FICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA A 10.º ANO FUNÇÕES POLINOMIAIS

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1 FICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA A 10.º ANO FUNÇÕES POLINOMIAIS Conhece a Matemática e dominarás o Mundo. Galileu Galilei 1. Para que valores reais de m, GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA p x x mx 0 dividido por x dá resto 6? A 66 B 6 C 6 D 10. Seja g a função definida em por g x x x 1. O resto da divisão de g x por px x é: A 1 B C 0 D. Considera um polinómio Ax de grau 6 e o polinómio Bx x 1 Ax por Bx têm, respectivamente, grau:. Então o quociente e o resto da divisão de A 0 e 5 B 5 e 0 C 5 e 1 D 1 e 5 n1 n n1 4. Considera a função polinomial p definida por da divisão de p x por x 1 é: p x x x x 1 com n. Se n é par então o resto A B 1 C 0 D 1 5. O grau do polinómio produto de um polinómio de grau 7 por x 1 é: A B 4 C 7 D Para cada valor de k real, a expressão 4 de k para o qual o ponto A1, 7 pertence ao gráfico de f é: f x x k x x, define uma função polinomial de grau 4. O valor A B C 7 D 7 Facebook: Ficha de Trabalho de Matemática A 10.º Ano Funções Polinomiais 1

2 7. O sinal de uma função h, polinomial de grau, definida em, é dado pela tabela seguinte: x 1 1 h x Seja f uma função de domínio hx f x 1 0 é:, negativa em todo o seu domínio. O conjunto solução da condição A 1,1, B 1,1, C, 1 1, D 8. Acerca do número de raízes reais de um polinómio de.º grau, podemos afirmar que: A Tem sempre três. B Pode ter mais de três. C Tem sempre uma. D Tem pelo menos uma. 9. Seja f uma função polinomial de grau 4, cujo gráfico se encontra parcialmente representado na figura. 5 é um dos seus zeros f é necessariamente divisível por: y f A x B x 5 5 O x C x D x Seja a um número real positivo. Das seguintes expressões analíticas, qual pode ser a da função f? A f x ax 5x x B f x ax 5x x 4 C f x ax 5x x D f x ax 5x x Considera uma função polinomial f de grau 4. Sabe-se que é uma raiz dupla de f. Qual pode ser a expressão analítica da função f? 4 A f x x x 4 B f x x 8x 9x 4x C f x x 4x x D f x x x x x Facebook: Ficha de Trabalho de Matemática A 10.º Ano Funções Polinomiais

3 11. Seja p uma função polinomial definida por 4 que o resto da divisão de p x por x seja? p x x mx m 1, m. Determina o valor de m de modo A 6 B 5 C 5 D Considera a função polinomial p, definida por resto da divisão de p x por x 1 é: n n n p x x 6x x, n. Se n é ímpar então o A B 1 C 9 D Considera a função polinomial p, definida por px x 5x 4. Sabe-se q x. Das seguintes expressões, qual não pode ser a expressão analítica de q x? p x é divisível por um polinómio A x 1 B x 1 C x D x 14. Sejam f e g duas funções polinomiais de grau e, respectivamente. Na figura está representada parte da representação gráfica da função f. Sabe-se que: 1 e são raízes de f y e são raízes de g, sendo raiz dupla e g 0 0. f Considera a função h, definida por hx f x g x. Qual é o conjunto 1 O x solução da condição hx 0? A, 1, B, 1 C, 1, D, O sinal de uma função h, polinomial de grau, definida em, é dado pela tabela seguinte. x a 0 b h x Seja f a função definida por f x x x 6. O conjunto solução da condição f xhx 0 é,0 1, Os valores de a e b são:. A a e b B a e b 1 C a e b D a 1 e b 1 Facebook: Ficha de Trabalho de Matemática A 10.º Ano Funções Polinomiais

4 GRUPO II ITENS DE RESPOSTA ABERTA 1. Considera os polinómios: 4 5, Bx x, Cx x 5x x 1, Dx x 1 e Ex x 1 A x x x x Efectua: 1.1. Ax Bx Cx 1.. Ax Bx Dx 1.. Cx E x 1.4. DxBx Ax 1.5. Cx Bx (Divisão inteira) 1.6. Ax Dx (Divisão inteira) 1.7. C x E x (Divisão Inteira. Resolve o exercício por dois processos distintos) 4. Considera os polinómios Ax x 5x x 1 e Bx x. Determina Ax BxCx Dx C x e. Determina o valor de real de k de forma que o polinómio 4 x 1 B x 4. Considera o polinómio px x x x. Sabe-se que equação px 0. Dx de modo que: A x x kx x x 1 seja divisível por p x é divisível por x. Resolve analiticamente a Calcula o resto da divisão de Ax x x 1 por Bx x 1 6. Determina o quociente, Qx, e o resto,. Rx, da divisão inteira de Ax x x x 5x e Bx x Ax por Bx quando: Ax x 10x 10x 8x 8 x e B x x x 7. Determina os valores dos parâmetros reais m e n, de modo que o polinómio divisível por x 1 e dividido por x 1 dê resto. B x x mx nx 10 seja Facebook: Ficha de Trabalho de Matemática A 10.º Ano Funções Polinomiais 4

5 8. Determina o polinómio cuja divisão inteira por x x tem quociente x e resto 5x. 9. Considera o polinómio p, definido por p x x 17x 19x Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolve as cinco alíneas seguintes Calcula p 7. Interpreta o resultado obtido Determina os zeros da função e decompõe o polinómio p num produto polinómios irredutíveis Resolve em a inequação px Determina o conjunto solução da condição px x Determina os polinómios Ax e 9 0. B x, de modo que px x x Ax Bx. 9.. O gráfico de p contém três pontos cujas respectivas ordenadas são o quadrado da abcissa. Seja A o ponto cuja abcissa tem o maior valor absoluto. Recorrendo à calculadora, determina um valor aproximado para a abcissa do ponto A. Explica como procedeste, na tua explicação deves incluir o(s) gráfico(s) que consideraste para a resolução desta questão. (Apresenta o resultado arredondado às centésimas) 10. Considera a função polinomial f, definida por 4 f x x 8x 4x 8x Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolve as duas alíneas seguintes Sabe-se que 1 é raiz de multiplicidade da função f. Verifica que f x x x 1 x Resolve em a inequação f x Na figura está representada em referencial o.n. xoy parte do gráfico da função f. Na mesma figura está também representado um triângulo ABC. Sabe-se que: A, B e C são pontos do gráfico de f cujas ordenadas são extremos relativos de f o ponto B pertence ao eixo Ox y O B f x Recorrendo à calculadora, determina um valor aproximado da área do triângulo ABC. Explica como procedeste, na tua explicação deves incluir o(s) gráfico(s) que consideraste para a resolução desta questão. (Apresenta o resultado arredondado às unidades) A C Facebook: Ficha de Trabalho de Matemática A 10.º Ano Funções Polinomiais 5

6 11. Considera as funções f e g, definidas em por f x x x e g x x 4x x Determina as coordenadas do vértice da parábola representativa do gráfico de f. Escreve a função na forma f x ax h k, com a, h, k e a Utilizando a regra de Ruffini, determina o quociente e o resto da divisão de g x pelo polinómio 4x B x Verifica se é raiz dupla do polinómio g. Decompõe g num produto de polinómios irredutíveis Resolve em a inequação gx Resolve em a inequação gx Determina os polinómios Ax e C x de modo que g x x x Ax Cx Considera agora o ponto A de abcissa 0 pertencente ao gráfico da função g, e o ponto B de abcissa pertencente ao gráfico da função f. Escreve a equação reduzida da recta AB. 1. Considera o polinómio p definido por p x x 5x x Utilizando a regra de Ruffini, determina o quociente e o resto da divisão de p x pelo polinómio x 6 A x. 1.. Calcula p. Interpreta o resultado obtido. 1.. Decompõe o polinómio p num produto de polinómios irredutíveis Resolve em a inequação px Resolve em a inequação px 6 5x. 1. Considera um polinómio p que dividido por x tem quociente da forma ax b e resto zero. Sabe-se ainda que o resto da divisão inteira por x 1 e por x é, respectivamente, 18 e 4. Determina p x na forma canónica. 14. Calcula a e b de modo que f x ax b tenha um zero para x e que dividido por x 1 dê resto. 15. Determina um polinómio de grau com raízes 1 e e que dividido por x dê resto 4. Facebook: Ficha de Trabalho de Matemática A 10.º Ano Funções Polinomiais 6

7 16. Considera a função polinomial h definida por h x x 9x Utilizando a regra de Ruffini, determina o quociente e o resto da divisão de h x pelo polinómio x B x Calcula h. Interpreta o resultado obtido Decompõe o polinómio h num produto de polinómios irredutíveis Resolve em a inequação hx Resolve em a inequação hx Determina os polinómios Ax e C x de modo que hx x x Ax Cx. 17. Considera a função polinomial p definida em por Determina o parâmetro real k, de modo que p x seja divisível por p x 4x 6x kx 14x 1, com k. 1 x. Substitua k pelo valor encontrado Sabendo que também é raiz de p, decompõe o polinómio p num produto de polinómios irredutíveis Resolve em a inequação px Resolve em a inequação px x Seja g a função polinomial definida por 4 g x x x 11x 7x Indica o domínio da função g Determina g 1 e determina a imagem do ponto de abcissa, por meio da função g. Interpreta os resultados obtidos Mostra que g x x 1 x x Resolve em a inequação gx Resolve em a inequação g x x x 6 0. Facebook: Ficha de Trabalho de Matemática A 10.º Ano Funções Polinomiais 7

8 19. Considera a função polinomial f definida em por f x x 4x x Mostra que no intervalo,4 a função f tem uma única raiz inteira Mostra que é uma raiz de multiplicidade dois da função f e decompõe f num produto de polinómios irredutíveis Resolve em a inequação f x Usando o facto de ser uma raiz de multiplicidade dois, mostra que f tem um mínimo relativo igual a 0 em x. Podes utilizar a calculadora para visualizar o gráfico de f Determina os polinómios Ax e 0. Considera a função f definida em por Cx de modo que f x x 1 Ax Cx f x x Resolve em a inequação 4x 6 f x Considera a função polinomial p definida por px x 4x 1 f x Mostra que o ponto C de coordenadas,0 pertence ao gráfico de p Escreve a equação reduzida da recta CD, onde D1, Decompõe o polinómio p num produto de polinómios irredutíveis Resolve em a inequação px Na figura estão representados em referencial o.n. xoy parte do gráfico de uma função f e um triângulo ABO. Sabe-se que: A e B pertencem ao gráfico de f AB é paralelo ao eixo Ox y f A B o ponto B tem de abcissa x, com x 0,4. O x Recorrendo à calculadora, determina a abcissa do ponto B de modo que a área do triângulo ABO seja 8. Explica como procedeste, na tua explicação deves reproduzir o(s) gráfico(s) obtido(s), bem como as coordenadas de algum, ou alguns pontos relevantes. Facebook: Ficha de Trabalho de Matemática A 10.º Ano Funções Polinomiais 8

9 1. Considera a função polinomial f definida por f x x 15x 6x Utilizando a regra de Ruffini, determina o quociente e o resto da divisão de f x pelo polinómio 1 A x x. 1.. Determina f. Interpreta o resultado obtido. Em seguida decompõe f num produto de polinómios irredutíveis. 1.. Resolve em a inequação f x Resolve em a inequação f x 6x Determina os polinómios Ax e. C x de modo que f x x 1 Ax Cx Para certos valores reais de k pertencentes ao intervalo ab, o polinómio g x f x k tem três raízes reais distintas. Recorrendo à calculadora, determina os valores de a e b. Explica como procedeste, na tua explicação deves reproduzir o(s) gráfico(s) obtido(s), bem como as coordenadas de algum, ou alguns pontos relevantes. (Apresenta o resultado arredondado às centésimas). Sabe-se que um polinómio 0. Escreve p x na forma p x admite a decomposição ax 1 x 4 p x ax bx cx d, com a, b, c, d e a 0. e que dividido por x dá resto. Num determinado dia, a Sofia preparou um bolo para servir como sobremesa ao jantar. Depois de o ter confeccionado, a Sofia colocou o bolo a cozer num forno eléctrico. Quando estava a cozer, faltou a electricidade. A partir desse instante e enquanto a luz faltou, a temperatura do forno diminui. Uma vez restituída a energia eléctrica, a temperatura começou de imediato a aumentar, só voltando a diminuir quando a Sofia desligou o forno. Admite que a temperatura no interior do forno, em ºC, t minutos depois da Sofia ter colocado o bolo no forno, pode ser dada, aproximadamente por: Considera as seguintes questões: 00 40,9 0,05 T t t t t, t 0 Durante quanto tempo faltou a electricidade? (Apresenta o resultado em minutos e segundos, segundos arredondados às unidades). Quanto tempo depois da electricidade ter voltado, o forno atingiu novamente a temperatura a que estava quando a electricidade faltou? Apresenta o resultado em minutos e segundos, segundos arredondados às unidades). Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explicita as conclusões a que chegaste, justificando-as devidamente. Explica como procedeste, na tua explicação deves incluir o(s) gráfico(s) que consideraste para a resolução desta questão. Facebook: Ficha de Trabalho de Matemática A 10.º Ano Funções Polinomiais 9

10 4. Um cientista observa, durante 50 segundos, uma águia a sair do seu ninho e a fazer um voo em busca de alimento. Desde que a águia saiu do ninho, a sua altitude é dada em metros e ao fim de t segundos, pela função definida por: At 0,0t 0,6t 15,18t 51, t 0, Qual era, em metros, a altitude da águia após ter voado um quinto do tempo total de voo. 4.. Quanto tempo esteve a águia a voar a uma altitude superior a 400 metros? Recorrendo à calculadora, responde a esta questão. Explica como procedeste, na tua explicação deves reproduzir o(s) gráfico(s) obtido(s), bem como as coordenadas de algum, ou alguns pontos relevantes. (Apresenta o resultado em segundos, arredondados às unidades) 5. Considera duas funções polinomiais f e g de grau 1 e respectivamente. Na figura estão representados, parcialmente, os gráficos das duas funções Determina o conjunto solução das seguintes condições: f x g x f x g x x y 4 O 1 g f x g x x x Determina o domínio da função h definida por h x x. g x 5.. Determina a expressão analítica da função g. SOLUÇÕES GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. B. B 5. D 7. C 9.1. B 10. B 1. B 14. C. A 4. B 6. A 8. D 9.. C 11. C 1. C 15. B GRUPO II ITENS DE RESPOSTA ABERTA x 4x x x 4x x 8x x x 4x 7x 1.4. x x x Qx 5x x 15 ; Rx 6x Qx x 4x 1; Rx Qx x x x ; R x Cx x 6x 17x 6 ; Dx 71. k 0 Facebook: Ficha de Trabalho de Matemática A 10.º Ano Funções Polinomiais 10

11 4. x Qx x x x 5x ; Rx Qx x 1x 40x 106 ; Rx 46x 0 7. m 9 e n 8. x 4x 10x p é raiz de p, ou seja, px é divisível por x 7. 1 p x x x x , 7,, x x , 7, Ax x 1 ; B x 1x x 6, x 10.. A , ABC V 1, ; 1 f x x 11.. Qx x x ; 11.. não é raiz dupla de g, é raiz simples (multiplicidade 1). gx x x 1 R x x, x 1,0 1, Ax x ; C x 7 x y x Qx x x 1 ; Rx p 0. é raiz de p, ou seja, px é divisível por x. 1.. px x x x x, 1, 1.5. x, 0, p x x 5x 8x a 1 e b x x Qx x x ; 9 R x 16.. h 0. é raiz de h, ou seja, hx é divisível por x hx x x x, x,0, Ax x ; Cx 6x 6 Facebook: Ficha de Trabalho de Matemática A 10.º Ano Funções Polinomiais 11

12 k 17.. px x x 1 x x x, 1,, x, 57 0, g D 18.. g1 g 0. 1 e são raízes de g, ou seja, x,1, x, f f x x x 19.. x 7,0 7, Ax x x 6 ; Cx , 1, x 0.. y x x,, 0.. x 1.1. Qx x 8x ; Rx 49 g x é divisível por x 1 e por x. 0.. px x x x 1.. f 0. é raiz de f, ou seja, f x é divisível por x ; f x x x, \ 1.. x x, \ Ax x ; C x 7x 1.6. k 0,1 p x x x 8x 8.. A electricidade faltou durante 8 minutos e 59 segundos. Depois de restituída a energia o forno atingiu novamente a temperatura a que estava quando a electricidade faltou ao fim de 1 minutos e 7 segundos , metros segundos x x 1 x 5.1. x, 1, 1,0, \ x 5.. D 1, \ 1 h g x x x Facebook: Ficha de Trabalho de Matemática A 10.º Ano Funções Polinomiais 1