8. Calcular, para que o polinômio ( ) ( ) ( ) seja: a) do 3 grau b) do 2 grau c) 1 grau

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1 8. Calcular, para que o polinômio ( ) ( ) ( ) seja: a) do 3 grau b) do 2 grau c) 1 grau 9. Quais das seguintes funções são polinomiais? Justifique. a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) 10. Sendo ( ), calcule: a) ( ) b) ( ) c) ( ) 11. Considere as funções polinomiais ( ) e ( ). Calcular: a) ( ) ( ) c) ( ) ( ) b) ( ) ( ) d) ( ) ( )

2 12. (Vunesp-SP) Se, e são tais que ( ), então o coeficiente de em ( ) é a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) (Uniderp-MT) Se ( ) ( ( ) ) é um polinômio, então ( ) é igual a a) 10 b) 13 c) 16 d) 18 e) Considere os polinômios ( ), ( ) e ( ). Calcule e dê o grau dos seguintes polinômios: a) b) ( ) ( ) 15. Determine qual o polinômio que subtraído de ( ) resulta no polinômio ( ). 16. Sejam os polinômios ( ) ( ) e ( ) ( ). Determine todos os valores reais de para que a diferença ( ) ( ) seja um polinômio do 2 grau. 17. Dados ( ) ( ) ( ) e ( ), calcule, para que ( ) ( ). 18. Determine, de modo que: ( )( ). 19. (Vunesp-SP) Se a, b, c são números reais tais que ( ) ( ) ( ) para todo real, então o valor de é a) -5 b) -1 c) 1 d) 3 e) (UECE) Se os polinômios ( ) e ( ) são idênticos, então o valor de é a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

3 LISTA DE EXERCÍCIOS DIVISÃO DE POLINÔMIOS 1. (UFMG) O quociente da divisão de P(x) = 4x 4 4x 3 + x 1 por q(x) = 4x 3 +1 é: a. x 5 b. x 1 c. x + 5 d. 4x 5 e. 4x (UFPE) Qual o resto da divisão do polinômio x 3 2x 2 + x + 1 por x 2 x + 2? a. x + 1 b. 3x + 2 c. -2x + 3 d. x 1 e. x 2 3. (CEFET-PR) O quociente da divisão de P(x) = x 3 7x 2 +16x 12 por Q(x) = x 3 é: a. x 3 b. x 3 x c. x 2 5x + 6 d. x 2 4x + 4 e. x 2 + 4x 4 4. (UNICAMP-SP) O resto da divisão do polinômio P(x) = x 3 2x pelo polinômio Q(x) = x 2 4 é: a. R(x) = 2x 2 b. R(x) = -2x + 4 c. R(x) = x + 2 d. R(x) = 4x 4 e. R(x) = -x (PUC-PR) O resto da divisão de x 4 2x 3 + 2x 2 + 5x + 1 por x 2 é: a. 1 b. 20 c. 0 d. 19 e (PUC-BA) O quociente da divisão do polinômio P = x 3 3x 2 + 3x 1 pelo polinômio q = x 1 é: a. x b. x 1 c. x 2 1 d. x 2 2x + 1 e. x 2 3x (UEM-PR) A divisão do polinômio 2x 4 + 5x 3 12x + 7 por x 1 oferece o seguinte resultado: a. Q = 2x 3 + 7x 2 + 7x 5 e R = 2

4 b. Q = 2x 3 + 7x 2 5x + 2 e R = 2 c. Q = 2x 3 + 3x 2 3x 9 e R = 16 d. Q = 2x 3 + 7x 2 5x + 2 e R = 0 e. Q = 2x 3 + 3x 2 15x + 22 e R = 2 8. (CESGRANRIO-RJ) O resto da divisão de 4x 9 + 7x 6 + 4x por x + 1 vale: a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e (UFGRS) A divisão de p(x) por x tem quociente x 2 e resto 1. O polinômio P(x) é: a. x 2 + x 1 b. x 2 + x + 1 c. x 2 + x d. x 3 2x 2 + x 2 e. x 3 2x 2 + x (UFSE) Dividindo-se o polinômio f = x 4 pelo polinômio g = x 2 1, obtém-se quociente e resto, respectivamente, iguais a: a. x e x + 1 b. x 2 1 e x + 1 c. x e x 1 d. x 2 1 e -1 e. x e (FATEC-SP) Se um fator do polinômio P(x) = x 3 5x 2 + 7x 2 é Q(x) = x 2-3x + 1, então o outro fator é: a. x 2 b. x + 2 c. -x 2 d. -x + 2 e. x (Mack-SP) ( ) ( ) Considerando o resto ( ) e o quociente ( ) da divisão acima, se ( ), ( ) vale a) 1 b) -3 c) -5 d) -4 e) Qual o resto da divisão do polinômio pelo polinômio?

5 1. Calcule o quociente e o resto da divisão de: a) ( ) por ( ) b) ( ) por ( ) c) ( ) por ( ) d) ( ) por ( ) Dispositivo de Briot-Ruffini 2. Ache o quociente e o resto da divisão de: a) ( ) por b) ( ) por 3. Os esquemas representam aplicações do dispositivo prático de Briot-Ruffini; calcule o valor dos elementos desconhecidos em cada um deles: a) b) 2 a b c d -1 a b c d (UEPG-PR) Na divisão do polinômio ( ) pelo binômio ( ), do 1 grau, usando o dispositivo de Briot-Ruffini, obteve-se o seguinte: m 1 a a -a Então, assinale o que for correto. 01) ( ) é um polinômio do 4 grau. 02) ( ) é divisível por 04) ( ) 08) ( ) 16) O quociente da divisão é o polinômio ( ). A soma dos valores atribuídos às proporções verdadeiras é igual a. 5. Determine o quociente e o resto das divisões a seguir. a) ( ) por ( )

6 b) ( ) por ( ) c) ( ) por ( ) 6. Calcule o quociente ( ) do polinômio quando dividido por. Em seguida, determine o valor de ( ).

7 Divisibilidade, Teorema de D Alembert e Teorema dos Restos 1. Calcular o resto da divisão de ( ) por ( ) em cada um dos casos: a) ( ) b) ( ) c) ( ) 2. Determinar de modo que os restos das divisões de ( ) por e por sejam, respectivamente, 1 e Dado o polinômio ( ), determine sabendo que o resto da divisão de ( ) por ( ) é 1 e, quando dividido por ( ), tem resto igual a (UEL-PR) Se o resto da divisão do polinômio por ( ) é 10, qual é valor de? 5. (UFSC) Sendo a e b dois números tais que o polinômio ( ) é divisível por ( ) e por ( ), calcule. 6. Dado o polinômio ( ), determine se é divisível por algum polinômio a seguir, por ou.. 7. Determine em ( ), sabendo que 1 é raiz de ( ) e que ( ). 8. Considere o polinômio ( ), em que são constantes. Sabendo que ( ) é divisível por ( ), determine o valor de.

8 Raiz do polinômio, conjunto solução, teorema da decomposição 1. Determine o conjunto solução das equações: a) b) c) d) e) ( ) ( ) f) 2.(Vunesp-SP) Considere a matriz [ ]. O determinante de é um polinômio ( ). a) Verifique se 2 é uma raiz de ( ). b) Determine todas as raízes de ( ). 3. (FGV-SP) Resolva a equação no conjunto dos números complexos. 4.(UEPB) Uma fábrica utiliza dois tanques para armazenar óleo diesel. Os níveis e, dos tanques são dados pelas expressões: ( ) e ( ), sendo t o tempo em horas. O nível do óleo de um tanque é igual ao outro no instante inicial e também no instante: a) 1,5h b) 1,0h c) 2,5h d) 2,0h e) 0,5h 5. Definir analiticamente a função cuja representação gráfica é mostrada a seguir. 6. (Unesp-SP) A.altura de um balão em relação ao solo foi observada durante certo tempo e modelada pela função ( )

9 com ( ) em metros e em minutos. No instante outros instantes a altura foi também de 510 metros. o balão estava a 510 metros de altura. Determinar em que 7. Sabendo-se que -1 é raiz dupla da equação, determinar o seu conjunto solução. 8. Decomponha os seguintes polinômios em fatores: a) ( ) em que uma das raízes é 1; b) ( ) em que uma das raízes é (FGV-SP) O polinômio ( ) tem o número 1 como raiz dupla. O valor absoluto da diferença entre as outras raízes é igual a: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) Um professor de matemática escreveu um polinômio ( ) na lousa e falou que suas raízes, todas reais, eram iguais às idades de suas filhas. Sabendo que suas idades são iguais a 22, 31 e 35 anos, determine o polinômio escrito a lousa. 11. Sabendo que 2 é raiz da equação, determine o seu conjunto solução. 12. Resolva a equação, sabendo que -1 é uma raiz tripla dessa equação. 13. Exercícios 1, 2, 3 e 4 das páginas 37 e Resolva as equações: a) b) c) d) ( ) ( ) e) f)

10 Avaliação de Matemática 1 Peso: 3,5 3º Bimestre Prof. Guilherme Franklin Lauxen Neto Aluno: Turma: 131 Data: 26/08/ (0,5) Se, no universo, a equação admite a raiz -1 com multiplicidade 3. Determine as demais raízes deste polinômio. 2. (0.5) (UEPB-PB) O polinômio ( ), com a constante, tem como uma de suas raízes. Com isso, podemos escrever ( ) como: a) ( )( )( ) b) ( )( )( ) c) ( )( )( ) Justifique a sua resposta d) ( )( )( ) e) ( )( )( ) 3. (0,5) (UFRJ) O gráfico a seguir representa uma função polinomial P de variável real, que possui duas raízes inteiras e é definida por ( ) Determine o valor da constante representada por m e as quatro raízes desse polinômio. 4. (0,5) Determine os valores dos parâmetros a, b e c para que o polinômio ( ) ( ) ( ) seja identicamente nulo.

11 5. (0,4) (UFPel-RS) Para que o polinômio dê resto 3 quando dividido por ( ), deve valer: a) 1 b) -1 c) 3 d) -7 e) 7 Justifique a sua resposta 6. (0,3) (UFPA) O polinômio ( ) é idêntico a ( ). Então podemos dizer que é igual a: a) 6 b) 5 c) 4 d) 0 e) -3 Justifique a sua resposta 7. (0,4) Determine os polinômios quociente e o resto das divisões. a) ( ) por ( ) b) ( ) por ( ) 8. (0,4) (Furg-RS). Na divisão de um polinômio ( ) pelo binômio ( ), ao usar o dispositivo prático de Briot-Ruffini, encontrou-se. Determine os valores de a, q, p e r.

12 Recuperação de Matemática: polinômios Peso: 3,5 3º Bimestre Prof. Guilherme Franklin Lauxen Neto Aluno Turma: 131 Data: 27/08/ (0,5) Veja o gráfico de ( ), em que e são números reais. Nele, estão indicados os pontos em que a curva corta o eixo. a) Qual o valor numérico de ( ) para? b) Quais os valores de e? c) Escreva o polinômio ( ) e valor o valor numérico de ( ), ( ) e ( ). 2. (0,5) (UEPG-PR) No esquema abaixo, foi aplicado o dispositivo prático de Briot-Ruffini, para a divisão de um polinômio ( ) por um polinômio ( ). Assim, determine a alternativa falsa. a) ( ) b) ( )é divisível por ( ) c) ( ) é divisível por ( ) d) O quociente da divisão de ( ) por ( ) é ( )

13 3. (0,4) (UFRGS-RS) Se é uma raiz do polinômio ( ) e é uma raiz do polinômio ( ), então: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) Esta questão utiliza o conceito teórico de raiz. 4. (0.5) Efetue a divisão de ( ) por ( ) em cada um dos itens. 5. (0,5) Considere os polinômios ( ) ( ) e ( ). Calcule o valor de sabendo que ( ) ( ) é o polinômio identicamente nulo. 6. (0.6) Considere os polinômios ( ) ; ( ) e ( ). Calcule e dê o grau dos seguintes polinômios: a) b) ( ) ( ) c) 7. (0.5) Determine o conjunto solução da equação. 8. Questão extra (0.5). Resolva a equação, sabendo que uma de suas raízes é dupla. 9. (0.7)