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3 1. Considere duas retas r e s paralelas entre si. Na reta r marcam-se 5 pontos e na reta s marcam-se 4 pontos. O número de circunferências que é possível formar, passando por três quaisquer dos nove pontos dados é: 9 9 (A) C (B) C (C) 5 C C 2 (D) C A tabela de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta é dada pela tabela: x i p i 0,1 a b c 0,2 Sabendo que P(x 2) = 0,7 e P(x 2) = 0,75, determine o valor de a. (A) a = 0,15 (B) a = 0,25 (C) a = 0,35 (D) a = 0,2 3. A expressão ln 1 + e x eln1 x, para x R +, é equivalente a: (A) x + 1 x (B) ln 1 x (C) 1 e x 1 x (D) x 1 Página 3 de 10

4 4. O comprimento, em centímetros, de uma espécie de catos distribui-se normalmente, em que μ = 75 cm e σ = 10 cm. Escolhe-se, de forma aleatória, um cato dessa espécie. Considera os acontecimentos: A: o tamanho do cato é superior a 75 cm ; B: o tamanho do cato está compreendido entre 65 cm e 85 cm ; C: o tamanho do cato está compreendido entre 70 cm e 85 cm ; Qual das afirmações é verdadeira? (A) P(B) < P(C) (C) P(A) + P(B) = 1 (B) P(A) > P(B) (D) P(C) < P(B) 5. Na figura está representada parte do gráfico de uma função g, cujo domínio é R\{2}. As retas de equação x = 2 e y = 1 são assintotas do gráfico de g. Considere a sucessão de termo geral u n, tal que u n = ( 1 e n) 1. Qual o valor de lim g(u n )? (A) 1 + (B) 1 (C) 2 + (D) 2 6. Na figura está representado o gráfico de uma função g, de domínio R. tal como a figura sugere, as retas de equação y = x e x = 0 são assintotas do gráfico de g. e Qual é o valor de lim x g(x)? x x (A) 1 (B) 1 (C) (D) + Página 4 de 10

5 7. No referencial da figura estão partes das representações gráficas das funções h e h. sendo h a função derivada de h. A reta t é tangente ao gráfico de h no ponto P( 3; 2) e o ponto A( 3; 0,5) pertence ao gráfico de h. Uma equação da reta t pode ser: (A) y = x (B) y = x (C) y = 3x + 1 (D) y = 3x Sejam f e g funções deriváveis em R. Sabe-se que: f(1) = f (1) = 1 g(x) = (x 2 + 1) f(x), para todo o valor real de x. Qual o valor de g (1)? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 Página 5 de 10

6 1. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um prisma hexagonal regular [ABCDEFOPQRST]. Sabe-se que: A base inferior do prisma está contida no plano xoy; O eixo Oy contém a resta [OP]; O eixo Oz contém a aresta [OA]; 1.1. Escolhe-se, ao acaso, uma aresta do prisma perpendicular ao eixo Oz. Qual a probabilidade de essa aresta ser estritamente paralela ao eixo Oy? Apresente o resultado na forma de fração irredutível Os pontos assinalados são os vértices do polígono. Considere agora que se assinalam outros n (n N) pontos na face [ABPO] de maneira a que nunca haja três pontos colineares. Escolhem-se, ao acaso, três dos pontos dessa face. Mostre que a probabilidade de ser construído um triângulo em que o ponto A não seja um dos vértices é igual a n+1 n+4. Página 6 de 10

7 2. Seja E o espaço de resultados associados a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A E, B E) Prove que: P(A B ) = 1 + P(A B) P(A) P(B ) em que P(B ) Indique o conjunto dos números reais que são solução da inequação: log 2 (x 4) 1 log 2 (7 x) e 2x+1 e x se x < 0 4. Estuda a continuidade da função h(x), tal que: h(x) = 2 se x = 0 { ln(x+1) 2 x se x > 0 5. Seja a função f definida em R + ln x por f(x) = { se 0 < x < 1 xe 3 x se x 1 3x 5.1. Estuda a função f quanto à existência de assintotas do seu gráfico Mostre que c ] 4,5[ f(c) + f ( 1 e ) = Determina a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 1 3. Página 7 de 10

8 6. Na figura está representada, num referencial o.n. xoy, parte do gráfico de uma função g. Sabe-se que: g é uma função continua em R; g não tem zeros; a primeira derivada, f, de uma certa função f tem domínio R e é definida por: f (x) = g(x) ( x 2 + 5x 4) f(1) f(4) < 0. Apenas uma das opções seguintes pode representar a função f. Elabore uma composição na qual: Indique a opção que pode representar a função f; Apresente as razões que o levam a rejeitar as restantes opções; o Apresente uma razão para cada gráfico. Página 8 de 10

9 7. Injetou-se no instante t = 0 uma substancia no sangue de um animal. No instante t (t > 0 e t em segundos), a concentração C da substancia injetada é dada por: C(t) = 8(e t e 2t ) Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, utilizando a calculadora apenas para cálculos numéricos Calcule, com aproximação às centésimas, o(s) instante(s) para o(s) qual(is) o valor da concentração é igual a Indique o valor máximo da concentração. Indique, com aproximação às centésimas, em que instante esse valor foi observado. FIM Página 9 de 10

10 COTAÇÕES Grupo I...(8 5 pontos) pontos Grupo II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos Total pontos Página 10 de 10