positiva 0 α 0 < 0 Número de voltas completas Primeira determinação positiva 0 α 0 < Número de voltas completas Nas epressões acima, k é um número inteiro k Z. k > 0 indica n voltas no sentido anti-horário (sentido positivo do ciclo); k < 0 indica n voltas no sentido horário (sentido negativo do ciclo).

19 Menor determinação positiva Eemplo. Em cada caso, encontre a menor determinação positiva do arco. (a) 90 (b) 80 (c) 0 (d) 7 (e) Solução: (d) (a) 90 = 0 + (0 7 ) = 5 + () Primeira determinação positiva Uma volta no sentido anti-horário (b) 80 = 0 + (0 ) Primeira determinação positiva Duas voltas no sentido anti-horário (c) 0 = 0 (0 ) Primeira determinação positiva (e) Uma volta no sentido anti-horário = () Primeira determinação positiva Três voltas no sentido horário Primeira determinação positiva Uma volta no sentido horário

20 Eercícios Propostos

21 Eercícios ) Em cada caso, determine os valores de, y e z. Resp.: = 0 y = z = 0 ) Determine o valor de. = ( + )

22 Eercícios ) Considerando o arco representado no ciclo trigonométrico abaio, determine e represente no ciclo os arcos e as respectivas coordenadas correspondentes ao arco nos demais quadrantes: a, b Correspondente de no segundo quadrante a, b a, b a, b Correspondente de no terceiro quadrante + a, b Correspondente de no quarto quadrante a, b b b a α α α a b 0 α b + a, b a, b

23 Eercícios ) Em cada caso, encontre a menor determinação positiva do arco dado. (a) 05 (b) 80 (c) 0 (d) 9 (e)

24 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem ser encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo, Cálculo A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 0 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 5 vezes dentro do mesmo semestre letivo.

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26 Seno e cosseno no ciclo trigonométrico Lembre que, para cada arco, o ciclo trigonométrico associa um ponto P(a, b) do plano cartesiano, chamado de etremidade do arco. b Etremidade do arco P a, b a b sin b Etremidade do arco P cos, sin r = a 0 sin = b = b cos = a = a r = a 0 cos sin A abscissa de P é igual ao cosseno do arco e a ordenada de P é igual ao seno do arco. cos

27 Seno dos arcos notáveis seno seno 5 7 Arco 0 seno seno Arco 5 7 Valor do seno

28 Seno dos arcos notáveis seno seno 5 Arco 7 seno 0 seno Arco 5 7 Valor do seno

29 Seno dos arcos notáveis seno Arco seno 0 Arco 5 Valor do seno seno 5 seno

30 Função seno GEOGEBRA - Seno

31 Função seno Definição. A função f R R dada por f = sin é chamada de função seno. y Gráfico da função seno 5 Domínio D(f) = R Imagem Im f = [,] Período P(f) =

32 Função seno sin Primeiro quadrante sin 0 = 0 sin = sin = 0 y Segundo quadrante sin 5 sin = sin Terceiro quadrante sin = 5 7 sin Quarto quadrante

33 Técnicas para esboço de gráficos Inverte horizontalmente o gráfico se m < 0. Alonga ou comprime horizontalmente o gráfico. Desloca horizontalmente o gráfico. f() = a sin m + n + b Alonga ou comprime verticalmente o gráfico. Inverte verticalmente o gráfico se a < 0. Desloca verticalmente o gráfico.

34 Deslocamento vertical para cima Eemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função f() = sin + Solução: Deslocamento vertical do gráfico da função seno em três unidades para cima. y y = sin y = sin + 5 D f = R Im f =, P f =

35 Deslocamento vertical para baio Eemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função f() = sin Solução: Deslocamento vertical do gráfico da função seno em uma unidade para baio. y y = sin y = sin 5 D f = R Im f =,0 P f =

36 Alongamento vertical Eemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função f() = sin Solução: Alongamento vertical do gráfico da função seno pelo fator. y y = sin y = sin 5 D f = R Im f = [,] P f =

37 Compressão vertical Eemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função f() = sin Solução: Compressão verticalmente o gráfico da função seno pelo fator. y y = sin y = sin 5 D f = R Im f =, P f =

38 Refleão em relação ao eio horizontal Eemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função f() = sin Solução: Reflete o gráfico da função seno em relação ao eio horizontal. y y = sin y = sin 5 D f = R Im f =, P f =

39 Deslocamento horizontal para a esquerda Eemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função f() = sin + Solução: Deslocamento horizontal do gráfico da função seno em para a esquerda. y y = sin y = sin + 5 D f = R Im f =, P f =

40 Deslocamento horizontal para a direita Eemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função f() = sin Solução: Deslocamento horizontal do gráfico da função seno em unidades para a direita. y y = sin y = sin 5 D f = R Im f =, P f =

41 Compressão horizontal Eemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função f() = sin Solução: Compressão horizontal do gráfico da função seno pela metade. y y = sin y = sin 5 D f = R Im f =, P f =

42 Alongamento horizontal Eemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função f() = sin Solução: Alongamento horizontal do gráfico da função seno em dobro. y y = sin y = sin 5 D f = R Im f =, P f =

43 Refleão em relação ao eio vertical Eemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função f() = sin Solução: Refleão do gráfico da função seno em relação ao eio vertical. y y = sin y = sin 5 D f = R Im f =, P f =

44 Eemplo Eemplo. Esboce o gráfico da função f = sin + + Solução: f = sin + + Deslocamento vertical do gráfico da função seno em unidade para cima. Alongamento vertical do gráfico da função seno em dobro. y Deslocamento horizontal do gráfico da função seno em unidades para a esquerda. y = sin y = sin + + 5

45 Função cosseno GEOGEBRA - Cosseno

46 Função cosseno Definição. A função f R R dada por f = cos é chamada de função cosseno. y Gráfico da função cosseno 5 Domínio D(f) = R Imagem Im f = [,] Período P(f) =

47 Cosseno dos arcos notáveis cosseno cosseno 5 7 Arco 0 cosseno cosseno Arco 5 7 Valor do cosseno

48 Cosseno dos arcos notáveis cosseno cosseno 5 Arco 7 cosseno 0 cosseno Arco 5 7 Valor do cosseno

49 Cosseno dos arcos notáveis cosseno Arco cosseno 0 Arco 5 Valor do cosseno cosseno 5 cosseno

50 Função cosseno cos Primeiro quadrante y cos = 0 cos 0 = cos = 0 cos Quarto quadrante 5 7 cos = 5 cos Segundo quadrante cos = 7 5 cos Terceiro quadrante

51 Eemplo Eemplo. Esboce o gráfico da função f = cos Solução: f = cos Deslocamento vertical do gráfico da função cosseno em unidade para baio. Refleão do gráfico da função cosseno em relação ao eio vertical. y Compressão horizontal do gráfico da função cosseno pela metade. y = cos y = cos 5

52 Eercícios Propostos

53 Eercícios ) Esboce o gráfico das funções trigonométricas, e determine o período (T), amplitude (A), domínio e imagem das funções: a) y = + sin T = A = D f = R Im f = [,] b) y = sin T = A = D f = R Im f = [,] c) y = cos(0,5) d) y = sin e) y = cos + T = A = D f = R Im f = [,] T = A = D f = R Im f = [,] T = A = D f = R Im f = [,]

54 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem ser encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo, Cálculo A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 0 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 5 vezes dentro do mesmo semestre letivo.

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56 Tangente no ciclo trigonométrico Lembre que, para cada arco, o ciclo trigonométrico associa um ponto P(a, b) do plano cartesiano, chamado de etremidade do arco. b m m b tan r = a 0 tan = m = m r = a 0 Eio das tangentes

57 Tangente no ciclo trigonométrico Arco e de seus correspondentes nos demais quadrantes. Arco 5 7 Valor da tangente 5 7 0

58 Tangente no ciclo trigonométrico Arco e de seus correspondentes nos demais quadrantes. Arco 5 7 Valor da tangente 5 7 0

59 Tangente no ciclo trigonométrico Arco e de seus correspondentes nos demais quadrantes. Arco 5 Valor da tangente 0 5

60 Função tangente GEOGEBRA - Tangente

61 Função tangente Definição. A função f dada por é chamada de função tangente. f = tan y Gráfico da função tangente y = tan 5 Lembre que: sin tan = cos Domínio D(f) = R + k; k Z Imagem Im f = R Período P(f) = Assíntotas = + k; k Z

62 Função tangente Segundo quadrante tan Primeiro quadrante y tan 5 tan Terceiro quadrante 7 5 tan = 0 tan 0 = 0 tan = 0 A tangente não está definida (Assíntota vertical) 5 7 tan Quarto quadrante

63 Eemplos Eemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período e as assíntotas da função f() = tan + Solução: Deslocamento vertical do gráfico da função tangente em uma unidade para cima. y 5 y = tan y = tan + D(f) = R + k; k Z Im f = R P f =

64 Eemplos Eemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período e as assíntotas da função f() = tan + Solução: Deslocamento horizontal do gráfico da função tangente em uma unidades para a esquerda. y 5 D(f) = R k; k Z Im f = R y = tan y = tan + P f =

65 Cotangente no ciclo trigonométrico Lembre que, para cada arco, o ciclo trigonométrico associa um ponto P(a, b) do plano cartesiano, chamado de etremidade do arco. b m Eio das cotangentes b cot r = a 0 r = a 0 m cot = m = m

66 Cotangente no ciclo trigonométrico Arco e de seus correspondentes nos demais quadrantes. Arco 5 7 Valor da cotangente 5 0 cot = tan = = = 7

67 Cotangente no ciclo trigonométrico Arco e de seus correspondentes nos demais quadrantes. Arco 5 7 Valor da cotangente 0 cot = tan = = 5 7

68 Cotangente no ciclo trigonométrico Arco e de seus correspondentes nos demais quadrantes. Arco 5 Valor da cotangente 0 cot = tan = = 5

69 Função cotangente GEOGEBRA - Cotangente

70 Função cotangente Definição. A função f dada por é chamada de função cotangente. f = cot y Gráfico da função cotangente y = cot 5 Lembre que: Domínio Imagem Período Assíntotas cot = cos sin D(f) = R k; k Z Im f = R P(f) = = k; k Z

71 Função cotangente Segundo quadrante cot Primeiro quadrante y cot 5 cot Terceiro quadrante 7 5 cot = 0 tan = 0 A cotangente não está definida (Assíntota vertical) 5 7 cot Quarto quadrante

72 Eercícios Propostos

73 Eercícios ) Esboce o gráfico das funções trigonométricas, e determine o período (T), o domínio e imagem das funções: a) y = tan + T = D f = R + k ; k Z Im f = R b) y = tan D(f) = R + k ; k Z T = Im f = R c) y = cot + T = Im D(f) = R + k; k Z ; f = R d) y = cot T = D(f) = R k; k Z Im f = R

74 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem ser encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo, Cálculo A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 0 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 5 vezes dentro do mesmo semestre letivo.

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76 Secante no ciclo trigonométrico Lembre que, para cada arco, o ciclo trigonométrico associa um ponto P(a, b) do plano cartesiano, chamado de etremidade do arco. b b sec r = a 0 r = a 0 m m Hipotenusa sec = Cateto adjacente = m = m

77 Secante no ciclo trigonométrico Arco e de seus correspondentes nos demais quadrantes. sec = Arco 5 7 Lembre que: cos = = = Valor da secante 5 7 0

78 Secante no ciclo trigonométrico Arco e de seus correspondentes nos demais quadrantes. sec = Lembre que: cos = = = Arco Valor da secante

79 Secante no ciclo trigonométrico Arco e de seus correspondentes nos demais quadrantes. Arco 5 Valor da secante 0 sec = Lembre que: cos = = 5

80 Função secante GEOGEBRA - Secante

81 Função secante Definição. A função f dada por é chamada de função secante. f = sec y Gráfico da função secante y = sec 5 Lembre que: Domínio Imagem Período Assíntotas sec = cos D(f) = R + k; k Z Im f = R (,) P(f) = = + k; k Z

82 Função secante Relação gráfica entre as funções secante e cosseno y 5 Observações Importantes: Onde o cosseno cresce, a secante decresce, e vice-versa; Onde o cosseno se anula, a secante não está definida; f = sec = cos O sinal da secante acompanha o sinal do cosseno, em cada quadrante.

83 Cossecante no ciclo trigonométrico Lembre que, para cada arco, o ciclo trigonométrico associa um ponto P(a, b) do plano cartesiano, chamado de etremidade do arco. m csc b b r = a 0 r = a 0 m csc = Hipotenusa Cateto oposto = m = m

84 Cossecante no ciclo trigonométrico Arco e de seus correspondentes nos demais quadrantes. Lembre que: csc = sin = = 5 Arco 5 7 Valor da cossecante 7 0

85 Cossecante no ciclo trigonométrico Arco e de seus correspondentes nos demais quadrantes. csc = Arco 5 7 Lembre que: sin = Valor da cossecante = = 5 7 0

86 Cossecante no ciclo trigonométrico Arco e de seus correspondentes nos demais quadrantes. csc = Arco 5 Lembre que: sin = Valor da cossecante = = 5 0

87 Função cossecante GEOGEBRA - Cossecante

88 Função cossecante Definição. A função f dada por é chamada de função cossecante. f = csc y Gráfico da função cossecante y = csc 5 Lembre que: Domínio Imagem Período Assíntotas csc = sin D(f) = R k; k Z Im f = R (,) P(f) = = k; k Z

89 Função cossecante Relação gráfica entre as funções cossecante e seno y 5 Observações Importantes: Onde o seno cresce, a cossecante decresce, e vice-versa; Onde o seno se anula, a cossecante não está definida; f = csc = sin O sinal da cossecante acompanha o sinal do seno, em cada quadrante.

90 Eercícios Propostos

91 Eercícios ) Esboce o gráfico das funções trigonométricas, e determine o período (T), o domínio e imagem das funções: a) y = sec T = D(f) = R + k ; k Z Im f = R (,) b) y = sec D(f) = R + k ; k Z T = Im f = R (,) c) y = sec + T = D(f) = R k; k Z Im f = R (,) d) y = csc() D(f) = R k ; k Z T = Im f = R (,) e) y = csc() T = D(f) = R k ; k Z Im f = R (,) f) y = csc() T = D(f) = R k; k Z Im f = R (,)

92 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem ser encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo, Cálculo A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 0 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 5 vezes dentro do mesmo semestre letivo.

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94 Função eponencial Definição. Dado a R tal que a > 0 e a, função f R R dada por f = a é chamada de função eponencial de base a. Eemplos. São eemplos de funções eponenciais: y = função eponencial de base y = função eponencial de base y = 0 função eponencial de base 0 y = função eponencial de base y = função eponencial de base y = e função eponencial de base e O número e acima é um número irracional (assim como o, por eemplo) chamado de número de Euler. O valor aproimado de e com três casas decimais é,78.

95 Gráfico Eemplo. Esboce o gráfico da função f() = Solução: Determinando alguns pontos do gráfico de f, tem-se: f = = = 8 Obs.: a = (crescente) y 8 7,8 f = = = 5 f() = f = = = f 0 = 0 =, f = = f = =, 8,, 0,, f = = 8

96 Gráfico Eemplo. Esboce o gráfico da função f = Solução: Determinando alguns pontos do gráfico de f, tem-se: f 0 = f = f = f = f = 0 = = = = 8 = = = = f = f = = = 8,8,, y , Obs.: a = (decrescente) f() =,,, 8

97 Gráfico, domínio e imagem O gráfico de uma função eponencial pode assumir dois formatos distintos: Primeiro caso: a > Segundo caso: 0 < a < D f = R Im f = R +. crescente y y D f = R Im f = R +. decrescente Em ambos os casos (crescente ou decrescente), reta y = 0 é chamada de assíntota horizontal do gráfico da função. Observação: Para esboçar o gráfico de uma função f() = a, basta identificar o comportamento do gráfico (crescente ou decrescente) e lembrar que os pontos (0,) e (, a) sempre pertencem ao gráfico destas funções, pois f 0 = a 0 = 0, f f = a = a, a f

98 Gráfico Eemplo. Esboce os gráficos das funções (a) f = (b) f = (c) f = (d) f = Solução: Em cada caso, tem-se (a) y 5 0,, f 0 = 0 = f = = a > crescente (b) a > crescente y 5, 0, f 0 = 0 = f = =

99 Gráfico Eemplo. Esboce os gráficos das funções (a) f = (b) f = (c) f = (d) f = Solução: Determinando alguns pontos do gráfico de f, tem-se: (c) y 5 0 < a < decrescente (d) 0 < a < decrescente y 5 0,, 0,, f 0 = 0 = f = = f 0 = 0 = f = =

100 Eercícios Propostos

101 Eercícios ) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota horizontal. (a) f = + (b) f = (c) f = (d) f = + (e) f = (f) f = y 5

102 Eercícios ) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota horizontal. (a) f = + y = + (b) f = y y = (c) f = (d) f = + (e) f = (f) f = 5 y = D f = R Im f = (, + ) Assíntota: y =

103 Eercícios ) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota horizontal. (a) f = + (b) f = (c) f = (d) f = + (e) f = (f) f = D f = R Im f = (, + ) Assíntota: y = y y = 5 y = y =

104 Eercícios ) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota horizontal. (a) f = + (b) f = (c) f = (d) f = + (e) f = (f) f = D f = R Im f = R + Assíntota: y = 0 y = y 5 y = y = 0

105 Eercícios ) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota horizontal. (a) f = + (b) f = (c) f = (d) f = + (e) f = (f) f = D f = R Im f = R + Assíntota: y = 0 y = + y y = 5 y = 0

106 Eercícios ) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota horizontal. (a) f = + (b) f = (c) f = (d) f = + (e) f = (f) f = D f = R Im f = R Assíntota: y = 0 y y = y = y = 0

107 Eercícios ) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota horizontal. (a) f = + (b) f = (c) f = (d) f = + (e) f = (f) f = D f = R Im f = R + Assíntota: y = 0 y = y = y 5 y = 0

108 Eercícios ) Em cada caso, determine a composta fog. (a) f = + 5 e g = fog = + 5 (b) f = 5 e g = + fog = 5 + (c) f = e g = fog = ) Em cada caso, escreva a função dada como uma composta de duas funções. a) f = + f = f of f = + f = b) f = f = f of f = f = ) A função eponencial é injetora? É sobrejetora? É bijetora? Justifique. 5) Esboce o gráfico das funções inversas das seguintes funções eponenciais: (a) f = (b) f = Dica para a questão 05: Utilize o método da refleão em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares!

109 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem ser encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo, Cálculo A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 0 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 5 vezes dentro do mesmo semestre letivo.

110 Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Funções trigonométricas, eponenciais e logarítmicas Aula 0 Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática 08/

111 Logaritmos Definição. Dados a, b R tal que a > 0, b > 0 e a, o número que satisfaz a equação eponencial a = b é chamado de logaritmo de b na base a. Notação: Da definição acima segue que Eemplo. Resolva a equação eponencial = log a b. log a b = a = b. = 8. Solução: Neste caso, igualando as bases, tem-se: = 8 = =. portanto, se diz que é o logaritmo de 8 na base, ou seja, = log 8. O logaritmo é a solução de uma equação eponencial!!

112 Logaritmos Eemplo. Calcule log. Solução: Usando a definição de logaritmo, tem-se log b a = y b y = a, então log = y y =. Resolvendo a equação y =, tem-se y = y = y = Portanto, log =. Eemplo. Calcule log 0,5. Solução: Usando a definição de logaritmo, tem-se log 0,5 = y y = 0,5 y = y = y =. Portanto, log 0,5 =.

113 Logaritmos Eemplo. Calcule log. Solução: Usando a definição de logaritmo, tem-se log = = = 0 = 0. Portanto, log = 0. Eemplo. Calcule log 5 5. Solução: Usando a definição de logaritmo, tem-se log 5 5 = 5 = 5 =. Portanto, log 5 5 =. Observações. log 0 a = log a Quando a base do logaritmo é 0, se escreve log a para representar log 0 a log e a = ln a Quando a base do logaritmo é e, se escreve ln a para representar log e a

114 Logaritmos Propriedades decorrentes da definição. O logaritmo de, em qualquer base, é sempre igual a 0 log b = 0 (pois b 0 =, para qualquer base b) O logaritmo de um número na própria base, é sempre igual a log b b = (pois b = b, para qualquer base b) Eemplos. log = 0 log 5 = 0 ln = 0 log = 0 Eemplos. log = log 5 5 = ln e = log 0 =

115 Função logarítmicas Definição. Dado a R tal que a > 0 e a, a função f R + R dada por f = log a é chamada de função logarítmica de base a. Eemplos. São eemplos de funções logarítmicas: y = log função logarítmica de base y = log função logarítmica de base y = log função logarítmica de base 0 y = log função logarítmica de base y = log função logarítmica de base y = ln função logarítmica de base e

116 Gráfico Eemplo. Esboce o gráfico da função f() = log Solução: Destacando alguns pontos do gráfico, tem-se: f 8 = log f = log f = log 8 = = = f = log = 0 f = log = f = log = f 8 = log 8 = y,0,, 8,,, Obs.: a = (crescente) 5 7 8, f() = log 8

117 Gráfico Eemplo. Esboce o gráfico da função Solução: Destacando alguns pontos do gráfico, tem-se: f 8 = log f = log f = log f = log f = log f = log f 8 = log 8 = = = = 0 = = 8 = f() = log y 8,,,,0, Obs.: a = (decrescente) 5 7 8, 8, f() = log

118 Gráfico, domínio e imagem O gráfico de uma função logarítmica pode assumir dois formatos distintos: Primeiro caso: a > Segundo caso: 0 < a < y y D f = R + Im f = R. decrescente D f = R + Im f = R. crescente Em ambos os casos (crescente ou decrescente), a reta = 0 é chamada de assíntota vertical do gráfico da função. Observação: Para esboçar o gráfico de uma função f = log a, basta identificar o comportamento do gráfico (crescente ou decrescente) e lembrar que os pontos (,0) e (a, ) sempre pertencem ao gráfico destas funções, pois f = log a = 0,0 f f a = log a a = a, f

119 Gráfico Eemplo. Esboce os gráficos das funções (a) f = log (b) f = ln Solução: Em cada caso, tem-se (a) y,0, 5 a > crescente (c) f = log (b) y,0 e, (d) f = log 5 a > crescente f = log = 0 f = log = f = ln = 0 f e = ln e =

120 Gráfico Eemplo. Esboce os gráficos das funções (a) f = log (b) f = ln Solução: Em cada caso, tem-se (c) y,,0 5 0 < a < decrescente (c) f = log (d) y,,0 (d) f = log 5 0 < a < decrescente f = log = 0 f = log = f = log = 0 f = log =

121 Gráfico Observação: A inversa da função eponencial de base a é a função logarítmica de mesma base. Em outras palavras, função eponencial de base a f = a f: R R + é bijetora, e sua função inversa é a função logarítmica de base a. f = log a f : R + R Eemplo. Em cada caso, determine a função inversa da função dada. (a) f = log 5 (b) f = Solução: Em cada caso, tem-se (a) f = 5 A inversa da função logarítmica de base 5 é a função eponencial de base 5. (b) f = log A inversa da função eponencial de base é a função logarítmica de base. Observação: Lembre que eiste simetria, em relação à reta y =, entre os gráficos de uma função f e de sua inversa f.

122 Gráfico Eemplo. Determine a função inversa da função eponencial f = Esboce os gráficos de f e f. Solução: A função inversa da função eponencial é a função f = log y 5 y = y = y 5 y = y = log 5 5

123 Eercícios Propostos

124 Eercícios ) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota vertical. (a) f = + log (b) f = log (c) f = log ( ) y (d) f = + log ( + ) (e) f = ln (f) f = ln( ) 5 7 8

125 Eercícios ) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota vertical. (a) f = + log (b) f = log (c) f = log ( ) (d) f = + log ( + ) (e) f = ln (f) f = ln( ) D f = R + Im f = R Assíntota: = 0 y = y = + log y = log 8

126 Eercícios ) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota vertical. y = log (a) f = + log y (b) f = log (c) f = log ( ) (d) f = + log ( + ) y = log (e) f = ln (f) f = ln( ) D f = R + Im f = R Assíntota: = 0 = 0

127 Eercícios ) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota vertical. (a) f = + log (b) f = log (c) f = log ( ) y y = log (d) f = + log ( + ) y = log ( ) (e) f = ln (f) f = ln( ) D f = (, + ) Im f = R Assíntota: = 5 7 = 8

128 Eercícios ) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota vertical. (a) f = + log (b) f = log (c) f = log ( ) y y = log (d) f = + log ( + ) y = log ( ) (e) f = ln (f) f = ln( ) D f = (, + ) Im f = R Assíntota: = = 5 7 8

129 Eercícios ) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota vertical. (a) f = + log (b) f = log (c) f = log ( ) y y = ln (d) f = + log ( + ) (e) f = ln (f) f = ln( ) D f = (0, + ) Im f = R Assíntota: = 0 = y = ln

130 Eercícios ) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota vertical. (a) f = + log (b) f = log (c) f = log ( ) (d) f = + log ( + ) (e) f = ln (f) f = ln( ) D f = (, 0) Im f = R Assíntota: = 0 y y = ln y = ln( ) = 0

131 Eercícios ) Determine o domínio das seguintes funções: (a) f = + log ( 5) D f = (5, + ) (b) f = log( ) D f =, (, + ) (c) f = log 5 ( ) + ln( + ) ) Em cada caso, determine a composta fog. (a) f = log () e g = fog D f = (, + ) = log ( ) (b) f = log 5 () e g = 5 fog = (c) f = 5 e g = log 5 () fog = (d) f = ln e g = e + fog = + 5) Em cada caso, escreva a função dada como uma composta de duas funções. a) f = log( + ) f = f of f = + f = log() b) f = ln f = f of f = ln f =

132 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem ser encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo, Cálculo A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 0 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 5 vezes dentro do mesmo semestre letivo.