POLINÔMIOS 1. INTRODUÇÃO Uma função é dita polinomial quando ela é expressa da seguinte forma:

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1 POLINÔMIOS 1. INTRODUÇÃO Uma função é dita polinomial quando ela é expressa da seguinte forma: n P(x) a a x a x... a x, onde 0 1 n Atenção! o P(0) a 0 o P(1) a a a... a 0 1 n a 0,a 1,a,...,a n :coeficientes n a 0,a1x,a x,...,anx : termos n a 0 : termo independente a n : coeficiente do termo de maior expoente. DEFINIÇÕES Dizemos que o grau de um polinômio é dado pela ordem do maior expoente com coeficiente não nulo. Dois polinômios são idênticos quando todos os seus coeficientes correspondentes são iguais. Um polinômio é dito identicamente nulo quando e só quando todos seus coeficientes forem nulos. Dizemos que um número α é raiz do polinômio P(x) quando P(α) = RAÍZES DE UM EQUAÇÃO POLINOMIAL 3.1 Número de raízes: para uma equação polinomial de grau n 1 temos n raízes complexas ou no máximo n raízes reais. raiz o número complexo 3. Raízes complexas: se uma equação polinomial de coeficientes reais admite como z a bi b 0, então essa equação também admite como raiz o número complexo z a bi, conjugado de z. 3.3 Raízes irracionais: se uma equação polinomial de coeficientes racionais admite como raiz o número a b c onde c é um número irracional e a,b são racionais, então essa equação também admite como raiz o número a b c 3.4 Raízes racionais: uma equação polinomial de coeficientes inteiros pode admitir como raiz o número racional obtido pela razão entre os divisores inteiros do a 0 e os divisores inteiros do a n, respectivamente. 3.4 Raízes múltiplas: uma equação polinomial tem multiplicidade n quando apresenta n raízes iguais. 1

2 4. OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS Soma e Multiplicação de Polinômios A soma e multiplicação de polinômios são feitas algebricamente como qualquer outra expressão numérica. Divisão de Polinômios P(x) D(x) R(x) Q(x) P(x) D(x).Q(x) R(x) P(x) : Dividendo D(x) : Divisor Q(x) : Quociente R(x) : Resto Grau DX R x Grau Atenção! Quando um polinômio é divisível por outro o resto é igual a zero. Divisão de Polinômios pelo método da chave Veja o exemplo abaixo: P x x px qx 3 3 Se a divisão do polinômio por f x x x 1 for exata, quais os valores de p e q? Teorema do resto O resto da divisão de P(x) por (x - a) é dado por P(a) R(x) = P(a) Teorema de D Alembert Um polinômio P(x) é divisível por (x - a) se, e somente se, a é raiz de P(x). De acordo com o teorema do resto, temos R(x) = P(a). Então: R(x) = 0 P(a) = 0 (divisão exata) (a é uma raiz de P(x)) Divisibilidade de Polinômios P(x) é divisível por Q(x) se todas as raízes de Q(x) forem também raízes de P(x).

3 Algoritmo de Briot-Ruffini Geralmente é usado para baixar o grau de um polinômio, veja o exemplo abaixo: 4 3 Quais as raízes do polinômio Px x x 3x x 1, sendo que o mesmo apresenta duas raízes iguais a FATORAÇÃO DE D ALEMBERT De forma geral, podemos fatorar o polinômio de raízes α 1, α, α 3,..., α n e coeficiente do termo de maior grau na da seguinte forma: 6. RELAÇÕES DE GIRARD Aplicação: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x P(x) a n(x 1).(x ).(x 3)...(x n) 4 3 x 7x 5x 11x EQUAÇÕES RECÍPROCAS Diz-se que esta equação é recíproca se e somente se os termos equidistantes dos extremos, forem iguais ou simétricos. Sendo iguais, teremos uma equação recíproca de 1ª espécie e, sendo opostos, teremos uma equação recíproca de ª espécie. Exemplos: x 5 + 3x 4-5x 3-5x + 3x + = 0 - equação recíproca de 1ª espécie x 5-3x 4-5x 3 + 5x + 3x - = 0 - equação recíproca de ª espécie. Ao se deparar com uma equação recíproca, deve-se sempre verificar imediatamente se 1 ou -1 são raízes da equação, pois isto permitirá abaixar o grau da equação. 3

4 Questão 01. (EFOMM/014) QUESTÕES DA EFOMM 3 O valor da soma de a e b, para que a divisão de f x x ax b por exata, é A) -1 B) 0 C) 1 D) E) 3 4 g x x x 6 seja Questão 0. (EFOMM/013) P(x) é um polinômio de coeficientes reais e menor grau com as propriedades abaixo: 5. os números r 1 = 1, r = i e r 3 = 1 - i são raízes da equação P(x) = 0 6. P(0) = -4 Então, P(-1) é igual a: A) 4 B) - C) -10 D) 10 E) -40 Questão 03. (EFOMM/01) Um professor escreveu no quadro-negro uma equação do segundo grau e pediu que os alunos a resolvessem. Um aluno copiou errado o termo constante da equação e achou as raízes 3 e -. Outro aluno copiou errado o coeficiente do termo do primeiro grau e achou as raízes 1 e 4. A diferença positiva entre as raízes da equação correta é A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 Questão 04. (EFOMM/01) 3 O valor de na equação de modo que suas raízes estejam em progressão geométrica, é A) 1017 B) 1056 C) 1078 D) 1098 E) 111 Questão 05. (EFOMM/01) 3 Sabendo que o polinômio Px x kx px 9 é divisível por D x x 3, podemos afirmar que

5 A) p k 3 p B) 1 k C) p k 9 D) p e k k 4 E) p 3 Questão 06. (EFOMM/011) A divisão de um polinômio P(x) por (x - 4) deixa resto 3, por (x + 1) deixa resto 8 e por (x - ) deixa resto -1. O resto da divisão de P(x) pelo produto (x - 4).(x + 1).(x - ) tem como soma dos coeficientes A) -4 B) 9 C) -3 D) 0 E) -4 Questão 07. (EFOMM/011) Se a b c? A) 63 B) 40 C) 169 D) 75 E) 6 3 a,b,c é o conjunto solução da equação x 13x 47x 60 0, qual o valor de Questão 08. (EFOMM/010) A equação x x x tem solução inteira positiva x 1. O número de divisores inteiros positivos de x 1 é A) 10 B) 11 C) 1 D) 13 E) 14 Questão 09. (EFOMM/009) Após a determinação dos valores numéricos: P(-1), P(0) e P(1), verifica-se que o polinômio P(x) = x 3 + x - x - 0,5 tem A) apenas uma raiz real. B) apenas duas raízes reais. C) três raízes reais, todas de mesmo sinal. D) três raízes reais, duas positivas e uma negativa. E) três raízes reais, duas negativas e uma positiva. 5

6 Questão 10. (EFOMM/009) 4 3 Dividindo-se o polinômio f x x 3x mx t por r x 4x. Nessas condições, m e t são números reais tais que A) m = -3 e t = 6 B) m = - e t = -10 C) m = -1 e t = - D) m = 1 e t = -5 E) m = e t = 10 g x x, obtém-se resto Questão 11. (EFOMM/008) Analise as afirmativas abaixo, sendo z : 3i 6z iz I. Se w então podemos afirmar que z 3iz 3 z z 3i 6z iz. w z 3iz 3 z z II. Dado z 3i podemos afirmar que o lugar geométrico dos valores de z que satisfazem a igualdade é uma circunferência de centro (0;3) e raio. III. A forma trigonométrica de z = 6i e z = 6sen icos. 4 3 IV. Sabe-se que -1 é raiz dupla do polinômio Px x x 3x x 1. Logo, as outras raízes são números inteiros. A) As afirmativas I e IV são verdadeiras. B) Apenas a afirmativa I é verdadeira. C) As afirmativas II e IV são falsas. D) As afirmativas I e II são verdadeiras. E) Apenas a afirmativa II é falsa. Questão 1. (EFOMM/008) No desenvolvimento de ax bx c 1 5, obtém-se um polinômio P(x) cujos coeficientes somam 3. Considerando que a soma dos coeficientes de um polinômio P(x) é igual a P91). Se 0 e -1 são raízes de P(x), estão a soma de a + b + c é igual a: A) -1/ B) -1/4 C) 1/ D) 1 E) 3/ Questão 13. (EFOMM/007) 3 Para que valor de K o polinômio P(x) Kx x 5 é divisível por x 1/ 3? A) -13 B) -100 C) 13/100 D) 100 E) 13 6

7 Questão 14. (EFOMM/007) Dada as relações de Girard abaixo, assinale somente a alternativa que estiver correta de acordo com a equação 3x 5x x A) x1 x x3 x4 / 3 B) x1x x1x3 x1x 4 xx3 xx4 x3x4 5 / 3 C) x1x x3x4 1 D) x1x x3 x1x3x 4 x1x x4 xx3x4 0 E) x1x3 xx4 1/ 3 Questão 15. (EFOMM/005) 3 Determine as raízes da equação x 14x 56x 64 0, sabendo-se que elas estão em P.G. S 1,,4 A) B) S,3,4 C) S,3,6 D) S,4,6 E) S,4,8 Questão 16. (EFOMM/003) Sendo r 1,r e r 3 as raízes da equação x 4x 3x 1 0 calcule. r1 r r3 A) 3/ B) C) 17/4 D) 17 E) -1/ Questão 17. (EFOMM/003) a b x 6 Calcule a e b, de modo que x 1 x 1 x 1 A) a = e b = 4 B) a = e b = -4 C) a = - e b = 4 D) a = - e b = -4 E) a = e b = - Questão 18. (EFOMM/003) Que termo se deve acrescentar ao binômio um quadrado perfeito. 6 A) b / 3 4 B) b / 9 3 x b x de modo a se obter um trinômio que seja

8 C) D) E) 6 b / 3 b / 3 6 b / 9 Questão 19. (EFOMM/00) 3 As raízes da equação x mx nx 0 formam uma progressão aritmética de razão. O valor de m + n é: A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 6 Questão 0. (EFOMM/001) n Se o resto da divisão do polinômio Px x 5x 30 por A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 8 Q x x é igual a 44, n é igual a: Questão 1. (EFOMM/001) O valor de m na equação x 6x m 0 a fim de que uma raiz seja o dobro da outra é: A) m = 1 B) m = 8 C) m = 5 D) m = 4 E) m = 3 Questão. (EFOMM/001) 3 Dividindo-se o polinômio f x 4x kx t onde k, t, por x + 1, obtém-se o resto 1. Se f é divisível por x -, então k + t é igual a? A) 0 B) 1 C) ' D) 3 E) 4 Questão 3. (EFOMM/1999) 3 Sendo Px bx ax 6 e Qx ax bx 3x 1, o valor de a + b, para A) 3/ B) -6 C) D) -5/3 E) -4 P Q 1 0 é:

9 Questão 4. (EFOMM/1997) 3 O valor de k para que a divisão de Px x 4x kx A) 1/ B) - C) -1/ D) E) 6 Questão 5. (EFOMM/1995) por x 1 seja exata é: Se o polinômio Px ax bx c é divisível pelo polinômio A) bpq p c q a B) bpq a c C) a b c p q D) a p q b p q c 0 E) abc pq Questão 6. (EFOMM/1995) Q x px q, então: 4 3 O polinômio Px x mx nx x 1 é divisível por Q x x x 1. O quociente da divisão é o polinômio: A) x x 1 B) x x 1 C) x x 1 D) x x 1 E) x x 1 9

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