Revisão de Pré-Cálculo

Transcrição

1 Revisão de Pré-Cálculo EQUAÇÕES E POLINÔMIOS Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni Departamento de Matemática, FEG, UNESP Lc. Ismael Soares Madureira Júnior Guaratinguetá, SP, Outubro, 2016 Direitos reservados. Reprodução autorizada desde que citada a fonte.

2 IGUALDADE - PROPRIEDADES 1. Reflexiva u = u. 2. Simétrica u = v se e somente se v = u. 3. Transitiva se u = v e v = w então u = w. 4 e 5. Igualdade é preservada pela adição ou multiplicação u = v se e somente se u + z = v + z (qualquer que seja z) u = v se e somente se u.z = v.z (z <>0) As propriedades 4 e 5 são também conhecidas como Leis do corte. 2

3 ALGUMAS IDENTIDADES a. b = 0 <=> a = 0 ou b = 0 a/b = 0 <=> a = 0 n a = 0 <=> a = 0 3

4 EQUAÇÕES Uma equação é uma igualdade entre duas expressões. O que difere uma igualdade de uma equação é a presença de uma incógnita (na equação). A(s) solução(ões) da equação são os valores da incógnita que satisfazem a igualdade. Vamos considerar equações em uma variável (incógnita). 4

5 EQUAÇÕES EQUIVALENTES Duas equações são equivalentes se elas têm a mesma solução. A equação u = v é equivalente 1) a equação u + z = v + z 2) a equação u.c = v.c para c um número real não nulo. 5

6 EQUAÇÕES - EXERCÍCIOS Determine se as equações abaixo são equivalentes ou não. Se elas não forem equivalentes, verifique se é possível encontrar uma condição sobre a variável x que torne as equações equivalentes. 1) 2.x - 3 = 7 e x = 5 2) x 2 = 2x e x = 2 3) x 2 = 9 e x = 3. 4) x 4 = x 2 e x 2 = x 6

7 EQUAÇÃO LINEAR Dados a (a 0) e b números reais, resolva para x a.x + b = 0 Resolução passo a passo 1. Some - b a igualdade: a.x = - b 2. Divida por a a igualdade: x = - b/a Obs: efetuar uma operação com uma igualdade significa efetuar a operação com as expressões em cada lado da igualdade. 7

8 Equação Quadrática (ou 2 o grau) Uma equação quadrática em x é aquela que pode ser escrita na forma a.x² + b.x + c = 0 (a 0) onde a, b e c são números reais. Soluções (ou raízes) da equação quadrática x = b ± b² 2. a 4. a. c JRRZ & ISMJ 8

9 Equação Quadrática - Classificação das Raízes Discriminante Δ = b 2 4.a.c Sinal do Δ Classificação das Raízes Fatoração da Expressão Δ > 0 Δ = 0 reais e distintas, r1 e r2 reais e iguais, r a.(x r 1 ).(x r 2 ) a.(x r) 2 Δ < 0 complexas conjugadas a.x² + b.x + c Observação: quando Δ < 0 dizemos que a expressão quadrática não fatora nos reais. JRRZ & ISMJ 9

10 Equação Quadrática - Resolução Por simplicidade, consideramos a equação com a = 1 x² + b.x + c = 0 <=> x² + b.x = - c Complete o quadrado em x, isto é, some (b/2) 2 e simplifique x 2 + b.x + (b/2) 2 = (b/2) 2 c (x + b/2) 2 = b2 4.c 4 Resolva para x + b/2 (extraia as raízes quadrada) x + b/2 = ± b 2 4.c 2 Some b/2 para obter a solução para x (veja no slide anterior a solução, considere a = 1) 10

11 EQUAÇÃO x^n = a Sejam a um número real e n um número inteiro positivo A equação x n = a tem por solução real Se n é ímpar então x = a n (solução única) Se n é par e a > 0 então x = ± a n (2 soluções) Se n é par e a < 0 então não existe solução real. Se a = 0 então solução trivial x = 0 Na lousa, colocar a resolução gráfica (interseção de y = x^n com a reta horizontal y = a) 11

12 POLINÔMIOS Toda expressão p(x) que pode ser escrita como a soma de potências p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x 1 + a 0 x 0 a n, a n 1,..., a 1, a 0 grau(p) = n, considerando são os coeficientes de p(x) a n 0 A soma ou o produto de dois polinômios também é um polinômio. grau(p + q) = max{grau(p), grau(q)} grau(p.q) = grau(p) + grau(q) Dois polinômios são iguais se os coeficientes das mesmas potências são iguais. Considere polinômios com coeficientes reais. 12

13 Equações Polinomiais Teorema 1 (Teorema Fundamental da Álgebra) Se grau(p) = n então a equação p(x) = 0 tem n raízes (reais ou complexas). Teorema 2 (Fatoração devido a uma raiz real) Se r é uma raiz real de p(x) então existe um polinômio g(x) tal que p(x) = (x r).g(x) (grau(g) = grau(p) - 1) Teorema 3: as raízes complexas aparecem em par de raízes conjugadas (associadas a um fator quadrático ) x 2 + b x + c Teorema 4: todo polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real. 13

14 Fatoração de Polinômios Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais. Teorema: todo polinômio pode ser fatorado no produto de fatores lineares (associados com as raízes reais) e fatores quadráticos (associados aos pares de raízes complexas conjugadas). Seja r uma raiz real de p(x). Definição: a multiplicidade da raiz real r é o número de vezes que o fator (x r) aparece na fatoração de p(x). 14

15 Equação Cúbica - Raízes e Fatoração a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 Classificação das Raízes 3 raízes reais e distintas 2 raízes reais e distintas (1 raiz dupla e 1 simples) 1 raiz real tripla 1 raiz real simples e 2 raízes complexas conjugadas Fatoração da Expressão a.(x r 1 ).(x r 2 ).(x r 3 ) a.(x r 1 ) 2. (x r 2 ) a.(x r) 3 a.(x r)(x 2 +k x+m) JRRZ & ISMJ 15

16 EXERCÍCIOS 1) Determine os coeficientes do polinômio p(x) = (x 2).(x 2 x+3) 2) Determine os números reais b e c sabendo que x 3 3 x = (x + 2).(x 2 + b x + c) 3 e 4) Determine todas as raízes reais da equação 3) x 3 x 2 x + 1 = 0 (determine duas raízes por inspeção e a terceira por fatoração) 4) x 3 x 2 2 x = 0 5) x 4 5 x = 0 (substitua y = x^2) 6) Fatore os polinômios correspondentes ao lado esquerdo das igualdades no exercícios 3 a 5. 16